2023-2024学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．±3
2．（3分）我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林10.2亿亩，人工林面积稳居世界第一．将10.2亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×108B．1.02×108
C．1.02×109D．0.102×1010
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八封镇，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，下图是鲁班锁中的一个部件，它从正面看的图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2+1＝4B．x+y＝4C．mx+1＝4D．x+1＝4
5．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＞0
6．（3分）关于x的一元一次方程2x+m＝6的解为﹣2，则m的值为（ ）
A．10B．4C．2D．﹣2
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．4a2﹣2a＝2a
C．2a+b＝2abD．3ab﹣ba＝2ab
8．（3分）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，那么下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠2与∠AOE互补B．∠2与∠3互余
C．∠1与∠3互余D．∠3与∠4相等
9．（3分）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（ ）
A．2x+4B．4x+8C．2y+4D．4y+8
10．（3分）幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（ ）
A．5B．7C．9D．12
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）计算：﹣3﹣5＝ ．
12．（3分）如图所示，可以用量角器度量∠AOB的度数，那么∠AOB的度数为 ．
13．（3分）已知2a﹣b＝1，则4（a﹣b）+2b＝ ．
14．（3分）如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是A→B，②号路线是A→C→B．小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是 ．
15．（3分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西55°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ °．
16．（3分）对于式子“m+n”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款（m+n）元，请你对式子“2a”赋予一个实际意义： ．
17．（3分）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动．活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”．如表记录了9个赛段的部分“里程波动值”
（1）第7个赛段的实际路程为 米；
（2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米．
18．（3分）如图，数轴上点A0表示的数为﹣2，点A1（不与A0重合），A0分别到1对应的点的距离相等，点A2（不与A1重合），A1分别到2对应的点的距离相等，点A3（不与A2重合），A2分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点A5表示的数为 ，点A2024表示的数为 ．
三、解答题（共46分，第19，21，23题，每题4分，第20，22，24，25题，每题5分，第26，27题，每题7分）解答应写出文字说明或演算步骤．
19．（4分）计算：（﹣1）×（﹣5）﹣60÷（﹣15）．
20．（4分）计算：．
21．（4分）解方程：2x+5＝3（x﹣1）．
22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，．
23．（5分）下面是小超解方程的过程．
按要求完成下面的问题：
（1）上述解方程第一步变形的依据是 ；
（2）小超从第 步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程．
24．（5分）如图，线段a和射线AP．
（1）用圆规在射线AP上截取AB＝3a（保留作图痕迹）；
（2）点C为线段AB的中点，点D在直线AB上，且AD＝a，请你补全图形，并直接写出CD的长（用含a的式子表示）．
25．（5分）列方程解应用题：
每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如表所示：
如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？
26．（7分）已知∠AOB＝130°，作射线OC，∠BOC＝α，射线OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，
①如图1，若α＝30°，则∠DOE的度数为 ；
②如图2，若0°＜α＜130°，补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的式子表示）．
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）．
下面是小东的解答过程，请你补充完整．
解：（1）①如图1，若α＝30°，则∠DOE的度数为 ；
②在图2中补全图形．
因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°，
所以（ ）（填写推理依据）．
因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α，
所以＝ ．
所以∠DOE＝ ．
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE的度数为 ．
27．（7分）数轴上有四个点P，Q，M，N．我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为d1，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为d2，若满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2．
此时，PQ＝1，PM＝4，PN＝6，QM＝5，QN＝7，其中存在PQ＝PN﹣QM＝1，满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
在数轴上点A，B分别表示的数为﹣2，4．
（1）若点C1和D1分别表示的数为10和1，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，则在①C1和D1，②C2和D2，③C3和D3中，是A，B的“伴随点对”的是 （填序号即可）；
（2）若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围；
（3）若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动．设点D的运动时间为t秒．当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值．
2023-2024学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均场有四个选项,符合题意的选项只有一个．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．C．3D．±3
