2023-2024学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
2．（2分）如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）国道109新线高速公路是京西地区首条高速公路，位于北京市门头沟区，东起六环路军庄立交，西至京冀界，全长约65000米．将数字65000用科学记数法表示为（ ）
A．65×103B．6.5×103C．6.5×104D．0.65×105
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣m﹣m＝0B．2m+3n＝5mn
C．3mn﹣2mn＝1D．m2+2m2＝3m2
5．（2分）木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短
D．经过一点有无数条直线
6．（2分）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣2＝b+2
B．如果a＝b，那么2a＝2b
C．如果6a＝2，那么a＝3
D．如果ac＝bc，那么a＝b
7．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b＝0，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．|a|＝|b|D．﹣a＜b
8．（2分）已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“友好数”．例如：2的“友好数”是＝﹣1，﹣1的“友好数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“友好数”，m3是m2的“友好数”，m4是m3的“友好数”，…，依此类推，那么m200的值为（ ）
A．﹣1B．C．2D．﹣2
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损20元记为 元．
10．（2分）比较大小：﹣3 ﹣2．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
11．（2分）关于x的一元一次方程2x﹣a＝1的解为x＝2，则a的值是 ．
12．（2分）如图，射线OA表示的方向是北偏东30°，∠AOB＝90°，那么射线OB表示的方向是 ．
13．（2分）写出一个只含有字母a，b，且系数为﹣3，次数为4的单项式，该单项式可以是 ．
14．（2分）如果∠A与∠B互余，∠A＝65°20'，那么∠B的度数是 ．
15．（2分）如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字，那么该“中”字的面积是 （用含a的代数式表示）．
16．（2分）综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作．已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下：
在不考虑其他因素的前提下，
（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要 分钟；
（2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要 分钟．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每小题5分，第22-26题每小题5分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：（﹣10）﹣（+7）﹣（﹣5）+（+3）．
18．（5分）计算：（﹣20）×+（﹣90）÷（﹣15）．
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：﹣13﹣（﹣2）2÷（﹣4）+|﹣|．
21．（5分）解方程：3x+7＝32﹣2x．
22．（6分）如图，同一平面内的四个点A，B，C，D，按要求画图，并回答问题．
（1）分别画直线AC，射线AD；
（2）连接AB，并延长AB到点E，使得 BE＝AB；
（3）在直线AC上确定一点P，使得点P到点B与点D的距离之和最小；此画图的依据是 ．
23．（6分）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题：．
小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下：
小赵：3x+1＝1﹣2（x﹣1）；
小李：3x+1＝4﹣2（x﹣1）．
（1）这两名同学中，第一步变形结果正确的是 （填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是 ；
（2）请写出完整的解题过程．
24．（6分）先化简，再求值：2（3x﹣y2）﹣（3y2+2x）+4y2，其中，y＝3．
25．（6分）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，点B在线段AC上，AB＝4BC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，AE＝5．
求：线段AD的长．
解：因为点E是线段AC的中点，AE＝5，
所以AC＝2AE＝ ．
又因为AB＝4BC，AC＝AB+ ，
所以AC＝5BC＝10．
所以BC＝ ．
所以AB＝ ．
又因为点D是线段AB的中点，所以AD＝ ，AB＝ ．
26．（6分）2023年9月23日﹣10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琼和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下：
甲商店：买一个挂件送一个徽章；
乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80%）出售．
如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个），
（1）当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需 元；
（2）当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；
（3）当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由．
27．（7分）已知：如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠BOD．
（1）当射线OD在∠AOB内部时，
①如图1，如果∠AOD＝40°，那么∠COE＝ °；
②如图2，如果∠AOD＝α，依题意补全图形，并求∠COE的度数（用含α的式子表示）；
（2）当射线OD在∠AOB外部时，如果∠AOD为钝角，且∠AOD＝β，直接写出∠COE的度数（用含β的式子表示）．
28．（6分）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”．
（1）如图1，当点M与数轴上原点重合时，
①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 ；
②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝ ；
（2）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围．
2023-2024学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣的相反数等于：﹣（﹣）＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（2分）如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．
