初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）第1章 三角形1.4 线段垂直平分线与角平分线练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）第1章 三角形1.4 线段垂直平分线与角平分线练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（ ）
A．30B．60C．78D．39
2．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，平分，交于点，边上有一点，连接，则与的关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
4．如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（ ）cm．
A．8B．2C．4D．1
6．将的短直角边对折到长直角边上，使点与边上点重合，折痕，且有，以下结论正确的是（ ）
①；②；③；④点到直角边、的距离相等．
A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④
7．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
8．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，作于点．若，则的面积为（ ）
A．4B．5C．8D．10
9．如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（ ）
A．
B．垂直平分，
C．与面积相等
D．直线、的交点不一定在上
10．嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：

嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线
琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线
对于两人的画法，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．嘉嘉对，琪琪不对D．嘉嘉不对，琪琪对
11．如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处B．D点处
C．的中点处D．三条高的交点处
12．如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．在中，平分，若，则D点到的距离为 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
15．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
16．如图，在中，是它的角平分线，其中，则 ．
17．如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ．
三、解答题
18．在复习角平分线的课上，老师要求从定义、性质、判定、应用四个环节进行研究．
(1)【定义】如图1，平分，__________________
(2)【性质】如图1，射线上有一点，，，垂足分别为．求证：
证明：平分，
，
，
，
，
，
．
简单归纳：
平分
___________
___________（请补充完成上述填空）
(3)【判定】如图2，是内一点，，，垂足分别为，，且．求证：点在的平分线上．
(4)【应用】在（3）的情况下，点与点重合时如图3，若，试判断与的位置关系．
19．如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为，．点，分别在，上，，连接，．求证：．
20．已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线．
21．如图，的平分线与的平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是的平分线．
22．如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等．那么，怎样才能找到这个市场的位置呢？请画出示意图，并说明理由．
23．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上．
24．如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
《1.4线段垂直平分线与角平分线》参考答案
1．A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于E，

∵是的平分线，，，
∴，
∴的面积为
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
【详解】解：过P点作于， 如图，
平分，
，
点E是边上一动点，
根据垂线段最短可知：
故选D．
3．D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并准确识图判断出、都不是点到、的距离是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到、的距离相等，、都不是点到、的距离，大小不确定．
【详解】解：∵平分，
∴点到、的距离相等，
∵不是点到的距离，
又∵点是上一点，也不是点到的距离，
∴、的大小不确定．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解.
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
∵，
∴，
故选：B.
5．A
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E，
∴，
∵，，
∴的周长为；
故选A．
6．D
【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠后图形相对应的边和角大小不变．
由，得出，因为，由折叠性可知，所以，再由，解得即可判断①，由折叠性可知，若则有，不能同时垂直两条相交线，所以错误即可判断②；由①知，，若，由折叠性可知，是等边三角形，得到，所以即，由②知错误即可判断③；由折叠性可知，，即是的角平分线，所以点到直角边、的距离相等．
【详解】，
，
，
由折叠性可知，
，
，
，即，
，故①正确；
由折叠性可知，
若，则有，
不能同时垂直两条相交线，所以错误，故②错误；
，，
若，由折叠性可知，是等边三角形，
，
，即，
由②知错误，故③错误；
由折叠性可知，，即是的角平分线，
所以点到直角边、的距离相等，故④正确；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．
根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选：D ．
8．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据题意得出平分，作于点，得到，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于点，
由题意得平分，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．据对称轴的定义，与关于直线对称，P为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点，
∴，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；
直线、关于直线对称，因此交点一定在上，D错误；
故选：D．
10．A
【分析】根据角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）判断嘉嘉的画法是否正确．由，，为公共边，证，得，即平分．进而判断琪琪的画法是否正确．本题主要考查角平分线判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 ）和全等三角形判定（ ）是解题关键．
【详解】解：嘉嘉的画法：
直尺宽度相等，即点到、的距离等于直尺宽度，即点到、距离相等，
∴射线是角平分线，故嘉嘉画法正确 ．
琪琪的画法：
，，
即是平分线，琪琪画法正确 ．
综上，两人都对，
故选： ．
11．D
【分析】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题，解答关键找到当的周长最小时，P点的位置．连接，根据等边三角形的性质得到垂直平分，进而得到当点B、P、E共线时的周长最小，即可得到P点的位置为等边三角形高线的交点．
【详解】解：连接，
∵在等边中，D是的中点，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴的周长为，
∵E是的中点，
∴当点B、P、E共线时，的周长最小，此时，
∵三角形的三条高线交于一点，且点P在线段上，
∴P点的位置在在三条高的交点处，
故选：D
12．C
【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图.
根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可．
【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下：
图②和图③作法正确，
故选：C．
13．7
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
作出图形，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵平分，，
∴．
故答案为：7．
14．2
【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等．
连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：2．
15．6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵垂直平分线段，是直线上的任意一点，
∴，
∵，
∴周长，
∵，
∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，
∴周长的最小值为，
故答案为：6．
16．
【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，证明是解本题的关键．过点作，垂足为，再证明，然后利用面积公式直接进行计算即可．
【详解】解：如下图，过点作，垂足为，
∵是的角平分线，且，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．
过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案．
【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图，
∵和的角平分线交于点P，
∴，，
∴，设，
∵，
，
，
∵，
∴，
故答案为：．
18．(1)
(2)，，
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的性质求解即可；
（3）根据题意证明出，得到，即可证明；
（4）延长与相交于，由角平分线得到，然后等量代换得到，证明出，进而求解即可．
【详解】（1）解：平分，
∴；
（2）解：平分，，，
；
（3）证明：∵，，
∴
又∵，
∴
∴
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下，
延长与相交于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
19．证明过程见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理．
由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论．
【详解】证明：∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，点在上，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．证明见详解
【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟悉垂直平分线的判定．
连接，根据题意可知和，结合可证明，有，进一步证明出，利用证明，有，结合垂直的性质即可证明结论．
【详解】证明：如图，连接，
∵线段的垂直平分线交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即点F为的中点，又∵
则是线段的垂直平分线．
21．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理与判定定理，正确作出辅助线是解题的关键．
根据常见辅助线作法“见角平分线作垂线”可过点作，，，利用角平分线的性质定理得到线段相等关系，再根据角平分线的判定定理即可证明是的平分线．
【详解】证明：如图，过点作，，，垂足分别为．
平分，
．
又平分，
，
，
是的平分线．
22．见详解
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，作，的垂直平分线，它们的交点即是市场的位置．
【详解】解∶作，的垂直平分线，它们的交点即是市场的位置．如下图：
理由如下：
连接，和，
∵，的垂直平分线交与点，
∴，，
∴．
23．见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．
先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明．
【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P，
∴．
∴．
∴点P必在的垂直平分线上．
24．见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质的应用等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
A
D
D
A
D
A
题号
11
12








答案
D
C