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3分）我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林10.2亿亩，人工林面积稳居世界第一．将10.2亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.2×108B．1.02×108
C．1.02×109D．0.102×1010
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：10.2＝1020000000＝1.02×109，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八封镇，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，下图是鲁班锁中的一个部件，它从正面看的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2+1＝4B．x+y＝4C．mx+1＝4D．x+1＝4
【分析】根据一元一次方程的定义，可得答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：A．x2+1＝4是一元二次方程，故A不符合题意；
B．x+y＝4是二元一次方程，故不符合题意；
C．当m＝0时，mx+1＝4不是一元一次方程，故C不符合题意；
D．x+1＝4是一元一次方程，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的未知数的指数为1．
5．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＞0
【分析】直接利用数轴上a，b的位置进行比较得出答案．
【解答】解：如图所示：A、a＜b，故此选项错误；
B、|a|＞|b|，正确；
C、﹣a＞b，故此选项错误；
D、a+b＜0，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确应用数形结合是解题关键．
6．（3分）关于x的一元一次方程2x+m＝6的解为﹣2，则m的值为（ ）
A．10B．4C．2D．﹣2
【分析】先把方程的解代入该方程得关于m的一次方程，求解即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程，得2×（﹣2）+m＝6，
∴﹣4+m＝6．
∴m＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程解的意义及一元一次的解法是解决本题的关键．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．4a2﹣2a＝2a
C．2a+b＝2abD．3ab﹣ba＝2ab
【分析】分别根据合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．3a﹣a＝2a，故本选项不符合题意；
B．4a2与﹣2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．2a与b不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D．3ab﹣ba＝2ab，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
8．（3分）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，那么下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠2与∠AOE互补B．∠2与∠3互余
C．∠1与∠3互余D．∠3与∠4相等
【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后利用角的和差关系以及平角定义可得∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，从而可得∠1+∠3＝90°，再利用同角的余角相等可得∠3＝∠4，最后根据∠4+∠AOE＝180°，∠2≠∠4，从而可得∠2+∠AOE≠180°，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠1＝∠2，
∵∠DOE＝90°，
∴∠1+∠4＝180°﹣∠DOE＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠4，
故B、C、D都正确；
∵∠4+∠AOE＝180°，∠2≠∠4，
∴∠2+∠AOE≠180°，
故A不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9．（3分）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（ ）
A．2x+4B．4x+8C．2y+4D．4y+8
【分析】由题意可知，长为x、宽为y的长方形面积﹣5块形状、大小完全相同的空白长方形面积＝2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的面积之和，设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，列方程得出z＝x﹣12，再列出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和的公式，求解即可．
【解答】解：由题意可知，长为x、宽为y的长方形面积﹣5块形状、大小完全相同的空白长方形面积＝2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的面积之和，
设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，
∴可得：xy﹣2×4×z﹣3×4×z＝[（x﹣4×3）（y﹣4×2）]+[（y﹣z）（3×4）]，
解得：z＝x﹣12，
∴2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：[（x﹣3×4）+（y﹣2×4）]×2+[（y﹣z）+3×4]×2，
将z＝x﹣12代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为4y+8，
故选：D．
【点评】本题考查的是列代数式的相关知识，解题的关键是明确掌握长方形的周长和面积公式．
10．（3分）幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（ ）
A．5B．7C．9D．12
【分析】由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为19﹣a，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵第三行和第三列上的数字和相等，
∴左下角的数字为19﹣a，如图所示．
根据题意得：4+19﹣a＝1+15，
解得：a＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）计算：﹣3﹣5＝ ﹣8 ．
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣3﹣5＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．（3分）如图所示，可以用量角器度量∠AOB的度数，那么∠AOB的度数为 55° ．
【分析】由图形可直接得出．
【解答】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°，
故答案为：55°
【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
13．（3分）已知2a﹣b＝1，则4（a﹣b）+2b＝ 2 ．
【分析】将原式去括号并整理后代入数值计算即可．
【解答】解：已知2a﹣b＝1，
原式＝4a﹣4b+2b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b）
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查整式的化简求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
14．（3分）如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是A→B，②号路线是A→C→B．小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是 两点之间，线段最短 ．
