8.4.2.1公式法-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：8.4.2.1 公式法（平方差公式）学科：数学年级：七年级下册教材版本：沪科版设计元素：搭配平方差公式逆向示意图（\(a^2 - b^2 \underset{\text{整式乘法}}{\overset{\text{因式分解}}{\rightleftarrows}} (a+b)(a-b)\)）、公式结构标注（“两项平方差→两数和乘两数差”）与示例（如\(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\)），直观呈现公式法的逆向本质与结构特征幻灯片 2：学习目标理解平方差公式在因式分解中的逆向应用，明确\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)的因式分解形式，区分与整式乘法的差异。掌握用平方差公式分解因式的条件：多项式为 “两项平方差” 形式（即两项均为完全平方项，且符号相反）。能准确识别公式中的 “\(a\)”“\(b\)”（可表示数、字母、单项式或多项式），熟练运用平方差公式分解因式，解决含提公因式与公式法的综合分解问题。体会 “逆向思维” 与 “整体思想”（将多项式视为 “\(a\)” 或 “\(b\)”），培养因式分解的完整逻辑（先提公因式，再用公式）。幻灯片 3：复习导入回顾旧知：整式乘法中的平方差公式：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)（已知两个因式，求积）；提公因式法因式分解的核心：先找公因式，再提取，结果为 “公因式 × 另一个多项式”；计算热身（逆向思考）：若\((x+2)(x-2) = x^2 - 4\)，则\(x^2 - 4\)因式分解的结果为______；若\((3a+1)(3a-1) = 9a^2 - 1\)，则\(9a^2 - 1\)因式分解的结果为______。思考问题：观察多项式\(x^2 - 25\)、\(4a^2 - 9b^2\)，它们有什么共同特征？能否用类似平方差公式的逆向形式分解因式？对比\(x^2 - 4\)与\(x^2 + 4\)，前者能分解因式，后者为何不能？用平方差公式分解因式的关键条件是什么？导入新课：本节课将学习因式分解的第二种方法 —— 公式法（平方差公式），通过平方差公式的逆向应用，分解 “两项平方差” 形式的多项式，同时掌握 “先提公因式，再用公式” 的综合分解逻辑。幻灯片 4：平方差公式因式分解的推导与条件（核心概念）1. 公式推导（逆向应用平方差公式）：整式乘法：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)；因式分解（逆向运算）：\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)；文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2. 用平方差公式分解因式的条件（缺一不可）：项数条件：多项式为两项（多项目先提公因式或分组，后续学习）；形式条件：两项均为完全平方项（即能写成\(m^2\)的形式，如\(x^2 = x^2\)、\(9a^2 = (3a)^2\)、\(16b^4 = (4b^2)^2\)）；符号条件：两项符号相反（一项为正，一项为负，即 “正平方项 - 负平方项”）。3. 公式中 “\(a\)”“\(b\)” 的识别：“\(a\)”“\(b\)” 可表示数（如\(5 = 5^2\)中的\(5\)）、字母（如\(x^2\)中的\(x\)）、单项式（如\(4a^2 = (2a)^2\)中的\(2a\)）或多项式（如\((x+y)^2 - 9 = (x+y)^2 - 3^2\)中的\(x+y\)与\(3\)）；识别关键：将多项式的每一项分别写成 “某个式子的平方”，对应的 “某个式子” 即为 “\(a\)” 或 “\(b\)”。示例辨析：能分解的（满足条件）：\(x^2 - 1 = x^2 - 1^2\)、\(25m^2 - 4n^2 = (5m)^2 - (2n)^2\)；不能分解的（不满足条件）：\(x^2 + 4\)（两项符号相同）、\(x^2 - 2x\)（一项非完全平方项）、\(x^3 - 9\)（一项非平方形式）。幻灯片 5：用平方差公式分解因式的步骤（核心流程）步骤总结（“一判二识三写四验”）：一判：判断是否满足公式条件：检查多项式是否为 “两项平方差”（两项、均为完全平方项、符号相反），若多项式含公因式，需先提公因式，再判断是否满足公式条件；二识：识别 “\(a\)” 和 “\(b\)”：将两项分别写成 “\(a^2\)” 和 “\(b^2\)” 的形式，确定公式中的 “\(a\)”（正平方项对应的式子）和 “\(b\)”（负平方项对应的式子）；三写：写出分解结果：根据公式\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)，代入 “\(a\)” 和 “\(b\)”，写出因式分解的结果；四验：验证结果：用整式乘法（\((a+b)(a-b)\)）展开结果，看是否与原多项式一致（若先提公因式，需包含公因式一起验证），确保分解正确。步骤示例：分解因式\(16x^2 - 9y^2\)：一判：两项、均为完全平方项（\(16x^2 = (4x)^2\)、\(9y^2 = (3y)^2\)）、符号相反，满足条件，无公因式；二识：\(a = 4x\)（对应\((4x)^2\)），\(b = 3y\)（对应\((3y)^2\)）；三写：\(16x^2 - 9y^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)\)；四验：\((4x + 3y)(4x - 3y) = 16x^2 - 12xy + 12xy - 9y^2 = 16x^2 - 9y^2\)，与原多项式一致，正确。