安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期期末调研数学试卷含解析（word版）

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一、单选题
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解指数不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】不等式，集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】明确集合，根据交集的概念求．
【详解】时，不等式的解集为，即，
令，得，解得，故，
故．
故选：B
3. 要得到函数的图象，需（ ）
A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，故B 错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，
故C错误；
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：D.
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性比较大小.
【详解】，，故，
又，.
从而有.
故选：D
5. 函数的部分图象形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.
【详解】根据题意可知，定义域为，
而，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD；
根据图象可利用可排除B.
故选：A
6. 已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数图象恒过的定点.
【详解】因为是上的奇函数，所以，即函数的图象恒过点.
又函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象恒过点.
故选：A.
7. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围.
【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，
所以，
令，
所以函数是周期为的周期函数.
又因为与函数都是偶函数，由对称性可知
由于关于的方程至少有8个实数解，
故当时，与至少有个交点.
函数与图像如图所示.
由图可知：当时，只需，解得
当时，只需，解得
当时，显然符合题意.
综上所述：.
故选：A
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题
9. （多选）下列选项正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B.
C. 经过4小时，时针转了
D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项．
【详解】选项A，在第三象限，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，
每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确；
选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，
则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确．
故选：BCD
10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 若恒成立，则D. 若在内有零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：配方整理即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据一元二次函数恒成立问题结合判别式运算求解即可；对于D：整理可得，进而求取值范围.
详解】由题意可知：，
对于选项A：当时，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于选项B：当时，，故B错误；
对于选项C：若二次恒成立，
则，解得，故C正确；
对于选项D：令，
因为，则，，
可得，故D正确；
故选：ACD.
11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有2个
C. 图象与直线在上的交点恰有2个
D. 在上不一定单调
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D．
【详解】函数，
令，则

对于A，由，得，依题意，，解得，A正确；
对于B，由选项A知，，而函数在上，
当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1，
因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确；
对于C，当时，当且仅当时，取得最小值，
由，知是否取到不确定，
因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误；
对于D，当时， ，由，
得，，显然值可以超过，
因此函数在上不一定单调，所以D正确．
故选：ABD
三、填空题
12. 计算=____________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据对数的运算法则即可计算．
【详解】原式，
故答案为：6．
13. 若时，取得最大值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.
【详解】
（其中，），
当取最大值时，，∴
，
∴．
故答案为：
14. 设，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简可得，结合角的范围以及正切函数单调性即可得出结果.
【详解】易知
，
又，则，
因为在上单调递增，所以，
即可得.
故答案为：
四、解答题
15. 若关于的不等式的解集是.
（1）求的值;
（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解；
（2）由充分条件建立不等式求解即可.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集是，
故的两根为，且，
故；
【小问2详解】
由题意集合，，由于，
则.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间和最小正周期；
（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围.
【小问1详解】
.
所以函数的最小正周期.
由，解得.
所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
由题意可知，即.
因为，所以.
故当，即时，取得最大值，且最大值为.
所以，实数的取值范围为.
17. 已知函数．
（1）若时，，求的值；
（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．
【答案】（1）2；（2），．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义去掉绝对值，由化简即可得出结果；
（2）根据，，三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以
所以，
所以或，
因为，所以．
（2）当时，在上单调递减，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，两式相减得不合，舍去．
当时，在上单调递增，
因为函数的定义域与值域均为，
所以，无实数解.
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
因为函数的定义域与值域均为，
所以，．综合所述，，．
【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.
18. 筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．

（1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式；
（2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：，）
【答案】（1）
（2），或．
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，根据题意求出得到函数的解析式；
（2）由，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可．
【小问1详解】
以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，

设，，由题意知，，，
∴，，即，
当时，，解得，
结合图像初始位置可知，
又因，所以，
综上．
【小问2详解】
经过后A距离水面的高度，
由题意知，所以经过后B距离水面的高度，
则盛水筒B与盛水筒A高度差为，
利用，
，
当，即时，H取最大值，
又因为，所以当或时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或．
19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
（2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性；
（3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围.
【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析
（2）偶函数 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由性质的定义，代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由性质的定义，即可得到，结合函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据题意，由性质的定义，列出不等式，结合对数函数的单调性以及运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
对任意，得，
所以具有性质；
对任意，得.
当时，，所以不具有性质.
【小问2详解】
设二次函数满足性质，则对任意，
满足.
当时，，此时b可以为任何实数；
当时，恒成立，所以，又，故.
综上所述，函数具有性质时，，
此时，即为偶函数.
【小问3详解】
由于，函数的定义域为，
易得，
若函数具有性质，则对于任意实数x，
有，
即，即，
由于函数在上单调递增，得，即，
当时，，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数x恒成立，
所以即，所以a的取值范围为.