【解答】解：A、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；
B、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；
C、侧面展开图是三个长方形，故此选项不符合题意；
D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．
3．（2分）国道109新线高速公路是京西地区首条高速公路，位于北京市门头沟区，东起六环路军庄立交，西至京冀界，全长约65000米．将数字65000用科学记数法表示为（ ）
A．65×103B．6.5×103C．6.5×104D．0.65×105
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：65000＝6.5×104，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣m﹣m＝0B．2m+3n＝5mn
C．3mn﹣2mn＝1D．m2+2m2＝3m2
【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可．
【解答】解：A、﹣m﹣m＝﹣2m，故此选项不符合题意；
B、2m与3n不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、3mn﹣2mn＝mn，故此选项不符合题意；
D、m2+2m2＝3m2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
5．（2分）木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短
D．经过一点有无数条直线
【分析】根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线．
故选：A．
【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，解题时注意：经过两点有且只有一条直线．
6．（2分）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣2＝b+2
B．如果a＝b，那么2a＝2b
C．如果6a＝2，那么a＝3
D．如果ac＝bc，那么a＝b
【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：若a＝b，两边同时减去2得a﹣2＝b﹣2，则A不符合题意；
若a＝b，两边同时乘2得2a＝2b，则B符合题意；
若6a＝2，两边同除以6得a＝，则C不符合题意；
若ac＝bc，当c＝0时，a与b不一定相等，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b＝0，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．|a|＝|b|D．﹣a＜b
【分析】根据有理数a+b＝0，推出a，b互为相反数可得结论．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a，b互为相反数，
∴|a|＝|b|．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴，能够根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．
8．（2分）已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“友好数”．例如：2的“友好数”是＝﹣1，﹣1的“友好数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“友好数”，m3是m2的“友好数”，m4是m3的“友好数”，…，依此类推，那么m200的值为（ ）
A．﹣1B．C．2D．﹣2
【分析】依次求出m2，m3，m4，…，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为m1＝﹣1，
所以，
，
，
…，
由此可见，这列数按循环出现，
又因为200÷3＝66余2，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题中定义得出这列数按循环出现是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损20元记为 ﹣20 元．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：盈利100元记作+100元，那么亏损20元可记作﹣20元．
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
10．（2分）比较大小：﹣3 ＜ ﹣2．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
【分析】根据有理数大小比较的规律，在两个负数中，绝对值大的反而小可求解．
【解答】解：两个负数，绝对值大的反而小：﹣3＜﹣2．
【点评】同号有理数比较大小的方法：
都是正有理数：绝对值大的数大．如果是代数式或者不直观的式子要用以下方法，
（1）作差，差＞0，前者大，差＜0后者大
（2）作商，商＞1，前者大，商＜1后者大
都是负有理数：绝对值的大的反而小．如果是复杂的式子，则可用作差法或作商法比较．
异号有理数比较大小的方法：就只要判断哪个是正哪个是负就行，
都是字母：就要分情况讨论．
11．（2分）关于x的一元一次方程2x﹣a＝1的解为x＝2，则a的值是 3 ．
【分析】把x＝2的方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝2代入得：4﹣a＝1，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12．（2分）如图，射线OA表示的方向是北偏东30°，∠AOB＝90°，那么射线OB表示的方向是 南偏东60° ．
【分析】由方向角的定义求出：∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，即可得到答案．
【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴射线OB表示的方向是南偏东60°．
故答案为：南偏东60°．
【点评】本题考查方向角，关键是由方向角的定义求出∠BOD＝60°．
13．（2分）写出一个只含有字母a，b，且系数为﹣3，次数为4的单项式，该单项式可以是 ﹣3a2b2（答案不唯一） ．
【分析】根据单项式、单项式的系数和次数的概念解答即可．
【解答】解：单项式﹣3a2b2，是一个含有字母a、b，系数为﹣3，次数为4的单项式，
故答案为：﹣3a2b2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是单项式的概念，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
14．（2分）如果∠A与∠B互余，∠A＝65°20'，那么∠B的度数是 24°40′ ．
【分析】根据余角的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠A与∠B互余，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝65°20'，
∴∠B＝90°﹣∠A＝89°60′﹣65°20′＝24°40′，
故答案为：24°40′．