幻灯片 6：典例精析 —— 基础型平方差公式因式分解（含单项式与多项式 “\(a\)”“\(b\)”）例 1：分解下列多项式的因式：\(x^2 - 16\)；2. \(4a^2 - 25b^4\)；3. \((x+y)^2 - 4(x-y)^2\)；4. \(-25m^2 + 16n^2\)（先调整符号）分析思路：先判断是否满足公式条件，含负号时先调整为 “正平方项 - 负平方项”，“\(a\)” 或 “\(b\)” 为多项式时视为整体，按公式分解。解答过程：\(x^2 - 16\)：一判：满足条件，\(x^2 = x^2\)，\(16 = 4^2\)；二识：\(a = x\)，\(b = 4\)；三写：\(x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)\)；四验：\((x+4)(x-4) = x^2 - 16\)，正确；\(4a^2 - 25b^4\)：一判：满足条件，\(4a^2 = (2a)^2\)，\(25b^4 = (5b^2)^2\)；二识：\(a = 2a\)，\(b = 5b^2\)；三写：\(4a^2 - 25b^4 = (2a + 5b^2)(2a - 5b^2)\)；四验：\((2a+5b^2)(2a-5b^2) = 4a^2 - 25b^4\)，正确；\((x+y)^2 - 4(x-y)^2\)：一判：满足条件，\((x+y)^2\)为完全平方项，\(4(x-y)^2 = [2(x-y)]^2\)为完全平方项，符号相反；二识：\(a = x+y\)，\(b = 2(x-y)\)；三写：\((x+y)^2 - [2(x-y)]^2 = [(x+y) + 2(x-y)][(x+y) - 2(x-y)]\)；化简括号内多项式：\((x+y+2x-2y)(x+y-2x+2y) = (3x - y)(-x + 3y) = -(3x - y)(x - 3y)\)（或保留\((3x - y)(-x + 3y)\)，通常使首项系数为正）；四验：\((3x - y)(-x + 3y) = -3x^2 + 9xy + xy - 3y^2 = -3x^2 + 10xy - 3y^2\)，原多项式展开：\((x^2 + 2xy + y^2) - 4(x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - 4x^2 + 8xy - 4y^2 = -3x^2 + 10xy - 3y^2\)，正确；\(-25m^2 + 16n^2\)：一判：先调整符号为 “正平方项 - 负平方项”：\(16n^2 - 25m^2\)，满足条件，\(16n^2 = (4n)^2\)，\(25m^2 = (5m)^2\)；二识：\(a = 4n\)，\(b = 5m\)；三写：\(16n^2 - 25m^2 = (4n + 5m)(4n - 5m)\)，即原多项式分解为\((4n + 5m)(4n - 5m)\)；四验：\((4n+5m)(4n-5m) = 16n^2 - 25m^2 = -25m^2 + 16n^2\)，正确。幻灯片 7：典例精析 —— 提公因式法与平方差公式的综合应用例 2：分解下列多项式的因式（先提公因式，再用公式）：\(3x^3 - 12x\)；2. \(-2a^3b + 8ab^3\)；3. \(4(x-y)^3 - (x-y)\)分析思路：多项式含公因式时，必须先提公因式，再判断剩余部分是否满足平方差公式条件，若满足则继续用公式分解，确保分解彻底（结果中各因式不能再分解）。解答过程：\(3x^3 - 12x\)：第一步：提公因式：公因式\(3x\)，提取后得\(3x(x^2 - 4)\)；第二步：判断剩余部分\(x^2 - 4\)：满足平方差公式条件（\(x^2 - 2^2\)）；第三步：用平方差公式分解：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)；最终结果：\(3x(x + 2)(x - 2)\)；验证：\(3x(x+2)(x-2) = 3x(x^2 - 4) = 3x^3 - 12x\)，正确；\(-2a^3b + 8ab^3\)：第一步：提公因式：首项为负，公因式\(-2ab\)，提取后得\(-2ab(a^2 - 4b^2)\)；第二步：判断剩余部分\(a^2 - 4b^2\)：满足条件（\(a^2 - (2b)^2\)）；第三步：用平方差公式分解：\(a^2 - (2b)^2 = (a + 2b)(a - 2b)\)；最终结果：\(-2ab(a + 2b)(a - 2b)\)；验证：\(-2ab(a+2b)(a-2b) = -2ab(a^2 - 4b^2) = -2a^3b + 8ab^3\)，正确；\(4(x-y)^3 - (x-y)\)：第一步：提公因式：将\((x-y)\)视为整体，公因式\((x-y)\)，提取后得\((x-y)[4(x-y)^2 - 1]\)；第二步：判断剩余部分\(4(x-y)^2 - 1\)：满足条件（\([2(x-y)]^2 - 1^2\)）；第三步：用平方差公式分解：\([2(x-y)]^2 - 1^2 = [2(x-y) + 1][2(x-y) - 1] = (2x - 2y + 1)(2x - 2y - 1)\)；最终结果：\((x-y)(2x - 2y + 1)(2x - 2y - 1)\)；验证：\((x-y)(2x-2y+1)(2x-2y-1) = (x-y)[(2x-2y)^2 - 1] = (x-y)(4x^2 - 8xy + 4y^2 - 1) = 4x^3 - 8x^2y + 4xy^2 - x - 4x^2y + 8xy^2 - 4y^3 + y = 4x^3 - 12x^2y + 12xy^2 - x - 4y^3 + y\)，原多项式展开：\(4(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) - x + y = 4x^3 - 12x^2y + 12xy^2 - 4y^3 - x + y\)，一致，正确。