2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题27 特殊四边形与动点相关的问题（讲义）（解析版）

这是一份2026学年苏科版数学初三中考复习几何专题27 特殊四边形与动点相关的问题（讲义）（解析版），共33页。学案主要包含了典例讲解等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；
（2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论；
（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题．(1)
解：如图1中，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．
由（1）可知，，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是菱形，
，关于对称，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
．
(3)
如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接
，
，
点在以为直径的圆上运动，
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作于，交于点，交于点．
，，，
，
，
的最小值，
是等边三角形，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．
2．已知，在中，为射线上一点，连接交于点.
（1）如图1，若点与点重合，且，求的长；
（2）如图2，当点在边上时，过点作于，延长交于，连接.求证：．
（3）如图3，当点在射线上运动时，过点作于为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得，利用平行四边形的性质可得为中点，在中，由勾股定理可求得，则可求得，在中，再利用勾股定理可求得；
（2）如图2中，在上截取，连接，可先证明，再证明，可证得结论；
（3）连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，得到，于是得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的弧，且，求得最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
（1）
四边形是平行四边形，
当点与点重合时，
在中，

中，.
（2）证明：如图2中，在上截取，连接，
，，
，
在和中，，
，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
；
解：连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，作AK⊥BC，交BC延长线于点K，作QP⊥AD，交AD延长线于点P．
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的弧，且，
根据△ABD为等腰直角三角形，可得AD=,∴AO=，
根据△ABK为等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，
∴PQ=8，
∵BK=4,BN=1，
∴KN=5，
∴KE=AP=10，
∴OP=6，
，，
最小值为6，
是的中位线，
的最小值为3．
【点睛】
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
3．问题背景：如图，四边形中，，，，，，为边上一动点，连接、．
问题探究
（1）如图1，若，则的长为__________．
（2）如图2，请求出周长的最小值；
（3）如图3，过点作于点，过点分别作于，于点，连接
①是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由；
②请直接写出面积的最小值．
【答案】（1）；（2）18；（3）①；②
【解析】
【分析】
（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，利用等腰直角三角形ABF求得AF和BF的长，再利用Rt△PBF求得PF的长，进而得解；
（2）作点B关于直线AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点P'，连接BP'，根据两点之间线段最短可知当B'，P，C三点共线时，周长取得最小值，再利用勾股定理计算即可；
（3）①②根据，可得点E、M、P、N在以PE为直径的圆上，利用圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN∽△CPB，进而可知当MN最大时，面积的最大，当MN最小时，面积的最小，由圆的性质可知当MN为直径时MN最大，当MN⊥PE时，MN最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠FAB＝∠ABC＝45°，
∵BF⊥AD，
∴在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∵∴AF＝BF＝AB＝，
∵AD∥BC，∠PBC＝30°，
∴∠FPB＝∠PBC＝30°，
∵在Rt△PBF中，tan∠FPB＝
∴tan30°＝，
∴
∴；
（2）如图，作点B关于直线AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点P'，连接BP'，
∵点B与点B'关于直线AD对称，
∴AD垂直平分BB'，BF＝B'F＝3，
∴P'B＝P'B'，BB'＝6，
∴当点P在点P'时，PB+PC取得最小值，最小值为B'C的长，此时△BPC的周长最小，
在Rt△BB'C中，B'C＝，
∴△BPC的周长最小值为B'C+BC＝10+8＝18；
（3）①∵，，
∴∠EMP＝∠ENP＝90°，
∴点E、M、P、N在以PE为直径的圆上，如图所示，
则∠PMN＝∠PEN，
∵，，
∴∠PEC＝∠ENC＝90°，∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB＝90°，
∴∠PEN ＝∠PCB，
∴∠PMN＝∠PCB，
又∵∠MPN＝∠CPB，
∴△MPN∽△CPB，
∴
∵，
∴PE＝3，
∴
∴
∴当MN取得最大值时，的面积取得最大值，
当MN＝PE＝3时，解得
即当MN＝PE＝3时，的面积最大，最大值为；
②由①可知，，
∴当MN取得最小值时，的面积取得最小值，
由垂径定理可知，当MN⊥PE时，MN取得最小值，
如图，当MN⊥PE时，则弧ME＝弧NE
∴∠MPE＝∠NPE，
∵，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴△PEB≌△PEC，∴EB＝EC＝BC＝4，
在Rt△BEP中，BP＝,
∵
∴
∴,
在Rt△PME中，PM＝
∵
∴
∴,
∴,
∴,
解得，
∴面积的最小值为．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第（3）问转化为利用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．
4．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．