【分析】直接利用线段的性质判断得出答案．
【解答】解：最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．
15．（3分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西55°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ 140 °．
【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝55°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣55°＝35°，
∠AOB＝35°+90°+15°＝140°，
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
16．（3分）对于式子“m+n”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款（m+n）元，请你对式子“2a”赋予一个实际意义： 一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元（答案不唯一） ．
【分析】根据题意解决问题即可．
【解答】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元．
故答案为：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是2a元（答案不唯一）．
【点评】本题考查代数式，解题的关键是理解题意．
17．（3分）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动．活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”．如表记录了9个赛段的部分“里程波动值”
（1）第7个赛段的实际路程为 270 米；
（2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 318 米．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）先求得5，6两个赛段的里程波动值之和，然后设第5个赛段的“里程波动值”为x米，列得方程求得x的值后列式计算即可．
【解答】解：（1）300﹣30＝270（米），
即第7个赛段的实际路程为270米，
故答案为：270；
（2）0﹣（10+26﹣13﹣20﹣30﹣16+13）
＝0﹣（﹣30）
＝0+30
＝30（米），
即5，6两个赛段的里程波动值之和为30米，
设第5个赛段的“里程波动值”为x米，
则x+2x﹣6＝30，
解得：x＝12，
那么300+（30﹣12）＝318（米），
即第6个赛段实际路程为318米，
故答案为：318．
【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
18．（3分）如图，数轴上点A0表示的数为﹣2，点A1（不与A0重合），A0分别到1对应的点的距离相等，点A2（不与A1重合），A1分别到2对应的点的距离相等，点A3（不与A2重合），A2分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点A5表示的数为 8 ，点A2024表示的数为 2022 ．
【分析】依次求出点Ai（i为正整数）所表示的数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为数轴上点A0表示的数为﹣2，且A1（不与A0重合），A0分别到1对应的点的距离相等，
所以1×2﹣（﹣2）＝4，
即点A1表示的数为4；
依次类推，点A2表示的数为0，点A3表示的数为6，点A4表示的数为2，点A5表示的数为8，点A6表示的数为4，…，
所以点A2n（n为正整数）表示的数为：2n﹣2，点A2n﹣1表示的数为：2n+2．
当n＝3时，
2×3+2＝8，
即点A5表示的数为8；
当n＝1012时，
2×1012﹣2＝2022，
即点A2024表示的数为2022．
故答案为：8，2022．
【点评】本题考查数字变化的规律，能依次求出点Ai（i为正整数）所表示的数并发现规律是解题的关键．
三、解答题（共46分，第19，21，23题，每题4分，第20，22，24，25题，每题5分，第26，27题，每题7分）解答应写出文字说明或演算步骤．
19．（4分）计算：（﹣1）×（﹣5）﹣60÷（﹣15）．
【分析】先算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：（﹣1）×（﹣5）﹣60÷（﹣15）
＝5+4
＝9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（4分）计算：．
【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：
＝
＝﹣9+×（﹣6）
＝﹣9﹣2
＝﹣11．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（4分）解方程：2x+5＝3（x﹣1）．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：2x+5＝3（x﹣1），
去括号，得2x+5＝3x﹣3，
移项，得2x﹣3x＝﹣3﹣5，
合并同类项，得﹣x＝﹣8，
系数化成1，得x＝8．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，．
【分析】先去括号，合并同类项把所求式子化简，再将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x2+y﹣x2+y
＝﹣3x2+y，
当x＝﹣2，时，
原式＝﹣3×（﹣2）2+
＝﹣3×4+
＝﹣12+
＝﹣11．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则，把所求式子化简．
23．（5分）下面是小超解方程的过程．
按要求完成下面的问题：
（1）上述解方程第一步变形的依据是 等式的性质2 ；
（2）小超从第 三 步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据等式的性质解答；
（2）第三步去括号时没有变号，然后根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）等式的性质2；
（2）三，
解：去分母得，，
，
2（x+1）﹣（2﹣x）＝4，
去括号得，2x+2﹣2+x＝4，
移项得，2x+x＝4﹣2+2，
合并同类项得，3x＝4，
系数化为1得，．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
24．（5分）如图，线段a和射线AP．
（1）用圆规在射线AP上截取AB＝3a（保留作图痕迹）；
（2）点C为线段AB的中点，点D在直线AB上，且AD＝a，请你补全图形，并直接写出CD的长（用含a的式子表示）．
【分析】（1）取线段a的长，以A为圆心在射线AP上依次画三段弧，可得AB＝3a；
（2）分别以A、B为圆心，AB的长为半径画弧，连接交点，交直线AB于点C，根据D的位置分情况讨论．
【解答】解：（1）；
（2），
∵点C为线段AB的中点，AB＝3a
∴AC＝BC＝a，
若D在D′处，CD＝AC﹣AD＝a，
若D在D″处，CD＝AC+AD＝a，
∴CD的长为或．
【点评】本题考查了画图、两点间的距离，关键是作图准确．
25．（5分）列方程解应用题：
每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如表所示：
如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？
【分析】设当王老师买x本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，利用总价＝单价×数量+邮费，结合分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设当王老师买x（x＞20）本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，
根据题意得：4x+5×2＝4×20+4×0.8（x﹣20）+14，