【点评】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
15．（2分）如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字，那么该“中”字的面积是 9a﹣3 （用含a的代数式表示）．
【分析】根据该“中”字的面积等于两个长方形的面积和减去中间重合部分的面积列式即可．
【解答】解：由题意可得，该“中”字的面积＝2a•3+3a•1﹣3×1
＝6a+3a﹣3
＝9a﹣3．
故答案为：9a﹣3．
【点评】本题考查了列代数式，长方形的面积，将该“中”字的面积转化为三个长方形面积的和差是解题的关键．
16．（2分）综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作．已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下：
在不考虑其他因素的前提下，
（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要 27 分钟；
（2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要 19 分钟．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意分两种情况分类讨论后列式计算并比较大小即可．
【解答】解：（1）8+4+5+10＝27（分钟），
即如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要27分钟，
故答案为：27；
（2）若一名学生先打磨A模型，
则需要时间为8+（5﹣1）+10＝22（分钟）；
若一名学生先打磨B模型，
则需要时间为5+10+4＝19（分钟）；
∵22＞19，
∴完成这两个飞机模型的制作最少需要19分钟，
故答案为：19．
【点评】本题考查有理数运算的实际应用，（2）中分情况讨论后列得正确的算式是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每小题5分，第22-26题每小题5分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：（﹣10）﹣（+7）﹣（﹣5）+（+3）．
【分析】从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣10）﹣（+7）﹣（﹣5）+（+3）
＝﹣10﹣7+5+3
＝﹣17+5+3
＝﹣12+3
＝﹣9．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
18．（5分）计算：（﹣20）×+（﹣90）÷（﹣15）．
【分析】原式先乘除，再加法即可求出值．
【解答】解：（﹣20）×+（﹣90）÷（﹣15）
＝﹣4+6
＝2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
19．（5分）计算：．
【分析】根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：
＝
＝﹣6﹣（﹣8）+（﹣15）
＝﹣6+8﹣15
＝﹣13．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律．
20．（5分）计算：﹣13﹣（﹣2）2÷（﹣4）+|﹣|．
【分析】先算乘方，再算除法，同时化简绝对值，最后算加减，即可得到答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣4÷（﹣4）+
＝﹣1+1+
＝．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．
21．（5分）解方程：3x+7＝32﹣2x．
【分析】将方程移项，合并同类项，化成ax＝b的形式，再把系数化为1即可．
【解答】解：移项得：
3x+2x＝32﹣7，
合并同类项得：
5x＝25，
∴x＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程方程的解法，注意移项时要变号．
22．（6分）如图，同一平面内的四个点A，B，C，D，按要求画图，并回答问题．
（1）分别画直线AC，射线AD；
（2）连接AB，并延长AB到点E，使得 BE＝AB；
（3）在直线AC上确定一点P，使得点P到点B与点D的距离之和最小；此画图的依据是 两点之间线段最短 ．
【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形；
（2）根据题目要求画出图形；
（3）利用两点之间线段最短解决问题．
【解答】解：（1）如图，直线AC，射线AD即为所求；
（2）如图，线段BE即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
理由：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义．
23．（6分）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题：．
小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下：
小赵：3x+1＝1﹣2（x﹣1）；
小李：3x+1＝4﹣2（x﹣1）．
（1）这两名同学中，第一步变形结果正确的是 小李 （填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是 等式的性质2（等式的两边都乘4） ；
（2）请写出完整的解题过程．
【分析】（1）根据等式的性质2：等式的两边都乘4即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1）这两名同学中，第一步变形结果正确的是小李，这一步的变形依据是等式的性质2（等式的两边都乘4）．
故答案为：小李，等式的性质2（等式的两边都乘4）；
（2），
去分母，得3x+1＝4﹣2（x﹣1），
去括号，得3x+1＝4﹣2x+2，
移项，得3x+2x＝4+2﹣1，
合并同类项，得5x＝5，
系数化成1，得x＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
24．（6分）先化简，再求值：2（3x﹣y2）﹣（3y2+2x）+4y2，其中，y＝3．
【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝6x﹣2y2﹣3y2﹣2x+4y2
＝4x﹣y2；
当x＝﹣，y＝3时，
原式＝4×（﹣）﹣32＝﹣2﹣9＝﹣11．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
25．（6分）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，点B在线段AC上，AB＝4BC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，AE＝5．
求：线段AD的长．
解：因为点E是线段AC的中点，AE＝5，
所以AC＝2AE＝ 10 ．
又因为AB＝4BC，AC＝AB+ BC ，
所以AC＝5BC＝10．
所以BC＝ 2 ．
所以AB＝ 8 ．
又因为点D是线段AB的中点，所以AD＝ ，AB＝ 4 ．
【分析】根据线段的中点定义可得AC＝10，再根据已知易得AC＝5BC＝10，从而可得BC＝2，进而可得AB＝8，然后利用线段的中点定义进行计算，即可解答．
【解答】解：因为点E是线段AC的中点，AE＝5，
所以AC＝2AE＝10，
又因为AB＝4BC，AC＝AB+BC，
所以AC＝5BC＝10，
所以BC＝2，
所以AB＝8，
又因为点D是线段AB的中点，所以AD＝AB＝4，
故答案为：10；BC；2；8；；4．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
