3.6.2 加减消元法（教学课件）湘教版2025-2026学年七年级数学上册

3.6.2 加减消元法教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：3.6.2 加减消元法副标题：初中七年级数学上册授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾问题 1：代入消元法的核心思想是什么？（消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程。）问题 2：用代入法解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)的步骤是什么？（由①得\(x = 5 - y\)，代入②得\(5 - y - y = 1\)，解得\(y = 2\)，回代得\(x = 3\)。）问题 3：观察方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x + y = 5\end{cases}\)，两个方程中\(y\)的系数有什么关系？（相等，都为 1。）引入：当方程组中两个方程的某个未知数系数相等或互为相反数时，除了代入法，还可以通过相加或相减消去这个未知数，这就是本节课要学习的加减消元法。第 3 页：情境引入情境：食堂购买蔬菜，第一天买了 2 斤白菜和 1 斤萝卜共花 10 元，第二天买了 2 斤白菜和 3 斤萝卜共花 18 元，求每斤白菜和萝卜的价格。列方程组：设白菜每斤\(x\)元，萝卜每斤\(y\)元，得\(\begin{cases}2x + y = 10 ①\\ 2x + 3y = 18 ②\end{cases}\) 。分析：两个方程中\(x\)的系数相同，若用②-①，可消去\(x\)，直接求出\(y\)的值。计算：②-①得\(2y = 8\)→\(y = 4\)，代入①得\(2x + 4 = 10\)→\(x = 3\)。这种通过加减消元的方法就是本节课的重点。第 4 页：学习目标知识目标：理解加减消元法的概念和适用条件；掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤；能根据方程组特点选择合适的消元方法。能力目标：通过观察方程组中未知数系数的关系，培养分析问题的能力；在运用加减消元法的过程中，提升运算的准确性和灵活性。情感目标：体会数学方法的多样性，感受 “消元” 思想在解题中的重要作用，增强学习数学的兴趣和信心。第 5 页：加减消元法的概念定义内容：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。核心思想：消元（通过加减运算消除一个未知数，将二元转化为一元）。适用条件：方程组中某一未知数的系数相等（相减消元）或互为相反数（相加消元）。第 6 页：加减消元法的基本步骤观察：观察方程组中两个方程的未知数系数，确定消去哪个未知数。加减：若某未知数系数相等，将两个方程相减；若系数互为相反数，将两个方程相加，消去该未知数，得到一元一次方程。求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。回代：将求出的未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值。检验：将两个未知数的值代入原方程组，检验是否同时成立（可选步骤）。作答：写出方程组的解。第 7 页：例题讲解 1—— 系数互为相反数例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 ①\\ x - y = 1 ②\end{cases}\) 。解析：步骤 1：观察。\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，可相加消去\(y\)。步骤 2：加减。①+②得：\((x + y) + (x - y) = 5 + 1\)→\(2x = 6\) 。步骤 3：求解。\(x = 3\) 。步骤 4：回代。将\(x = 3\)代入①得：\(3 + y = 5\)→\(y = 2\) 。步骤 5：检验。代入②：\(3 - 2 = 1\)，成立。步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\) 。方法总结：系数互为相反数时，选择加法消元，消除未知数更简便。第 8 页：例题讲解 2—— 系数相等例 2：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 ①\\ x + y = 5 ②\end{cases}\) 。解析：步骤 1：观察。\(y\)的系数均为 1，相等，可相减消去\(y\)。步骤 2：加减。①-②得：\((2x + y) - (x + y) = 7 - 5\)→\(x = 2\) 。步骤 3：求解。\(x = 2\) 。步骤 4：回代。将\(x = 2\)代入②得：\(2 + y = 5\)→\(y = 3\) 。步骤 5：检验。代入①：\(2×2 + 3 = 7\)，成立。步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\) 。技巧提示：相减时注意符号变化，避免计算错误（可加括号保护原式）。