初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）11.5 因式分解精品教学ppt课件

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1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系；2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式；3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式．
运用前面所学的知识填空：
（1）m(a+b+c)=
（2）(a+b)(a-b)=
观察上面三个等式，填空：
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
（3）a2+2ab+b2=( )2
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
把一个多项式化为几个整式的积的形式
定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因.
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ）A．a(x-y)=ax-ay B．x3-x=x(x+1)(x-1)C．(x+1)(x+3)=x2+4x+3D．x2+2x+1=x(x+2)+1
【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误；x3-x=x(x+1)(x-1)，故B答案正确；C选项右边为多项式，故C选项错误；x2+2x+1=(x+1)2，因式分解错误，故D选项错误，故选：B．
1．观察下列从左到右的变形：（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)；（2）ma-mb+c=m(a-b)+c；（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2；（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2；其中是因式分解的有 （填序号）．
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)不是因式分解，不符合题意；（2）ma-mb+c=m(a-b)+c不是因式分解，不符合题意；（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2是因式分解，符合题意；（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；故答案为：（3）.
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
这个多项式有什么特点？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
（2） 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
1、把下列多项式分解因式：
（1）-5a2+25a
找公因式时应分三步:(1)找各项系数的最大公约数;(2)找相同的字母;(3)找相同字母的最低指数次幂.
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
两数是平方，减号在中央．
(x+5y)(x-5y)
a2 - b2 =
…………一提（公因式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²
2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²
1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²
对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25.
（2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例4 分解因式：（1）16x2+24x+9；
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2.
例5 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）（a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
1、 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99²
解：原式=（100－99)² =1.
本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.
2、把下列多项式分解因式：
（1）x2+4xy+4y2
=x2+2·x·2y+(2y)2
（2） 4x3y-4x2y2+xy3
（1） 4x3y-4x2y2+xy3
=xy(4x2-4xy+y2)
1.把下列多项式分解因式：
（2）-24m2x-16n2x
=-8x(3m2+2n2)
=(x+1)(x-1)
=(xy+1)(xy-1)
（5）a4x2-a4y2
（6）3x2+6xy+3y2
（7）(x-y)2+4xy
（8）4a2-3b(4a-3b)
=a4(x+y)(x-y)
=3(x2+2xy+y2)
=x2-2xy+y2+4xy
=4a2-12ab+9b2
2.先因式分解，再求值：
2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2
解： 2x(a-2)-y(2-a)
=2x(a-2)+y(a-2)
=(2x+y)(a-2)
当a=0.5，x=1.5，y=-2时
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米的正方形的面积减去四个边长为b米的小正方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)=(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
答：草坪的面积是32平方米.
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是（    ）A．1 B．-1 C．-2x+4D．-2x-4
【详解】解：A.x2+2x+1=(x+1)2是完全平方公式因式分解，不合题意；B.x2+2x-1不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.x2-2x+4+2x=x2+4x，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D.x2-2x-4+2x=x2-4=(x+2)(x-2) ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；故选：D．
5．若实数x，y满足(x+y+3)(x+y-1)=0，则+y的值为 ．
【详解】解：∵(x+y+3)(x+y-1)=0，∴x+y+3=0或x+y-1=0，解得：x+y=-3或x+y=1，故答案为：-3或1．
6．因式分解：(1)x2-1; (2)a3-2a2+a
【详解】（1）解：x2-1=(x+1)(x-1)．（2）解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2
1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( )
A. 80B. 96C. 192D. 240
am+bm+mc=m(a+b+c)
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.