26．（6分）2023年9月23日﹣10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琼和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下：
甲商店：买一个挂件送一个徽章；
乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80%）出售．
如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个），
（1）当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需 1300 元；
（2）当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；
（3）当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由．
【分析】（1）利用在甲商店订购所需费用＝挂件每个的标价×购买数量+徽章每个的标价×（购买数量﹣30），即可求出结论；
（2）设当订购x（x＞30）个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分别求出在甲商店订购、在乙商店订购及“在甲商店订购挂件30个，徽章30个，在乙商店订购徽章70个”，所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：40×30+20×（35﹣30）
＝40×30+20×5
＝1200+100
＝1300（元），
∴当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需1300元．
故答案为：1300；
（2）设当订购x（x＞30）个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，
根据题意得：40×30+20（x﹣30）＝40×80%×30+20×80%x，
解得：x＝90．
答：当订购90个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；
（3）最省钱的订购方案为：在甲商店订购挂件30个，徽章30个，在乙商店订购徽章70个，理由如下：
方案1：在甲商店订购，所需费用为40×30+20×（100﹣30）＝2600（元）；
方案2：在乙商店订购，所需费用为40×80%×30+20×80%×100＝2560（元）；
方案3：在甲商店订购挂件30个，徽章30个，在乙商店订购徽章100﹣30＝70（个），所需费用为40×30+20×80%×70＝2320（元）．
∵2600＞2560＞2320，
∴最省钱的订购方案为：在甲商店订购挂件30个，徽章30个，在乙商店订购徽章70个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用．
27．（7分）已知：如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以O为端点作射线OD，OE平分∠BOD．
（1）当射线OD在∠AOB内部时，
①如图1，如果∠AOD＝40°，那么∠COE＝ 20 °；
②如图2，如果∠AOD＝α，依题意补全图形，并求∠COE的度数（用含α的式子表示）；
（2）当射线OD在∠AOB外部时，如果∠AOD为钝角，且∠AOD＝β，直接写出∠COE的度数（用含β的式子表示）．
【分析】（1）①求出∠AOC＝60°，∠EOB＝40°，可得结论；
②求出∠AOC＝60°，∠EOB＝（120°﹣α），可得结论；
（2）分两种情形：如图3中，当OD在OA的下方时，当OD在OA的上方时，分别求解．
【解答】解：（1）①如图1中，∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∵∠AOD＝α，
∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝80°，
∵OE平分∠DOB，
∴∠EOB＝∠DOB＝40°，
∴∠COE＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠EOB＝120°﹣60°﹣40°＝20°．
故答案为：20；
②如图2中，当∠AOD＝α时，∠EOB＝（120°﹣α）＝60°﹣α，
∴∠COE＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠EOB＝120°﹣60°﹣（60°﹣α）＝α；
（2）如图3中，当OD在OA的下方时，∠COE＝60°+（360°﹣120°﹣β）＝180°﹣β．
如图4中，当OD在OA的上方时，∠COE＝60°+（β﹣120°）＝β．
综上所述，∠COE＝180°﹣β或β．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
28．（6分）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且b＝a+2，点P在线段AB上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”．
（1）如图1，当点M与数轴上原点重合时，
①如果a＝﹣3，那么点M到线段AB的“到达距离”是 1 ；
②如果点M到线段AB的“到达距离”是2，那么a＝ 2或﹣4 ；
（2）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；
②根据“到达距离”的定义，分类讨论，即可求解；
（2）首先根据a的取值范围，求出b的取值范围，然后根据“到达距离”的定义，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝a+2，
∴b＝﹣3+2＝﹣1，
∵点M到点P的距离的最小值为点M到线段AB的“到达距离”，且点M与数轴上原点重合时，
∴点M到线段AB的“到达距离”是1，
故答案为：1．
（2）∵点M到线段AB的“到达距离”是2，且点M与数轴上原点重合时，b＝a+2，
∴当a＝2时，b＝4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意；
当a＝﹣2时，b＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意；
当b＝2时，a＝0，点M到线段AB的“到达距离”是0，不符合题意；
当b＝﹣2时，a＝﹣4，点M到线段AB的“到达距离”是2，符合题意；
综上所述，a＝2或a＝﹣4，
故答案为：a＝2或a＝﹣4．
（3）当点A对应的数a在﹣2～3之间（包含﹣2，3）时，b＝a+2，
∴点b对应的数b在0～5之间（包含0，5），
∵点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，
∴点M在线段AB外，
这里只考虑两种极限：①当a＝﹣2，b＝0时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的左侧，则m﹣（﹣2）＜﹣3，即m＜﹣5；
②当a＝3，b＝5时，点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，点M在线段AB的右侧，则m﹣5＞3，即m＞8；
综上所述，如果点M到线段AB的“到达距离”始终大于3，则m＞8或m＜﹣5．
【点评】本题考查数轴的相关知识，解题的关键是正确计算两点间的距离以及掌握数轴上的动点问题．工序
时间（分钟）
模型
打磨
组装
A模型
8
4
B模型
5
10
工序
时间（分钟）
模型
打磨
组装
A模型
8
4
B模型
5
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