（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是，最小值是．
【解析】
【分析】
（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；
（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；
（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．
【详解】
解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；
（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．
理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，
由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，
∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，
又∵CQ＝CQ'，
∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．
在Rt△ABC中，，
∴，
∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，
∴．
当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．
（3）△ACF的面积有最大和最小值．
如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．
∵∠EAF＝90°，，
∴
∵AB＝6，AG＝GB，
∴AC＝GB＝3，
又∵AD＝9，
∴，
∴
∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG～△EAD，
∴，∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，
连接AC，则△ACD的面积＝，
过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，
①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，
在Rt△ABC中，
∴，
在Rt△ACH中，，
∴，
∴△ACF面积有最小值是：；
∴四边形ADCF面积最小值是：；
②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，
∴GH＝MN，
在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，
∴PG＞PN，
又∵F2G＝PG，
∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，
∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，∴面积有最大值，
∵，
∴△ACF面积有最大值是；
∴四边形ADCF面积最大值是；
综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．如图，直角三角形中，，为中点，将绕点旋转得到．一动点从出发，以每秒1的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使．
（1）当点运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒1的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀速运动，过作直线使，设点的运动时间为秒，直线与截四边形所得图形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．
（2）当点开始运动的同时，另一动点从处出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的，使为等腰三角形？若存在，直接写出点运动的时间的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1），S的最大值为；（2）存在，m的值为或或或.
【解析】
【分析】
（1）分、和三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．
（2）分两种情形：①如图中，由题意点在上运动的时间与点在上运动的时间相等，即．当时，当时，当时，分别构建方程求解即可．②如图中，作于．首先证明，根据构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图中，当时，点与点都在上运动，
，，
，
，，，
，，，．
此时两平行线截平行四边形的面积为．
如图中，当时，点在上运动，点仍在上运动．
则，，，，，，，
而，故此时两平行线截平行四边形的面积为：
，
如图中，当时，点和点都在上运动．
则，，，．
此时两平行线截平行四边形的面积为．
故关于的函数关系式为，
当时，S随t增大而增大，
当时，S随t增大而增大，
当时，S随t增大而减小，
∴当t=8时，S最大，代入可得S=；
（2）如图中，
由题意点在上运动的时间与点在上运动的时间相等，．当时，，则有，解得，
当时，则有，解得，
当时，，则有，解得．
如图中，作于．
在Rt△CHR中，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
当时，则有，解得，
综上所述，满足条件的m的值为或或或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，在ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M、Q分别是边AB、BC上的动点（点M不与A、B重合），且MQ⊥BC，过点M作MN∥BC．交AC于点N，连接NQ，设BQ＝x．
（1）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，并说明理由；
（2）当BM＝2时，求x的值；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）存在，当BQ＝MN=时，四边形BMNQ为平行四边形，见解析；（2）；（3）当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】
（1）先证明△AMN∽△ABC，得到＝＝；再设AM＝3a、则MN＝5a，即BQ＝MN＝5a．然后再证明△MBQ∽△NMA，再运用相似三角形的性质列式求出a，进而求得BQ的长；再由MN∥BQ，即可得到BQ＝MN＝，四边形BMNQ为平行四边形；
（2）再证△BMQ∽△BCA可得＝，即＝，最后求解即可；
（3）先由勾股定理求出BC的长，再根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，然后根据梯形面积公式列出二次函数解析式，最后根据二次函数性质计算即可．
【详解】
解：（1）存在，理由如下：
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝，
设AM＝3a，则MN＝5a，
∴BQ＝MN＝5a，
∵MN∥BQ，
∴∠NMQ＝∠MQB＝90°，
∴∠AMN+∠BMQ＝90°，
又∠B+∠BMQ＝90°，
∴∠B＝∠AMN，
