8.4.1 提公因式法-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：8.4.1 提公因式法学科：数学年级：七年级下册教材版本：沪科版设计元素：搭配因式分解与整式乘法的逆向示意图（如\(ma+mb+mc \underset{\text{整式乘法}}{\overset{\text{因式分解}}{\rightleftarrows}} m(a+b+c)\)）、公因式提取示例（如\(6x^2y-9xy^2\)标注公因式\(3xy\)），直观呈现 “逆向运算” 与 “公因式核心”幻灯片 2：学习目标理解因式分解的概念，明确其是整式乘法的逆运算，能区分因式分解与整式乘法的差异。掌握公因式的定义与确定方法，能准确找出多项式中各项的公因式（含系数、相同字母及最低次幂）。熟练运用提公因式法分解因式，掌握 “找公因式→提公因式→写结果” 的步骤，解决含符号、多项式公因式的分解问题。体会 “逆向思维”（从整式乘法到因式分解），培养严谨的运算习惯，为后续学习公式法因式分解奠定基础。幻灯片 3：复习导入回顾旧知：整式乘法（单项式乘多项式）：\(m(a+b+c) = ma+mb+mc\)（已知\(m\)与\(a+b+c\)，求积）；计算热身：\(3x(2x-5) = \)；\(-2ab(a^2b-3ab^2) = \)；思考：若已知上述乘法的结果（如\(6x^2-15x\)），如何反推得到两个因式（\(3x\)与\(2x-5\)）？思考问题：观察多项式\(6x^2y-9xy^2+3xy\)，各项都含有的公共因式是什么？如何将其分解为两个整式的积？对比 “\(3x(2x-5)=6x^2-15x\)” 与 “\(6x^2-15x=3x(2x-5)\)”，前者是整式乘法，后者是什么运算？导入新课：本节课将学习因式分解的基础方法 —— 提公因式法，通过寻找多项式各项的公因式，将其分解为 “公因式 × 另一个多项式” 的形式，实现整式乘法的逆向运算。幻灯片 4：因式分解与公因式的定义（核心概念）1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。关键特征：结果是整式的积，与整式乘法互为逆运算（如：\(\text{整式乘法：}m(a+b+c) \xleftarrow{\text{因式分解}} ma+mb+mc\)）。举例辨析：是因式分解的：\(6x^2-15x=3x(2x-5)\)（结果为\(3x\)与\(2x-5\)的积，均为整式）；不是因式分解的：\(x^2+4x+1=x(x+4)+1\)（结果含和的形式，不是积）、\((x+2)(x-2)=x^2-4\)（是整式乘法，非因式分解）。2. 公因式的定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。举例：多项式\(6x^2y-9xy^2+3xy\)中，各项\(6x^2y=2×3×x×x×y\)、\(-9xy^2=-1×3×3×x×y×y\)、\(3xy=3×x×y\)，公共因式为\(3xy\)。3. 公因式的确定方法（“三看” 原则）：看系数：取各项系数的最大公因数（若系数为负，通常取正数作为公因式的系数，后续调整符号）；看字母：取各项中相同的字母（只含于部分项的字母，不是公因式）；看指数：取相同字母的最低次幂（即该字母在各项中出现的最小指数）。示例：确定\(-12x^3y^2+8x^2y^3-4x^2y\)的公因式：系数：\(-12\)、\(8\)、\(-4\)的最大公因数为\(4\)（取正数）；相同字母：\(x\)、\(y\)；最低次幂：\(x\)的最低次幂为\(2\)（\(x^3\)、\(x^2\)、\(x^2\)），\(y\)的最低次幂为\(1\)（\(y^2\)、\(y^3\)、\(y\)）；公因式：\(4x^2y\)（结合符号，原多项式首项为负，可将公因式设为\(-4x^2y\)，使括号内首项为正）。幻灯片 5：提公因式法的步骤（核心流程）提公因式法定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。具体步骤（“一找二提三验”）：一找：找公因式：按 “三看” 原则确定多项式各项的公因式（注意符号调整，若多项式首项为负，公因式通常取负数，使括号内首项为正）；二提：提公因式：用多项式的每一项除以公因式，得到括号内的另一个多项式，公因式写在括号外，即 “公因式 ×（各项 ÷ 公因式）”；三验：验证结果：用整式乘法（公因式 × 括号内多项式）展开，看结果是否与原多项式一致，确保分解正确。步骤示例：分解因式\(6x^2y-9xy^2+3xy\)：找公因式：系数最大公因数\(3\)，相同字母\(x\)、\(y\)，最低次幂\(x^1\)、\(y^1\)，公因式为\(3xy\)；提公因式：\(6x^2y÷3xy=2x\)，\(-9xy^2÷3xy=-3y\)，\(3xy÷3xy=1\)，故分解为\(3xy(2x-3y+1)\)；验证：\(3xy(2x-3y+1)=6x^2y-9xy^2+3xy\)，与原多项式一致，分解正确。幻灯片 6：典例精析 —— 基础型提公因式法（含符号与常数项）例 1：分解下列多项式的因式：\(8a^3b^2-12ab^3c\)；2. \(-6x^2y-10xy^2+2xy\)；3. \(5(x-y)^2+10(x-y)\)分析思路：先按 “三看” 原则找公因式，注意首项为负时公因式取负数，含多项式公因式（如\(x-y\)）时将其视为整体，按单项式公因式处理。