漳州三中高二年下学期期中考试数学试卷解析-A4

这是一份漳州三中高二年下学期期中考试数学试卷解析-A4，共16页。试卷主要包含了关于空间向量，以下说法正确的是，设，则，设函数，则下列说法正确的有，下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量，且，则
A．4B．C．D．
2．已知随机变量服从正态分布，且，则
A．B．C．D．
3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则
A．密码被成功破译的概率为B．恰有一人成功破译的概率为
C．密码被成功破译的概率为D．密码破译失败的概率为
4．如图在平行六面体中，，相交于，为的中点，设，，，则
A．B．
C．D．
5．已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
6．关于空间向量，以下说法正确的是
A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D．若空间向量，则在的投影向量为
7．设，则
A．B．
C．D．
8．设函数，则下列说法正确的有
A．不等式的解集为
B．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为
C．当时，总有恒成立
D．函数在单调递增，在单调递减
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符
合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的有
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
10．如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则
A．直线AM与BC所成的角为
B．
C．直线AM与平面所成角的余弦值为
D．点M到平面的距离为
11．如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则
A．
B．
C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为．
若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为 ．
13．已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为 ．
14．若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
(1)设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
(2)如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
16．已知函数．
(1)若在处取得极值，求函数的单调区间和极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
17．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段上的一动点.
（1）求证:当点Q为线段的中点时，PQ⊥平面；
（2）设，试问:是否存在实数λ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.
18.在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
(i)求测试结果为语音识别成功的概率；
(ii)已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率;
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案:
方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?
19．已知函数，，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求m的取值范围．
《2025年3月28日高中数学作业》参考答案
1．D
【分析】由向量平行的坐标运算得出，进而由模长公式求解.
【详解】因为，所以，所以，．
故选：D
2．A
【分析】由正态分布的对称性，可得答案.
【详解】易得，由正态分布的对称性可得，
故.
故选：A.
3．C
【分析】对于AB，利用对立事件和独立事件的概率公式可求出密码被成功破译的概率，对于CD，利用独立事件的概率公式可求出两人都成功破译的概率.
【详解】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，
所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确；
对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，
所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误.
故选：B
4．A
【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.
【详解】由已知得，，
故选：C
5.C 由条件得f'(x)=x2-3x=x(x-3),令f'(x)>0,可得x∈(-∞,0)∪(3,+∞),令f'(x)c>b.
故选：D.
8．A
【分析】求出的导数，求出的解析式，再求出的导数，对于A，直接解不等式即可，对于B，的导数的正负可求出其单调区间，对于C，，则令，然后利用导数求其最值，对于D，由题意得有2个零点，转化为函数的图象与有两个交点，从而可求出的范围
【详解】由（），得，则（），
所以（），
对于A，由，得（），则，得，所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，（），由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，所以B错误，
对于C，，令，，则，，当 时，，所以在上递增，所以，所以在上递减，因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，若函数有两个极值点，则有2个零点，即，，令，则，所以在上递增，在上递减，因为，时，都有，所以，得，所以D错误，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决极值问题，解题的关键是正确的求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间和极值，考查数学转化思想，属于较难题
9．【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故正确.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:ABD
10．AD【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一判断各个选项即可.
【详解】过作，垂足为，则，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.
对于A，因为，
所以直线AM与BC所成的角为，故A正确.
对于B，因为，所以B不正确.
对于C，设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以其余弦值为，故C错误.
对于D，设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可.
【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误；
一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确；
当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】(1) 无放回取球时，利用组合计数求得总的取法数和其中黄球个数为2个的取法数，进而求得概率；
(2) 可以得到X服从二项分布,利用二项分布概率公式计算即可.
【详解】(1) 无放回取球时，6个球任取三个，有种不同的取法，
其中黄球个数为2个的取法有，
故；
故答案为：
(2) 有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，
取到黄球的次数X服从二项分布，拿三次取到2个黄球的概率为
.
故答案为：
13．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算.
【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以直线的方向向量为，而，
所以点B到直线的距离.
故答案为：
14．【详解】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，
在上，.
设直线，
直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，解得，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，利用期望公式结合方差公式即可得答案．
（2）结合分步计数原理以及排列知识，利用条件概率转化求解即可．
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：，，，
的分布列为：
所以，
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到女老师为事件
则第1次抽到男老师且第2次抽到女老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
16．(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；
（2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
17．（1）证明见解析；（2）存在，λ=或λ=.
【分析】（1）由题易知PQ∥AC1，利用线面垂直的判定定理可证AC1⊥平面A1BC，即得；
（2）利用坐标系，结合条件可求.
【详解】（1）连接AB1，AC1，
∵点Q为线段A1B的中点，四边形A1B1BA为矩形，
∴A，Q，B1三点共线，且点Q为AB1的中点.
∵点P，Q分别为B1C1和AB1的中点，
∴PQ∥AC1.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACC1A1，
又AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.
又AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，
∴AC1⊥A1C.
∵A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC.
而PQ∥AC1，∴PQ⊥平面A1BC.
（2）以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接A1P，B1Q，BP，则B(0，2，0)，A1(2，0，2).设Q(x，y，z).
∵，∴(x-2，y，z-2)=λ(-2，2，-2).
∴Q(2-2λ，2λ，2-2λ).
∵点Q在线段A1B上运动，
∴平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量.
设平面A1PB的法向量为=(x1，y1，z1)，
∵C(0，0，0)，P(0，1，2)，
∴=(0，-1，2)，=(2，-1，0).
由得
令y1=2，得=(1，2，1).
设平面B1PQ的法向量为=(x2，y2，z2)，
∵B1(0，2，2)，∴=(0，1，0)，=(2-2λ，2λ-2，-2λ).
由得
令，得=(λ，0，1-λ).
由题意得|cs|===，
∴9λ2-9λ+2=0，解得λ=或λ=.
∴当λ=或λ=时，平面A1PQ与平面B1PQ所成夹角的余弦值为.
解:(1)记事件A=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件B=“测试结果语音识别成功”. 分
根据题意得，P(A)=03， 分
(i) 由全概率公式，得
3分
分
=0.69 分
(i)“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件B发生的条件下A发生的概率分
分
分
(2)方案一的测试次数的数学期望为4. 分
用X表示“方案二测试的次数”，由题意得X的可能取值为3，分.
则分
分
所以方案二测试次数的数学期望为分
又因为E(X)