又∠MQB＝∠A＝90°，∴△MBQ∽△NMA，
∴＝，即＝，
解得a＝，
∴BQ＝，
∵MN∥BQ，
∴当BQ＝MN＝，四边形BMNQ为平行四边形；
∴当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
（2）∵∠BQM＝∠A＝90°，∠B＝∠B，
∴△BMQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得x＝；
（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，MN＝5﹣x，则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的应用，掌握三角形相似的判定和性质是解答本题的关键．
7．如图，正方形中，，点是正方形所在平面内一动点，满足．
（1）当点在直线上方且时，求证：；
（2）若，求点到直线的距离；
（3）记，在点运动过程中，是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）当时，最小值为．当点在直线下方时，有最大值
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理证明△ADQ是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，由题意点Q是以D为圆心，DQ为半径的圆和以BD为直径的圆的交点（有两种情形，图中Q，Q′）．连接BQ，BQ′，过点A作AH⊥BQ于H，过点A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．解直角三角形求出AH，BH即可解决问题．
（3）如图3-1中，当AQ＜BQ时，过点A作QJ⊥AB交BA的延长线于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB•（2JA+AB）=（2JA+），观察图象可知，当JA的值最大时，AQ2-BQ2的值最小，此时点Q在CD的延长线上．如图3-2中，当QA＞QB时，过点A作QJ⊥AB交BA的延长线于J．AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=AB•（AJ-BJ），观察图象可知，当JA-JB的值最大时，AQ2-BQ2的值最大，此时点Q在线段CD上．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，
∵AQ=DQ=1，AD=，
∴AQ2+DQ2=AD2，
∴∠Q=90°，
∴∠QAD=∠ADQ=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADB=∠QAD，
∴AQ∥BD．
（2）解：如图2中，由题意点Q是以D为圆心，DQ为半径的圆和以BD为直径的圆的交点（有两种情形，图中Q，Q′）．
连接BQ，BQ′，过点A作AH⊥BQ于H，过点A作AH′⊥BQ′于H，AH′交BQ于J．
∵BD=AD=2，QD=1，
∴BQ=2DQ，
∴∠QBD=30°，同法可得∠DBQ′=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∴∠ABQ=∠CBQ′=15°，
∴∠ABH′=75°，∠BAJ=15°，
∴∠JAB=∠JBA=15°，
∴∠AJH=∠JAB+∠JBA=30°，
设AH=a，则AJ=JB=2AH=2a，JH=，
在Rt△ABH中，则有2=a2+（2a+）2，
解得a=，
∴AH=，BH=，
∵∠AHB=∠AH′B=90°，∠ABH=∠BAH′，AB=BA，
∴△AHB≌△BH′A（AAS），
∴AH′=BH=，
∴点A到直线BQ的距离为或．
（3）解：如图3-1中，当AQ＜BQ时，过点A作QJ⊥AB交BA的延长线于J．
∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=-AB•（2JA+AB）=（2JA+），
观察图象可知，当JA的值最大时，AQ2-BQ2的值最小，此时点Q在CD的延长线上，
最小值=（2+）=．
如图3-2中，当QA＞QB时，过点A作QJ⊥AB交BA的延长线于J．
∵AQ2-BQ2=JQ2+AJ2-（JQ2+BJ2）=AJ2-BJ2=（AJ+BJ）（JA-BJ）=AB•（AJ-BJ），
观察图象可知，当JA-JB的值最大时，AQ2-BQ2的值最大，此时点Q在线段CD上，
最大值=（1-+1）=2-2．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会学会利用辅助圆解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD=PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP的长．
【答案】（1）见详解；（2）PC的最小值为；（3）AP=2或．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠DAP=∠EAP，利用SAS定理证明△DAP≌△EAP，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）作CP′⊥AP′，根据垂线段最短得到P′C最小，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（3）根据矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理计算求出AP，再根据勾股定理计算点P在AF上时，AP的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠EAP=45°，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD=PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠EAP，
∵∠DAP=∠EAP，
∴∠DAP=∠DFA=45°，
∴FC=DF=AD=2，∠P′FC=45°，
∴P′C=FC×，∴PC的最小值为；
（3）解：如图2，
∵DF=FC，OA=OC，
∴OF∥AD，
∴∠DFO=180°-∠ADF=90°，
∴当点P与点F重合时，∠DPO=90°，
此时，AP=，
当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，
∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PG=PH，
设PG=PH=a，
由勾股定理得，DP2=（2-a）2+a2，OP2=（2-a）2+（1-a）2，OD2=5，
当∠DPO=90°时，DP2+OP2=OD2，即（2-a）2+a2+（2-a）2+（1-a）2=5，
解得，a1=2（舍去），a2=，
当a=时，AP=，
综上所述，∠DPO=90°时，AP=2或．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的全等和性质、矩形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在y轴上，AB＝BC＝5，AC＝8，D为线段AB上一动点，以CD为边在x轴上方作正方形CDEF，连接AE．
（1）若点B的坐标为(m，0)，则m＝ ；（2）当BD＝ 时，EA⊥x轴；
（3）当点D由点B运动到点A过程中，点F经过的路径长为 ；
