2025-2026学年甘肃省兰州市四校联考九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市四校联考九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共9页。试卷主要包含了下列运算正确的是，在中，，若，，则等于等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在数轴上，表示下列各数的点到原点距离最近的是（ ）
A.B.C.D.
2.中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
4.在中，，若，，则等于（ ）
A.B.C.D.
5.图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A 8B.10C.D.
7.社团活动是丰富学生校园生活，发展学生个性的重要方式，深受学生喜爱．正面印有四个社团名称的宣传卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机一次抽取两张，卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.当温度为时，碳酸钠的溶解度为
B.碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.当温度为时，碳酸钠的溶解度最大
D.要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在
9.我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C.D.
10.“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（ ）

A.4米B.3米C.2米D.1米
11.已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A.B.
C.D.
二．填空题（共4小题，每题3分，共12分）
12.已知，的值为____________.
13.抛物线的顶点坐标是__________．
14.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为___．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______．
三．解答题（共11小题，共75分）
16.化简：
17.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18.解方程：；
19.如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点．
（1）求k和a值；
（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
（3）当AB长为时，求点A的坐标．
20.今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
21.如图，点D为的角平分线上一点，垂直于点E．点G在射线上，且．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴____________________
∵，，
∴____________________
∴．
22.学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，）
23.张丽是学校羽毛球社团成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点处．羽毛球发射的初始位置的高．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为时达到最高点，在与点的水平距离为时的高度为，落地点为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）若张丽的身高为，在距离羽毛球发球机的处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由．
24.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25 综合与探究
【问题情境】
如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
（1）【活动猜想】
如图2，当点与点D重合时，请判断四边形的形状并证明；
（2）【问题解决】
如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点O．
①请判断与对角线的位置关系，并说明理由；
②当时，请求出此时的长．
26.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W：，，，；点到上的点的最小距离为，到上的点的最大距离为，则．因此在上存在点M，N，使得，则点P是的一个“2倍关联点”．
（1）如图2，已知，．
①判断点______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）
②若点是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；
（2）如图3，的圆心为原点，半径为1，若在直线l：上存在点Q是的．“2倍关联点”，求b的取值范围．
分拣快递数量（万件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
型号
14和16
15
型号
20
课题
测量某塔的高
测量说明
测量示意图
说明：是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上）
测量数据
∠1的度数
∠2的度数
的水平距离
26米