幻灯片 8：易错点辨析与分解彻底性强调** 易错点 1：未先提新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）2. 能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因 式分解．（难点）想一想：如何将 x2－2x + 1 因式分解？x2－2x + 1 = (x－1)2 如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式.概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2a2 - b2 = (a + b)(a - b)用完全平方公式分解因式 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方和是第一项和第三项底数的积的±2 倍简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.+ b2±= (a ± b)²a2首2+ 尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )².2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²；1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²；x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab + b² = (a±b)²，填空：mm - 33x2 m3下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b² 与 - 1 的符号不统一.不是分析：不是是（4）中间项缺 2 倍.例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9B解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____.解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8.±8方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.例2 分解因式：（1）x2 + 14x + 49； （2）9a2 - 30ab + 25b2.分析：(1)中，x2 = (x)2， 49 = 7²，14x = 2·x·7， 所以 x2 + 14x + 9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (x)2 + 2×x×7 + 72. b2a2解： (1) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.= x2 + 2·x·7 + 72例2 分解因式：（2）9a2 - 30ab + 25b2.解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2  = (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2 1.利用完全平方公式简便计算：(1) 1002 - 2×100×99 + 99²；(2) 342 + 34×32 + 162.解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2= 1.= 2500.想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：用平方差公式进行因式分解√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√（1）x2 + y2（2）x2 - y2（3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 )( y + x )( y - x )（4） - x2 + y2（5）x2 - 25y2( x + 5y )( x - 5y )（6）m2 - 1( m + 1 )( m - 1 )( x + y )( x - y )x2 - 92例3 分解因式： aabba2 - b2 =解：(1)原式=x9xx99(2) 原式 = (6a)2 - (5b)2 (1) x2 - 81；(2) 36a2 - 25b2.= (6a + 5b)(6a - 5b).= (x + 9)(x - 9) 分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )＝4(m＋2n)(2m＋n)．方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式进行因式分解.2. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值.