2023-2024学年北京市房山区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市房山区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题．解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3B．C．D．﹣3
2．（2分）如图所示，下列各角是锐角的是（ ）
A．∠AOBB．∠AOCC．∠AODD．∠BOC
3．（2分）在下面的四个几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地，尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次，将13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×107B．13×107C．0.13×108D．0.13×107
5．（2分）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BCB．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BDD．AD﹣AC＝BD﹣BC
7．（2分）如图是2024年1月的日历表，用形如的框架框住日历表中的某五个数，对于框架框住的这五个数字之和，小李同学的计算结果有75，90，110，120，而小赵同学说有的结果是错误的．请你通过计算进行判断，小李同学的计算结果中错误的是（ ）
A．75B．90C．110D．120
8．（2分）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5
10．（2分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．当a+d＝0时，下面有五个结论：①b+c＜0；②cd＜0；③d﹣a＝0；④；⑤b2＞c2，其中结论正确的是（ ）
A．①④⑤B．①②④C．③④⑤D．①⑤
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）比较大小：（﹣2）2 |﹣4|（填“＞”．“＜”或“＝”）．
12．（2分）13.6°＝ ° ′．
13．（2分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2024的值为 ．
14．（2分）如图，已知点C为线段AB上一点，线段AB＝8，AC＝2，点M是线段BC的中点，则线段AM的长为 ．
15．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的度数为 ．
16．（2分）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ．
17．（2分）已知a﹣2b＝1，那么1﹣3a+6b的值为 ．
18．（2分）某工作小组将生产零件的任务交给王刚和李明二人．经前期统计，在一天内．王刚共加工a个零件，加工时间为小时；在一天内．李明共加工b个零件、加工时间为（b﹣2）小时．第一天、两人一共生产零件13个，且加工时间相同，那么王刚共加工 个零件；第二天开工前，该工作小组按第一天的分配结果分配了13个零件的加工任务后．又给王刚分配了m个零件的加工任务，给李明分配了n个零件的加工任务，若二人都能在一天内加工完各自分配到的任务．且加工时间相同，则的值为 ．
三、解答题（本题共64分，第19题8分，每小题8分；第20题5分；第21题9分，第1小题4分，第2小题5分；第22、24题各5分；第23、25、26题各6分；第27、28题各7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（8分）计算：
（1）5+（﹣10）﹣（﹣3）；
（2）．
20．（5分）计算：﹣14﹣21+[2﹣（﹣3）2]．
21．（9分）解方程：
（1）5x﹣2＝2x+7；
（2）2（x﹣1）﹣7＝3（2x+5）．
22．（5分）下面是晓丽同学解方程的过程．请认真阅读并完成相应问题．
解：去分母，得 …第一步，
去括号，得4x+8﹣6x+3＝12…第二步，
移项，得 …第三步，
合并同类项，得﹣2x＝1…第四步，
系数化为1，得 …第五步．
（1）补充完整以上解方程的过程；
（2）以上解方程的过程中，第一步和第五步的依据是 ．第三步的依据是 （写出依据的具体内容）．
23．（6分）按要求画图，并回答问题：
如图，在同一平面内有三个点A、B，C．
（1）画射线BA、直线CB；
（2）在射线BA上取一点D．使BD＝CB；
（3）过点A作BC的垂线段AE，比较点A与直线BC上三个点B，C，E之间 的长度最短，最短距离为 cm（精确到0.1cm）．
24．（5分）填空，完成下列说理过程．
如图，点A、O，B在同一条直线上，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．求∠DOE的度数．
解：∵OD是∠AOC的平分线（ ），
∴（ ），
∵OE是∠BOC的平分线，
∴ ＝，
∴∠DOE＝∠COD+ ＝＝ °．
25．（6分）据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工．北京段计划于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
26．（6分）已知AB＝10，点C在射线 AB上，且BC＝AB，D为AC的中点．
（1）依题意，画出图形；
（2）直接写出线段BD的长．
27．（7分）已知∠AOB＝60°，将射线OA绕点O旋转α（0°＜α＜60°）得到射线OC，射线OD是∠BOC的角平分线．
（1）若射线OC在∠AOB外部，且α＝40°，在图1中补全图形，求∠BOD的度；
（2）射线OE在直线OB下方，且∠EOD＝90°，若∠AOC+∠BOE＝72°，求满足条件的α的值．