解答过程：\(8a^3b^2-12ab^3c\)：找公因式：系数最大公因数\(4\)，相同字母\(a\)、\(b\)，最低次幂\(a^1\)、\(b^2\)，公因式\(4ab^2\)；提公因式：\(8a^3b^2÷4ab^2=2a^2\)，\(-12ab^3c÷4ab^2=-3bc\)；结果：\(4ab^2(2a^2-3bc)\)；验证：\(4ab^2×2a^2 - 4ab^2×3bc=8a^3b^2-12ab^3c\)，正确；\(-6x^2y-10xy^2+2xy\)：找公因式：首项为负，系数最大公因数\(2\)，公因式取\(-2xy\)（使括号内首项为正）；提公因式：\(-6x^2y÷(-2xy)=3x\)，\(-10xy^2÷(-2xy)=5y\)，\(2xy÷(-2xy)=-1\)；结果：\(-2xy(3x+5y-1)\)（或\(2xy(-3x-5y+1)\)，通常优先使括号内首项为正，前者更规范）；验证：\(-2xy×3x + (-2xy)×5y + (-2xy)×(-1)=-6x^2y-10xy^2+2xy\)，正确；\(5(x-y)^2+10(x-y)\)：找公因式：将\((x-y)\)视为整体，系数最大公因数\(5\)，相同 “整体字母”\((x-y)\)，最低次幂\(1\)，公因式\(5(x-y)\)；提公因式：\(5(x-y)^2÷5(x-y)=(x-y)\)，\(10(x-y)÷5(x-y)=2\)；结果：\(5(x-y)(x-y+2)\)；验证：\(5(x-y)(x-y+2)=5(x-y)^2+10(x-y)\)，正确。幻灯片 7：典例精析 —— 进阶型提公因式法（含多项式公因式与变形）例 2：分解下列多项式的因式（需变形后提取公因式）：\(a(x-3)+2b(3-x)\)；2. \(x(x-y)^3-y(y-x)^3\)；3. \(3x^2-6xy+3x\)（含漏项风险）分析思路：当公因式形式不同但可变形为相同时（如\(3-x=-(x-3)\)），先统一形式，再提取公因式；注意含公因式的项不可遗漏（如常数项 “1”）。解答过程：\(a(x-3)+2b(3-x)\)：变形统一公因式：\(3-x=-(x-3)\)，故原式\(=a(x-3)-2b(x-3)\)；找公因式：\((x-3)\)，系数最大公因数\(1\)，公因式\((x-3)\)；提公因式：\(a(x-3)÷(x-3)=a\)，\(-2b(x-3)÷(x-3)=-2b\)；结果：\((x-3)(a-2b)\)；验证：\((x-3)a - (x-3)2b=ax-3a-2bx+6b=a(x-3)+2b(3-x)\)，正确；\(x(x-y)^3-y(y-x)^3\)：变形统一公因式：\((y-x)^3=-(x-y)^3\)，故原式\(=x(x-y)^3+y(x-y)^3\)；找公因式：\((x-y)^3\)，公因式\((x-y)^3\)；提公因式：\(x(x-y)^3÷(x-y)^3=x\)，\(y(x-y)^3÷(x-y)^3=y\)；结果：\((x-y)^3(x+y)\)；验证：\((x-y)^3(x+y)=x(x-y)^3+y(x-y)^3=x(x-y)^3-y(y-x)^3\)，正确；\(3x^2-6xy+3x\)：找公因式：\(3x\)（系数\(3\)，字母\(x\)，最低次幂\(1\)）；提公因式：\(3x^2÷3x=x\)，\(-6xy÷3x=-2y\)，\(3x÷3x=1\)（注意不可漏写 “1”）；结果：\(3x(x-2y+1)\)；验证：\(3x×x - 3x×2y + 3x×1=3x^2-6xy+3x\)，正确。幻灯片 8：易错点辨析与常见错误总结易错点 1：公因式确定错误（漏系数或字母的最低次幂）错误示例：分解\(4x^2y-6xy^2\)，公因式误取\(2x\)（漏字母\(y\)），结果为\(2x(2xy-3y^2)\)（正确公因式为\(2xy\)，结果应为\(2xy(2x-3y)\)）；规避方法：严格按 “三看” 原则，先找系数最大公因数，再找所有相同字母，最后取最低次幂，逐项核对。易错点 2：首项为负时符号处理错误（公因式未取负数）错误示例：分解\(-3x^2+6x\)，公因式取\(3x\)，结果为\(3x(-x+2)\)（虽正确，但括号内首项为负，不规范；规范结果应为\(-3x(x-2)\)）；规避方法：若多项式首项系数为负，公因式系数优先取负数，确保括号内多项式首项为正，便于后续进一步分解。易错点 3：提公因式后漏写 “1”（当某项除以公因式得 1 时）错误示例：分解\(2x^2-4x+2\)，公因式\(2\)，结果误写为\(2(x^2-2x)\)（漏写 “+1”，正确结果为\(2(x^2-2x+1)\)）；规避方法：提公因式时，逐项计算 “项 ÷ 公因式”，即使结果为 1，也需写在括号内，确保展开后与原多项式一致。易错点 4：多项式公因式变形错误（如\(3-x\)与\(x-3\)混淆）错误示例：分解\(a(3-x)-b(x-3)\)，误直接提取\((3-x)\)，结果为\((3-x)(a-b)\)（正确变形：\(x-3=-(3-x)\)，原式\(=a(3-x)+b(3-x)=(3-x)(a+b)\)）；规避方法：遇到\((a-b)\)与\((b-a)\)形式的公因式，记住\((b-a)=-(a-b)\)，先统一形式再提取，避免符号错误。幻灯片 9：课堂练习 —— 基础巩固1. 填空题：多项式\(12x^3y^4-8x^2y^3+4x^4y^2\)的公因式是______；分解因式：\(-7a^2b+21ab^2-14ab=\)______；若\(x^2+mx-n=(x-2)(x+4)\)，则\(m=\)，\(n=\)（提示：先展开右边，对比系数）。**新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别 和联系.（重点）2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式.（难点） 如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？方法一：m(a + b + c)方法二：ma + mb + mcm(a + b + c) = ma + mb + mc整式乘法?1. 运用整式乘法法则或公式填空：(1) m(a + b + c) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ；(3) (a + b)2 = .ma + mb + mcx2 - 1a2 + 2ab + b22. 