所以 x - y ＝ -2②.解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2，x＋y ＝ 1①，联立①②组成二元一次方程组，方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.3. 计算下列各题：(1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4.解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.(2) 原式＝4×(53.52－46.52)＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7 ＝ 2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例4 把下列多项式分解因式：（1）ab2 － ac2 ；（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 .解：(1) ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式）（用平方差公式）（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式）（用完全平方公式）例5 把下列多项式分解因式：（1）16x4 － 81；（2）x4 － 2x2 + 1 .解：（1）16x4 － 81= (4x2 + 9)(4x2 － 9)= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3)（用平方差公式）（用平方差公式）（2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式）= [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式）= (x + 1)2(x － 1)2 1. 把下列各式写成完全平方的形式.  y - 4  0.9x 方法归纳 对于凑完全平方式类的问题，需要注意观察两个平方项找出其中的 a 和 b对应的数或式子 .2. 把下列各式分解因式.(1) x2 + 2x + 1； (2) y2 - 4；(3) 1 - 6y + 9y2； (4) 1 - 36n2；(5) 9n2 + 64m2 - 48mn； (6) -16 + a2b2.解：(1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. (2) y2 - 4 = (y+2)(y-2).(3) 1 - 6y + 9y2 = (1 - 3y)2. (4) 1-36n2 = (1 ＋ 6n)(1 - 6n). (5) 9n2 + 64m2-48mn = (3n - 8m)2. (6) -16 + a2b2 = (ab - 4) (ab + 4). 1. 把下列多项式分解因式：（1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab；解（1）2x3－32x= 2x(x2－16)= 2x(x + 4)(x－4)（2）9a3b3－ab= ab(9a2b2－1)= ab(3ab + 1)(3ab－1)（3）mx2－8mx + 16m； （3）mx2－8mx + 16m= m(x2－8x + 16)= m(x－4)2（4）－x4 + 256； （5）－a + 2a2－a3； （4）－x4 + 256= (16)2 －(x2)2 = (16 + x2)(16－x2) = (16 + x2)(4 + x)(4－x) （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 .（5）－a + 2a2－a3 （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 = －a(1－ 2a + a2) = －a(1－ a)2 = (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2 = (9a2 －4b2)2 = [(3a + 2b)(3a －2b)]2 = (3a + 2b)2(3a －2b)2 1星题 基础练 运用完全平方公式进行因式分解   A  9  5.把下列各式分解因式：     运用平方差公式进行因式分解  7. 课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？ ( ) CA.第(1)道题B.第(2)道题C.第(3)道题D.第(4)道题 B 9.把下列各式分解因式：    2星题 中档练 D 11. [2024·郑州期末] 数学活动课上，同学们一起玩卡片D 游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是 ( )  13.把下列各式分解因式：    3星题 提升练  (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___.CA.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_________.不彻底   公式法因式分解公式平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解. 完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！