28．（7分）定义：数轴上有三个点A，B，C，如果点C到A、B两个点的距离成三倍，则称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
例如，如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是5，表示﹣1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是6，点C到点B的距离是到点A距离的3倍，那么称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
（1）如图2，点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1，C2分别表示数0，1，则两个点中是（A，B）的“三倍关联点”的是 ．
（2）如图3，点A表示的数是﹣5，点B表示的数是3，点C是数轴上一动点，当其恰好是（A，B）的“三倍关联点”时，求C点表示的数．
（3）点B表示的数是3，点A表示的数是x（x＜3），点C表示的数的最大值为1，最小值为﹣2，若点C是（A，B）的“三倍关联点”，则x的最小值为 ，x的最大值为 ．
2023-2024学年北京市房山区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列各数中，﹣3的倒数是（ ）
A．3B．C．D．﹣3
【分析】根据倒数定义，相乘得1的两个数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵相乘得1的两个数互为倒数，且﹣3×﹣＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】题目考查了倒数的定义，题目整体较为简单，只要学生熟记倒数定义，即可轻松选对答案．
2．（2分）如图所示，下列各角是锐角的是（ ）
A．∠AOBB．∠AOCC．∠AODD．∠BOC
【分析】根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断．
【解答】解：A选项中，∠AOB＝90°，是直角，故不符合题意；
B选项中，∠AOC＝140°，是钝角，故不符合题意；
C选项中，∠AOD＝150°，是钝角，故不符合题意；
D选项中，∠BOC＝50°，是锐角，故符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了角的分类，解题的关键是根据锐角、钝角和直角的定义来判断．
3．（2分）在下面的四个几何体中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据圆柱、圆锥、棱柱和球的三视图进行判断即可．
【解答】解：球体的三视图都是圆形的，
故选：D．
【点评】考查简单几何体的三视图，从正面、左面、上面看到的图形就是这个几何体的主视图、左视图、俯视图，同时还要注意“长对正，宽相等，高平齐”．
4．（2分）“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地，尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次，将13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×107B．13×107C．0.13×108D．0.13×107
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：13000000＝1.3×107，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（2分）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
6．（2分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BCB．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BDD．AD﹣AC＝BD﹣BC
【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；
C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；
D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
7．（2分）如图是2024年1月的日历表，用形如的框架框住日历表中的某五个数，对于框架框住的这五个数字之和，小李同学的计算结果有75，90，110，120，而小赵同学说有的结果是错误的．请你通过计算进行判断，小李同学的计算结果中错误的是（ ）
A．75B．90C．110D．120
【分析】设中间数字为x，则另外四个数字分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，将五个数字相加可得出五个数字之和为5x，结合小李同学的计算结果有75，90，110，120，可求出各x值，再结合图形，即可得出结论．
【解答】解：设中间数字为x，则另外四个数字分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，
∴五个数字之和为x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x．
根据题意得：5x＝75，5x＝90，5x＝110，5x＝120，
解得：x＝15，x＝18，x＝22，x＝24．
当x＝24时，x+8＝24+8＝32＞31，不符合题意，
∴小李同学的计算结果中错误的是120．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2分）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【解答】解：三个图形中“〇”和“※”是相对面，“△”和“〇”与“※”都是邻面，故选项A、D与此不符题意；