第 9 页：例题讲解 3—— 需调整系数后加减例 3：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 13 ①\\ 3x - 2y = 5 ②\end{cases}\) 。解析：步骤 1：观察。\(y\)的系数分别为 2 和 - 2，互为相反数，适合加法消元。步骤 2：加减。①+②得：\(6x = 18\)→\(x = 3\) 。步骤 3：回代。将\(x = 3\)代入①得：\(9 + 2y = 13\)→\(2y = 4\)→\(y = 2\) 。步骤 4：检验。代入②：\(9 - 4 = 5\)，成立。步骤 5：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 3\end{cases}\) 。拓展思考：若消去\(x\)，可将①-②得\(4y = 8\)→\(y = 2\)，结果相同，说明可选择任意未知数消元。第 10 页：例题讲解 4—— 需先化系数相等或相反例 4：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11 ①\\ 3x - 2y = 4 ②\end{cases}\) 。解析：步骤 1：观察。\(x\)和\(y\)的系数均不相等也不相反，需先化系数。若消去\(x\)，找 2 和 3 的最小公倍数 6。步骤 2：化系数。①×3 得：\(6x + 9y = 33\) ③ ；②×2 得：\(6x - 4y = 8\) ④ 。步骤 3：加减。③-④得：\(13y = 25\)→\(y = \frac{25}{13}\) 。步骤 4：回代。将\(y = \frac{25}{13}\)代入②得：\(3x - 2×\frac{25}{13}=4\)→\(3x = 4 + \frac{50}{13}=\frac{102}{13}\)→\(x = \frac{34}{13}\) 。步骤 5：检验。代入①：\(2×\frac{34}{13}+3×\frac{25}{13}=\frac{68 + 75}{13}=11\)，成立。步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = \frac{34}{13} \\ y = \frac{25}{13}\end{cases}\) 。方法总结：系数不满足直接加减时，先乘公倍数化系数相等或相反，再消元。第 11 页：例题讲解 5—— 先化简再消元例 5：解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2 ①\\ 3x - 2y = 6 ②\end{cases}\) 。解析：步骤 1：化简。①去分母（乘 6）得：\(3x + 2y = 12\) ③ 。步骤 2：观察。③和②中\(y\)的系数为 2 和 - 2，互为相反数。步骤 3：加减。③+②得：\(6x = 18\)→\(x = 3\) 。步骤 4：回代。将\(x = 3\)代入②得：\(9 - 2y = 6\)→\(y = \frac{3}{2}\) 。步骤 5：检验。代入①：\(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\)，成立。步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = \frac{3}{2}\end{cases}\) 。注意事项：方程组含分母时，需先去分母化简，再选择消元方法。第 12 页：代入法与加减法的选择技巧方程组特点优先方法示例某未知数系数为 1 或 - 1代入法\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ y = x + 1\end{cases}\)某未知数系数相等或相反加减法\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 2x - 3y = 1\end{cases}\)系数均不为 1 且不满足直接加减先化系数再用加减法\(\begin{cases}3x + 4y = 10 \\ 5x - 6y = 3\end{cases}\)含括号或分母先化简再选择方法\(\begin{cases}2(x + 1) = y + 3 \\ 3y = 2x + 5\end{cases}\)第 13 页：课堂练习 1练习 1：用加减法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}x + y = 10 \\ x - y = 2\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}3x + 2y = 14 \\ 3x - y = 7\end{cases}\) 。练习 2：解方程组\(\begin{cases}2x + 5y = 13 \\ 3x - 5y = 7\end{cases}\) 。第 14 页：课堂练习 2练习 3：解方程组\(\begin{cases}4x + 3y = 5 \\ 2x - y = -5\end{cases}\)（提示：先化\(x\)系数相等）。练习 4：某车间有工人 54 人，每人每天生产甲种零件 15 个或乙种零件 24 个，已知 3 个甲种零件和 2 个乙种零件配套，如何分配工人使零件刚好配套？