辽宁沈阳部分学校2025-2026学年高一上学期期末数学试卷+答案（word版+pdf版）

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1. 已知集合 U=x∣xb ” 是 “ a2>b2 ” 的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 既非充分又非必要条件 D. 充要条件
3. 函数 fx=1lnx+1+4−x2 的定义域为( )
A. −2,0)∪(0,2 B. −1,0∪(0,2]
C. −2,2 D. (−∞,1]∪4,+∞
4. 要得到函数 y=sin2x+π6 的图象,需要把函数 y=sin2x 的图象 ( )
A. 向左平移 π6 个单位长度 B. 向右平移 π6 个单位长度
C. 向左平移 π12 个单位长度 D. 向右平移 π12 个单位长度
5. 已知角 α 的终边上有一点 P−3a,4aa≠0 ,则 2sinπ−α+sin3π2−αcsπ2+α−cs2π−α= ( )
A. -11B. −117 C. 117 D. 11
6. 已知函数 fx=2x+3 ,记 a=f2−1.1,b=flg1413,c=f−lg23 ,则( )
A. a0,φ0 时, fx>−1,f1=1 , 则下列结论正确的是( )
A. fx 是奇函数 B. fx 在 R 上单调递增
C. f2027=4054 D. 不等式 fx20且a≠1 的图象恒过定点 A ,且点 A 在幂函数 fx 的图象上,则 f3=
13. 已知 fx=9x−3x+1+m,x≤0x+4x,x>0 的最小值为 4,则 m 的取值范围为_____.
14. 已知函数 fx=Asinωx+φω>0,φ≤π2,fx≤fπ6,fx+f4π3−x=0,fx 在区间 π6,π4 上单调,则正整数 ω 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
(1)已知 tanα=2 ，求 sinπ+α+2sinπ2−α2csπ−α 的值；
(2)计算: lg2⋅lg50+lg25+lg22−12lg0.1+e−3ln2 ;
16. (15 分)
设函数 fx=lgx2−1 的定义域为集合 A,gx=9x+a−3 的定义域为集合 B .
(1)当 a=1 时，求 δRA∩B ；
(2)若“ x∈A ”是“ x∈B ”的必要条件，求实数 a 的取值范围.
17. (15 分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转, 可以从高处俯瞰四周景色如图,某摩天轮最高点距离地面高度为 130 m ,转盘直径为 120 m ,设置有 48 个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30min (参考数据 sinπ48=0.0655 )

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为 Hm ，求在转动一周的过程中， H 关于 t 的函数解析式;
(2)求游客甲在开始转动 5min 后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h (单位: m ) 关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到 0.1)
18.(17 分)
已知函数 fx=lg422x+a−12x,a∈R .
(1)若函数 fx 的图象经过点 P32,−34+lg23 .
① 求实数 a 的值；
② 设 gx=lg42x+x+mm∈R ，若关于 x 的方程 fx=gx 在 −2,2 上有解，求实数 m 的取值范围；
(2)是否存在实数 a ，使得 fx 存在最小值，且最小值小于 -1 ? 若存在，求实数 a 的取值范围；若不存在， 说明理由.
19. (17 分)
若存在实数对 a,b ,使得等式 fa+x⋅fa−x=b 对定义域中每一个实数 x 都成立,则称函数 fx 为 " a,b 型函数".
(1)判断函数 fx=3x 是否为 −12,13 型函数”；
(2)若函数 gx=e2x 是 “ a,b 型函数” ，求 a 和 b 的值；
(3)已知函数 hx=x−2 ，函数 gx 是 “ a,b 型函数”，对应的实数对 a,b 为 0,8 ，当 x∈(0,2] 时，
gx=x2−mx−2 ,若对任意 x1∈−2,2 时,都存在 x2∈−2,0 ,使得 gx1=hx2 ,求实数 m 的取值范围.
数学·参考答案
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 27 13. m≥6 14. 11
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
【答案】(1) 0;2218 .
【分析】(1)根据诱导公式及弦化切公式计算即得；
(2)根据指数幂运算律化简计算即得.
【详解】(1) 因为 tanα=2 ,
所以 sinπ+α+2sinπ2−α2csπ−α=−sinα+2csα−2csα=tanα−22=0 ; (6 分)
(2)原式 =lg2lg100−lg2+2lg5+lg22−12×−1+eln2−3=2lg2+2lg5+12+18=218 ; (13 分)
16.(15 分)
【答案】(1) −12,1
(2) −∞,−12
【分析】(1) 求出函数定义域化简集合 A,B ,再利用交集的定义求解即得.
(2)求出集合 B ，利用必要条件的定义，结合(1)及集合的包含关系求出范围.
【详解】(1)由 x2−1>0 ，解得 x>1 或 x1 ,解得 a0 ,整理得 m=12x−x .
因为当 x∈−2,2 时,函数 y=12x−x 单调递减,
所以 −74≤12x−x≤6 ,
所以使方程 fx=gx 在 −2,2 上有解的实数 m 的取值范围是 −74,6 . (10 分)
(2)由题意得 fx=lg44x+a−12x=lg42x+a2x ,
当 a0 ,解得 x>lg4−a ,所以 fx 的定义域为 lg4−a,+∞ ,
令 u=2x+a2x ,则 u=2x+a2x 为增函数,所以函数 y=lg4u 是增函数,
所以 fx 在 lg4−a,+∞ 上单调递增,无最小值;
当 a=0 时, fx=lg44x−12x=x−12x=12x 在 R 上单调递增,无最小值;
当 a>0 时, u=2x+a2x≥2a ,当且仅当 2x=a2x ,即 x=lg2a 时等号成立,
即 u=2x+a2x 的最小值为 2a ,
又因为函数 y=lg4u 是增函数,
所以 fxmin=lg4umin=lg42a=12+12lg4a