选项C的“△”没有一条边与正方体的棱平行，故选项C不符合题意；
所以只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．（2分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，
依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．当a+d＝0时，下面有五个结论：①b+c＜0；②cd＜0；③d﹣a＝0；④；⑤b2＞c2，其中结论正确的是（ ）
A．①④⑤B．①②④C．③④⑤D．①⑤
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：∵a+d＝0，
∴a＜0，d＞0，原点在b和c之间，且距离c更近，
∴由有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置可得a＜b＜0＜c＜d，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，故①正确；cd＞0，故②错误；d﹣a＞0，故③错误；＜﹣1，故④错误；b2＞c2，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用a+d＝0，得到原点的位置是解题关键，又利用了有理数的运算法则．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）比较大小：（﹣2）2 ＝ |﹣4|（填“＞”．“＜”或“＝”）．
【分析】将两数计算后比较大小即可．
【解答】解：（﹣2）2＝4，|﹣4|＝4，
则（﹣2）2＝|﹣4|，
故答案为：＝．
【点评】本题考查有理数的乘方，绝对值及有理数的大小比较，将原数进行正确的计算是解题的关键．
12．（2分）13.6°＝ 13 ° 36 ′．
【分析】将0.6°化成分即可．
【解答】解：13.6°＝13°36′．
故答案为：13，36．
【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．
13．（2分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则（a+b）2024的值为 1 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2024＝（2﹣3）2024＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方或绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
14．（2分）如图，已知点C为线段AB上一点，线段AB＝8，AC＝2，点M是线段BC的中点，则线段AM的长为 5 ．
【分析】先利用线段的和差关系可得BC＝6，然后利用线段的中点定义可得BM＝3，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝8，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝8﹣2＝6，
∵点M是线段BC的中点，
∴BM＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的度数为 54° ．
【分析】先求出∠DOC，再求出∠BOC．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠DOC＝∠AOD﹣∠AOC＝126°﹣90°＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题主要考查角的和差和余角的性质，解决本题的关键是找出互余的角．
16．（2分）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 两点之间线段最短 ．
【分析】利用线段的性质进行解答即可．
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
17．（2分）已知a﹣2b＝1，那么1﹣3a+6b的值为 ﹣2 ．
【分析】原式后两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣2b＝1，
∴原式＝1﹣3a+6b＝1﹣3（a﹣2b）＝1﹣3×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了代数式求值，运用整体思想代入求值是解题关键．
18．（2分）某工作小组将生产零件的任务交给王刚和李明二人．经前期统计，在一天内．王刚共加工a个零件，加工时间为小时；在一天内．李明共加工b个零件、加工时间为（b﹣2）小时．第一天、两人一共生产零件13个，且加工时间相同，那么王刚共加工 6 个零件；第二天开工前，该工作小组按第一天的分配结果分配了13个零件的加工任务后．又给王刚分配了m个零件的加工任务，给李明分配了n个零件的加工任务，若二人都能在一天内加工完各自分配到的任务．且加工时间相同，则的值为 ．
【分析】根据第一天的工作情况可得：，求解可得王刚共加工零件的个数，分别表示出王刚和李明加工零件的总个数及他们每小时各自的工作量后，根据时间相等列等式计算即可．
【解答】解：根据第一天的工作情况可得，
，
解得，
则第一天两人的工作时间为7﹣2＝5小时，王刚每小时加工个，李明每小时加工个，
第二天王刚加工了（6+m）个，李明加工了（7+n）个，因为两人加工时间相同，
∴，
化简得：7m＝6n，
∴＝．
故答案为：6，．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式之间的等量关系问题，能正确理解题意是解决本题的关键．