整理得：0.8x﹣20＝0，
解得：x＝25．
答：当王老师买25本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
26．（7分）已知∠AOB＝130°，作射线OC，∠BOC＝α，射线OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，
①如图1，若α＝30°，则∠DOE的度数为 50° ；
②如图2，若0°＜α＜130°，补全图形，并求∠DOE的度数（用含α的式子表示）．
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）．
下面是小东的解答过程，请你补充完整．
解：（1）①如图1，若α＝30°，则∠DOE的度数为 50° ；
②在图2中补全图形．
因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°，
所以（ 角平分线的定义 ）（填写推理依据）．
因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α，
所以＝ ．
所以∠DOE＝ 65°﹣ ．
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE的度数为 或 ．
【分析】（1）①利用角平分线的定义解答即可；
②利用角平分线的定义和角的和差运算解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：
【解答】解：（1）①如图1，若α＝30°，则∠DOE的度数为50°；
②在图2中补全图形．
因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°，
所以（角平分线的定义）（填写推理依据）．
因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α，
所以＝．
所以∠DOE＝65°﹣．
故答案为：角的平分线定义：；；
（2）①当OC在OB的下方时，
因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°，
所以，
因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α，
所以＝．
所以∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝65°+；
②当OC在OA的下方时，
因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°，
所以，
因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α，
所以＝．
所以∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝﹣65°．
综上，当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE的度数为：或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
27．（7分）数轴上有四个点P，Q，M，N．我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为d1，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为d2，若满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2．
此时，PQ＝1，PM＝4，PN＝6，QM＝5，QN＝7，其中存在PQ＝PN﹣QM＝1，满足d＝d1﹣d2，则称P和Q是M，N的“伴随点对”．
在数轴上点A，B分别表示的数为﹣2，4．
（1）若点C1和D1分别表示的数为10和1，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，则在①C1和D1，②C2和D2，③C3和D3中，是A，B的“伴随点对”的是 ①③ （填序号即可）；
（2）若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围；
（3）若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动．设点D的运动时间为t秒．当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据题意，分别计算CD，CA，CB，DA，DB的值，确定是否满足d＝d1﹣d2即可判断；
（2）根据题意，分别表示CD，CA，CB，DA，DB，根据C和D是A、B的“作随点对”，分为CD＝CA﹣DA和CD＝CB﹣DB分别计算即可确定范围；
（3）由题意得，C：﹣2+4t，D：4﹣t，分别表示出 CD＝|﹣6+5t|，CA＝4t，CB＝|6﹣4t|，DA＝6﹣t，DB＝t，根据C和D是A、B的“作随点对”，分四种情况分别计算即可．
【解答】解：（1）①点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C1和D1分别表示的数为10和1，
∴C1D1＝9，C1A＝12，C1B＝6，D1A＝3，D1B＝3，
∴C1D1＝C1A﹣D1A，
∴C1，D1是A，B的“伴随点对”；
②点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C2和D2分别表示的数为3和﹣6，
∴C2D2＝9，C2A＝5，C2B＝1，D2A＝4，D2B＝10，不满足d＝d1﹣d2，
∴C2，D2不是A，B的“伴随点对”；
③点A，B分别表示的数为﹣2，4，点C3和D3分别表示的数为﹣6和﹣9，
∴C3D3＝3，C3A＝4，C3B＝10，D3A＝7，D3B＝13，
∵C3D3＝C3B﹣D3A，
∴C3D3是A，B的“伴随点对”；
故答案为：①③．
（2）CD＝|m﹣l|，CA＝3，CB＝3，DA＝|m+2|，DB＝|m﹣4|，
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①CD＝CA﹣DA，
∴|m﹣1|＝3﹣|m+2|，
∴|m﹣1|+|m+2|＝3，
解得：﹣2≤m≤1；
②CD＝CB﹣DB，
∴|m﹣1|＝3﹣|m﹣4|，
∴|m﹣1|+|m﹣4|＝3，
解得：1≤m≤4，
综上，﹣2≤m≤4．
（3）C：﹣2+4t，D：4﹣t，
∴CD＝|﹣6+5t|，CA＝4t，CB＝|6﹣4t|，DA＝6﹣t，DB＝t，
当CD＝|﹣6+5t|＝0，即t＝时，C、D两点重合，不符合题意；
当CB＝|6﹣4t|＝0，即t＝时，C、B两点重合，不符合题意；
当DA＝6﹣t＝0，即t＝6时，A、D两点重合，不符合题意；
当C和D是A，B的“作随点对”时，
①|﹣6+5t|＝5t﹣6，
解得：t＝（舍去）；
②|﹣6+5t|＝3t，解得：t＝或t＝3；
③|﹣6+5t|＝|6﹣4t|﹣6+t，无解；
④|﹣6+5t|＝|6﹣4t|﹣t，解得：t＝（舍去）或t＝0（舍去）；
综上，t＝或t＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴上的点的问题，解题的关键是分类讨论．4
1
15
a
赛段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
里程波动值
10
26
﹣13
﹣20
？
？
﹣30
﹣16
13
解：…第一步
…第二步
2（x+1）﹣2﹣x＝4…第三步
2x+2﹣2﹣x＝4…第四步
x＝4…第五步
数量
20本及以下
20本以上
价格
每本4元
超过20本的部分打8折
邮费
一次5元
一次14元
4
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a
赛段
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2
3
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5
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里程波动值
10
26
﹣13
﹣20
？
？
﹣30
﹣16
13
解：…第一步
…第二步
2（x+1）﹣2﹣x＝4…第三步
2x+2﹣2﹣x＝4…第四步
x＝4…第五步
数量
20本及以下
20本以上
价格
每本4元
超过20本的部分打8折
邮费
一次5元
一次14元