（4）当△ADE面积最大时，求出BD的长及△ADE面积最大值．
【答案】（1）﹣；（2）；（3）5；（4）BD＝，△ADE面积最大值为
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理可得64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，可求m的值；
（2）由勾股定理可求CO的长，由“AAS”可证△AED≌△ODC，可得AD＝CO，即可求解；
（3）由“AAS”可证△CFH≌△CDO，可得CH＝CO＝，FH＝DO，可得点F在FH上移动，由特殊位置可求解；
（4）过点E作EN⊥x轴于点N，由三角形的面积公式可得△ADE面积＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，由二次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为（m，0），
∴BO＝﹣m，
∵CO2＝AC2﹣AO2，CO2＝CB2﹣BO2，
∴64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，
∴m＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）∵点B的坐标为（﹣，0），∴BO＝，
∴CO＝＝，
∵EA⊥x轴，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EDA+∠AED＝90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，∠EDC＝90°，
∴∠EDA+∠CDO＝90°，
∴∠AED＝∠CDO，
∵∠EAD＝∠COD，ED＝CD，
∴△AED≌△ODC（AAS）
∴AE＝DO，AD＝CO＝，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
∴当BD＝时，EA⊥x轴；
故答案为：；
（3）如图，过点C作CH⊥y轴，过点F作FH⊥CH，交点为H，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90°，
∴∠FCH+∠DCH＝90°，
又∵∠DCO+∠HCD＝90°，
∴∠FCH＝∠DCO，又∵FC＝DC，∠CHF＝∠DOC＝90°，
∴△CFH≌△CDO（AAS）
∴CH＝CO＝，FH＝DO，
∴点F在FH上移动，
当点D与点B重合时，FH＝BO＝，
当点D与点BC重合时，FH＝AO＝AB+BO＝5+＝，
∴当点D由点B运动到点A过程中，点F经过的路径长为﹣＝5，
故答案为：5；
（4）如图，过点E作EN⊥x轴于点N，
由（2）可得△DEN≌△CDO，
∴EN＝DO，
∵△ADE面积＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，
∴当BD＝时，△ADE面积最大值为．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10．已知正方形，点在射线上．
（1）如图1，若点E在线段BD上，F在线段AD上，且，垂足为H，连接．
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，点E在BD的延长线上，以AE为斜边，作，，，若，直接写出DF的最小值．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）①先根据正方形的性质可得，再根据角的和差、垂直的定义可得，然后根据正切三角函数的定义即可得证；
②先根据正方形的性质可得，，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义、等量代换即可得证；
（2）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，，再根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得点F在线段AD的垂直平分线上，最后根据垂线段最短即可得．
【详解】
（1）①四边形ABCD是正方形，
，即，
，即，
，
，，
∴；
②如图，延长AE交CD于点M，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
在中，，
；
（2）如图，过点A作AE的垂线，交EF的延长线于点H，连接HD，
在中，，，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，四边形ABCD是正方形，
，
，即，
在和中，，
，
∴，
∴，
，
，即DF是边EH上的中线，
，
，
∴点F在AD的垂直平分线MN上，
由垂线段最短可知，当时，DF取得最小值，最小值为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、正切三角函数、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
11．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．
（1）当t＝1时，求BF的长度；
（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；
（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1） （2） （3）2或或4
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，设AH＝DH＝x，在Rt△AHD中，得出x2+x2＝42，解方程求出x即可得出答案；
（3）分AF＝DF，AF＝AD，AD＝DF三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】
解：（1）当t＝1时，AE＝1，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝FG＝AE＝1，∠G＝90°，
∴BF＝＝＝，
（2）如图1，延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，
∵四边形AGFE是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，
∵DH⊥AH，
∴∠AHD＝90°，∠ADH＝45°＝∠EAF，
∴AH＝DH，
设AH＝DH＝x，
∵在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，
∴x2+x2＝42，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，
∴D、F两点之间的最小距离为2；
（3）当AF＝DF时，由（2）知，点F与点H重合，过H作HK⊥AD于K，如图2，
∵AH＝DH，HK⊥AD，
∴AK＝＝2，
∴t＝2．
当AF＝AD＝4时，设AE＝EF＝x，
∵在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
∴x2+x2＝42，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，
∴AE＝2，
即t＝2．
当AD＝DF＝4时，点E与D重合，t＝4，
综上所述，t为2或2或4．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．