三、解答题（本题共64分，第19题8分，每小题8分；第20题5分；第21题9分，第1小题4分，第2小题5分；第22、24题各5分；第23、25、26题各6分；第27、28题各7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（8分）计算：
（1）5+（﹣10）﹣（﹣3）；
（2）．
【分析】（1）从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）5+（﹣10）﹣（﹣3）
＝﹣5+3
＝﹣2．
（2）
＝×
＝．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
20．（5分）计算：﹣14﹣21+[2﹣（﹣3）2]．
【分析】首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算括号外面的除法和减法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣14﹣21+[2﹣（﹣3）2]
＝﹣1﹣21+（2﹣9）
＝﹣1﹣21+（﹣7）
＝﹣22﹣3
＝﹣25．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
21．（9分）解方程：
（1）5x﹣2＝2x+7；
（2）2（x﹣1）﹣7＝3（2x+5）．
【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：（1）5x﹣2＝2x+7，
移项得，5x﹣2x＝7+2，
合并同类项得，3x＝9，
系数化为1得，x＝3；
（2）2（x﹣1）﹣7＝3（2x+5），
去括号得，2x﹣2﹣7＝6x+15，
移项得，2x﹣6x＝15+2+7，
合并同类项，得﹣4x＝24，
系数化为1得，x＝﹣6．
【点评】本题考查了解一元一次方程；解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
22．（5分）下面是晓丽同学解方程的过程．请认真阅读并完成相应问题．
解：去分母，得 4（x+2）﹣3（2x﹣1）＝12 …第一步，
去括号，得4x+8﹣6x+3＝12…第二步，
移项，得 4x﹣6x＝12﹣8﹣3 …第三步，
合并同类项，得﹣2x＝1…第四步，
系数化为1，得 x＝﹣ …第五步．
（1）补充完整以上解方程的过程；
（2）以上解方程的过程中，第一步和第五步的依据是 等式的性质2：等式的两边都乘6；等式的性质2：等式的两边都除以﹣2 ．第三步的依据是 等式的性质1：等式的两边都加（﹣8﹣3） （写出依据的具体内容）．
【分析】先根据等式的性质2去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：，
解：去分母，得4（x+2）﹣3（2x﹣1）＝12…第一步，
去括号，得4x+8﹣6x+3＝12…第二步，
移项，得4x﹣6x＝12﹣8﹣3…第三步，
合并同类项，得﹣2x＝1…第四步，
系数化为1，得x＝﹣…第五步．
故答案为：4（x+2）﹣3（2x﹣1）＝12，4x﹣6x＝12﹣8﹣3，x＝﹣；
（2）以上解方程的过程中，第一步和第五步的依据是等式的性质2：等式的两边都乘12；等式的性质2：等式的两边都除以﹣2；第三步的依据是：等式的性质1：等式的两边都加（﹣8﹣3）．
故答案为：等式的性质2：等式的两边都乘6，等式的性质2：等式的两边都除以﹣2；等式的性质1：等式的两边都加（﹣8﹣3）．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
23．（6分）按要求画图，并回答问题：
如图，在同一平面内有三个点A、B，C．
（1）画射线BA、直线CB；
（2）在射线BA上取一点D．使BD＝CB；
（3）过点A作BC的垂线段AE，比较点A与直线BC上三个点B，C，E之间 AE 的长度最短，最短距离为 1.9 cm（精确到0.1cm）．
【分析】（1）（2）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（3）根据垂线段最短可判断AE的长度最短，然后测量出AE的长度即可．
【解答】解：（1）如图，射线、直线CB为所作；
（2）如图，BD为所作；
（3）点A与直线BC上三个点B，C，E之间AE的长度最短，最短距离为1.9m（精确到0.1cm）．
故答案为：AE，1.9．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂线段最短．
24．（5分）填空，完成下列说理过程．
如图，点A、O，B在同一条直线上，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．求∠DOE的度数．
解：∵OD是∠AOC的平分线（ 已知条件 ），
∴（ 角平分线的定义 ），
∵OE是∠BOC的平分线，
∴ ∠COE ＝，
∴∠DOE＝∠COD+ ∠COE ＝＝ 90 °．
【分析】根据角平分线的定义进行求解即可．
【解答】解：∵OD是∠AOC的平分线（已知条件），
∴（角平分线的定义），
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠COE＝，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝＝90°．
故答案为：已知条件，角平分线的定义，∠COE，∠COE，90．
【点评】本题主要考查了角的计算，根据角平分线的定义逐步求解是本题解题的关键．
25．（6分）据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工．北京段计划于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