（列方程组并用加减法求解）。第 15 页：易错点提醒系数相反时误用减法消元，或系数相等时误用加法消元，导致无法消元。化系数时漏乘常数项，如将\(2x + y = 3\)乘 2 错误得\(4x + y = 6\)（正确应为\(4x + 2y = 6\)）。方程相减时符号错误，如①-②时未变号，导致计算结果错误。回代时选择复杂方程，增加计算难度和出错概率。结果未写成方程组解的形式，如仅写\(x = 2\)，\(y = 3\)，未写成\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\) 。第 16 页：课堂小结本节课学习了加减消元法解二元一次方程组，核心是通过加减运算消除一个未知数。掌握了加减法的适用条件：某未知数系数相等（相减）或互为相反数（相加）。学会了 “化系数→加减消元→求解→回代” 的完整步骤，以及含分母、括号的方程组需先化简的处理方法。明确了代入法与加减法的选择依据，能根据方程组特点灵活选用合适方法。第 17 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页练习二十七第 1、2、3 题。提高作业：用加减法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2 \\ 3x - 4y = -7\end{cases}\) 。拓展作业：对比代入消元法和加减消元法的优缺点，举例说明何时选择哪种方法更高效。2025-2026学年湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习导入 ①②(1) 用代数消元法求解.解：将方程①移项、两边都除以3，得将③式代入方程②，得 解得x=1把x用1代入③式，得y=-2 探索新知 ①②(2)上述方程组中未知数y的系数有什么特点？这对解方程组有什么启发?发现：方程①中y的系数和方程②中y的系数互为相反数.启发：若把方程①②的左右两边分别相加，就可消去y， 从而得到关于x的一元一次方程.①+②，得9x=9 ，两边都除以9，得 x=1 .把x用1代入方程①，得 7×1+3y=1 ， y=-2 .解得 该如何选择合适的方法？ 只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.例3 解：①-②，得两边都除以8，得把y用-1代入方程①，得解得 8y=-8 ，2x+3×(-1)=-1 ， x=1 . y=-1 ，发现：方程①中x的系数的3倍等于方程②中x的系数.启发：先把方程①的左右两边都乘3，再将得到的方程与方程②左右两边对应相减，便得到关于y的一元一次方程.①×3，得③-②，得(6x+9y)-(6x-5y)=-33-9 ，去括号，得 合并同类项，得14y=-42 ，两边都除以14，得 y=-3 .把y用-3代入方程①，得 2x+3×(-3) =-11，解得x=-1 .  对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法.用自己的语言总结解二元一次方程组的基本思路. 消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值.二元一次方程组一元一次方程求出一个未知数的值求出另一个未知数的值课堂练习1.用加减消元法解下列二元一次方程组：解：(1) ①+②，得10y=40 ，解得 y=4 .把y用4代入①式，得 2x+7×4=22，解得x=-3. 【课本P124 练习 第1题】1.用加减消元法解下列二元一次方程组： (2) ②-①，得5x=-15 ，解得 x=-3 .把x用-3代入①式，得 -2×(-3)+5y=11，解得y=1. 【课本P124 练习 第1题】 (3) ①×2-②，得9y=63，解得 y=7 .把y用7代入①式，得3x+2×7=8，解得x=-2. 1.用加减消元法解下列二元一次方程组：【课本P124 练习 第1题】 (4) ①+②×2，得13x=27，解得   解得  1.用加减消元法解下列二元一次方程组：【课本P124 练习 第1题】①②2. 解方程组：③代入法加减法解：由①得将③代入②，得代入③，得解：①×4-② ，得代入①，得3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求a，b的值.解：根据题意，得②×3-①，得7b=14 ，解得 b=2 .把b用2代入①式，得 3a+2×2=13 ，解得 a=3 .所以，a=3，b=2 .【课本P124 练习 第2题】解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2. 又∵x + y = 8， ∴5×8 = 2m + 2. 解得 m = 19. 故 m 的值为 19. C  返回 C  3 返回   返回   （1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）（2）小颖的解答从第____步出现了错误；加减二（3）请直接写出该方程组的解.   返回6.［2025杭州西湖区期末］解下列方程组：     返回 C A. ①② B. ②③C. ①③④ D. ②③④加减消元法条件：步骤：方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！