2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题14 费马点中的模型与最值问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题14 费马点中的模型与最值问题（讲义）（解析版），共11页。学案主要包含了模型说明，模型引入，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王"的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理"等.
今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下：
【模型引入】
问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
1.如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，如图所示：
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，如图所示：
第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120º.接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB与△ACD中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM与△DAM中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；
在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º，
∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60º得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.
由题意可得
，即CD为最短的线段.
【模型讲解】
1.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．+B．+C．4D．3
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，
当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，
∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，
∴EC＝＝＝
＝＝＝+．
∴PA+PB+PC的最小值为+．故选：B．
2.如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 .

【答案】
【解析】如图所示，
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，
∴∠1＋∠3＝60°，∠1＋∠2＝60°，∠2＋∠4＝60°，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB，
，即，
.
3.如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为 4 ．

【解答】解：如图，连接MN，∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°，
∵BC＝4，∴BF＝2，EF＝2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，EC＝4．
故答案为：4
4.若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 则PB的值为 ；
（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180º－∠APB＝60º，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º，
∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120º，∴△ABP ∽△BCP，
；
（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°
如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．
∵∠B′EC ＝ ∠APC ＝120°，∠PEC＝60°，∴∠B′EC＋∠PEC＝180°，即 P、E、B′ 三点在同一直线上，
∵∠BPC＝120°， ∠CPE＝60° ，∴∠BPC ＋∠CPE ＝180°，即 B、P、E 三点在同一直线上∴ B、P、E、B′ 四点在同一直线上，即BB′ 过△ABC的费马点P．
又PE＝PC，B′E＝ PA，∴ BB′＝E B′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．
5.如图1，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点：
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点；
（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点，如图2，
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点.
【解答】（1）是；（2）见解析；（3）①∠CPD＝60º，②见解析
【解析】（1）延长AP与BC交于点N，延长BP交AC于点M，如图所示：
∵AB＝BC，BM是AC的中线，∴MB平分∠ABC，
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°，∴∠APB＝120°
同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°，∴P是△ABC的费马点；
（2）∵∠PAB＋∠PBA＝180－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP；（3）如图所示，
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF·PF＝DF·CF，
∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴P点为△ABC的费马点.
6、已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.
求证：GA+GB+GC的值最小.
【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；
∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线。∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点
7、已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．

【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，
∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．
设正方形的边长为，那么
BO=CO=，GC=, GO=．
∴ BG=BO+GO =+．
∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．
∴ +=，解得=2．
8、已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝ .
【答案】【解析】如图，在等腰Rt△DEF中，，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、f分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1，
，解得，则，，
.
9、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
10、如图，P是锐角△ABC所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点。
（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ；
（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 ；（3）如图2，在锐角△BC外侧作等边△ACB'，连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）延长AP，交BC于D，如图所示：∵AB＝AC＝BC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，
∴P为三角形的内心，∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°，
，，
，；
（2）∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，，即；
（3）证明：在BB'上取点P，使∠BPC＝120°，连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE，如图所示：
∵∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE为正三角形，∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°
∵△ACB'为正三角形，∴AC＝B'C，∠ACB'＝60°，
∴∠PCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB'＝60°，∠PCA＝∠ECB'，∴△ACP≌△B'CE，
∴∠APC＝∠B'EC＝120°，PA＝EB'，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
∴P为△ABC的费马点，∴BB'过△ABC的费马点P.