【分析】设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为x千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为（x﹣27.5）千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为x千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为（x﹣27.5）千米，
由题意得：﹣＝17，
解得：x＝133.5，
∴＝＝89，
答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26．（6分）已知AB＝10，点C在射线 AB上，且BC＝AB，D为AC的中点．
（1）依题意，画出图形；
（2）直接写出线段BD的长．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据图形求出AC长，再求出AD的长，即可求出BD．
【解答】解：（1）有两种情况：如图：，
；
（2）①如图1所示，
∵AB＝10，BC＝AB＝5，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣5＝5，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×5＝2.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣2.5＝7.5；
②如图2所示，
∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝10+5＝15，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×15＝7.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7.5＝2.5．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解
27．（7分）已知∠AOB＝60°，将射线OA绕点O旋转α（0°＜α＜60°）得到射线OC，射线OD是∠BOC的角平分线．
（1）若射线OC在∠AOB外部，且α＝40°，在图1中补全图形，求∠BOD的度；
（2）射线OE在直线OB下方，且∠EOD＝90°，若∠AOC+∠BOE＝72°，求满足条件的α的值．
【分析】（1）根据指定度数角的画法以及角平分线的画法画出图形，然后根据角平分线的定义计算角的度数即可；
（2）根据OC是否在∠AOB内部进行分类讨论，根据角平分线的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图：
∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝100°，
∵OD是∠BOC的角平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°；
（2）①当OC在∠AOB外部时：∠BOC＝（60+α）°，
∴∠BOD＝（60+α）°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣（60+α）°＝60°﹣α°，
∵∠AOC+∠BOE＝72°，
∴α+60﹣α＝72，
∴α＝24；
②当OC在∠AOB内部时，∠BOC＝（60﹣α）°，
∴∠BOD＝（60﹣α）°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣（60﹣α）°＝60°+α°，
∵∠AOC+∠BOE＝72°，
∴α+60+α＝72，
∴α＝8；
综上所述，α＝8或24．
【点评】本题主要考查了角的计算，注意需要根据OC是否在∠AOB内分类讨论．
28．（7分）定义：数轴上有三个点A，B，C，如果点C到A、B两个点的距离成三倍，则称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
例如，如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是5，表示﹣1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是6，点C到点B的距离是到点A距离的3倍，那么称点C是（A，B）的“三倍关联点”．
（1）如图2，点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1，C2分别表示数0，1，则两个点中是（A，B）的“三倍关联点”的是 C2 ．
（2）如图3，点A表示的数是﹣5，点B表示的数是3，点C是数轴上一动点，当其恰好是（A，B）的“三倍关联点”时，求C点表示的数．
（3）点B表示的数是3，点A表示的数是x（x＜3），点C表示的数的最大值为1，最小值为﹣2，若点C是（A，B）的“三倍关联点”，则x的最小值为 ﹣17 ，x的最大值为 ．
【分析】（1）利用“三倍关联点”的定义判断即可；
（2）设C点表示的数为x，利用分类讨论的思想方法，依据题意列出方程解答即可；
【解答】解：（1）∵C1A＝C1B＝2，
∴C1点不是（A，B）的“三倍关联点”；
∵C2A＝3，C2B＝3，
∴C2A＝3C2B，
∴C2是（A，B）的“三倍关联点”．
故答案为：C2；
（2）设C点表示的数为x，
①当x＞3时，由题意得：
3（x﹣3）＝x﹣（﹣5），
∴x＝7．
②当﹣5＜x＜3时，由题意得：
3﹣x＝3（x+5）或x+5＝3（3﹣x），
解得：x＝﹣3或1．
③当x＜﹣5时，由题意得：
3（﹣5﹣x）＝3﹣x，
∴x＝﹣9．
综上，C点表示的数为﹣9或﹣3或1或7．
（3）当C表示的数为﹣2，点A在点C的左侧时，x取得最小值，
∵﹣2﹣x＝3[3﹣（﹣2）]，
∴x＝﹣17．
当C表示的数为1，点A在点C，B中间时，x取得最大值，
∵3﹣1＝3（x﹣1），
∴x＝．
∴x的最小值为﹣17，x的最大值为．
故答案为：﹣17；．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，利用新定义的规定列出方程是解题的关键．