2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题13 解直角三角形母抱子模型（讲义）（解析版）

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【模型讲解】
1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），
∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．
2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME＝DC＝3．CM＝ED，
在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，
在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，
∴DF＝3，
在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，
∵ED＝CM，∴AM＝ED，
∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，
∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
3、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为 m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，
∵tan∠DAB＝，
∴BD＝5•tan60°＝5，
在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，
∴AB＝BC＝5，
∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．
故答案为：3.7．
4、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
解：如图，
根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70，
DC＝EB＝15，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AC＝5，
∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
5、如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
【答案】
【分析】
利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．
【详解】
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝＝．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝=AG．
又CG−FG＝40，
即AG−＝40，
∴AG＝20，
∴AB＝20＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20＋1.5）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
6、二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．
【答案】二七纪念塔AB的高度约为64米
【分析】
由题意根据正切的定义分别用AG表示出，进而根据列出算式求出AG的长，计算即可．
【详解】
解：在中，，
，
在中，，
，
，，
，
．
答：二七纪念塔AB的高度约为64米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7、位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，
求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据： )；
“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值
【分析】
（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；
（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，
设AD的长为xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，
由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，
∴四边形CNED为矩形，
∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，
解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，
减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8、科技改变生活，时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量信号塔的高度，如图，在起点处用高米(米)的测量仪测得信号塔的顶端的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为，求信号塔的高度约为多少米?(精确到米．参考数据：)
【答案】该信号塔的高度约为米
【分析】
本题首先假设AB的长度为x，继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE，进一步表示CE，最后再次利用正切三角函数列式求解．
【详解】
由已知得：，，
设为米，则米，
在中，，
，
，
在中，．
，
求解得：（米）．
故该信号塔的高度约为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．
10、炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点和，且点，及其中像体在同一平面内，像体底部与点，在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在处测得像顶的仰角为，在处测得像顶的仰角为，且．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，．）
【答案】该塑像的高度约为．
【分析】
延长CD交MN于E，则CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的长，即可得出答案．
【详解】
延长交于，如图所示：
由题意得：，，
，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴；
答：该塑像的高度约为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键