根据等式的性质填空：(1) ma + mb + mc = ( )( )；(2) x2 - 1 = ( )( )； (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2.m a + b + cx + 1 x - 1a + b 因式分解定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.x2 - 1 (x + 1)(x - 1)因式分解整式乘法x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是相反的变形，即例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　)① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y). A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．x2 + x = x2(1 + )在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③④ ⑤ ⑥ ③⑥辨一辨：am + bm + c = m(a + b) + c24x2y = 3x ·8xyx2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 12x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)最后不是纯积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.相同因式 p问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x相同因式 x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a + b + c)pa + pb + pcp=试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x 所以公因式是 3x.指数：相同字母的最低次数1问题2 如何确定一个多项式的公因式？正确找出多项式的公因式的步骤：3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)；2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；点击视频开始播放←找一找：下列各多项式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1) 3x + 6y(2) ab - 2ac(3) a2 - a3(4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 分析：提公因式法的步骤 (分两步)：第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2) 3ax2－6axy + 3a.(1) 4m2－8mn；例2 把下列各式分解因式：例2 把下列各式分解因式：(2) 3ax2－6axy + 3a.(1) 4m2－8mn；解：4m2－8mn= 4m·m－4m·2n= 4m(m－2n).3ax2－6axy + 3a= 3a·x2－3a·2xy + 3a·1= 3a(x2－2xy + 1).注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.例3 把下列各式分解因式：（1）2x(b + c)－3y(b + c)；（2）3n(x－2) + (2－x).解：2x(b + c)－3y(b + c)= (b + c)(2x－ 3y).2－x = －(x－2)3n(x－2) + (2－x)= 3n(x－2) － (x－2)= (x－2)(3n－1).整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.注意：公因式要提尽.正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解法有误吗？小明当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.注意：某项提出莫漏 1.正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1)小亮的解法有误吗？小亮提出负号时括号里的项没变号注意：首项有负常提负.正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z).小华的解法有误吗？小华例4 计算：(1) 39×37－13×91；(2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.(2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023.＝13×20＝260.解：(1) 原式＝13×3×37－13×91＝13×(3×37－91)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便．例5 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：因为 a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.1.填空：2.把下列各式分解因式：(1) np - nq； (2) -x3y - x2y2 + xy. 原式 = xy(-x2 - xy + 1)解：原式 = n( p - q)6x2a - 33. 把下列各式分解因式：(1) 3(a + b)2 + 6(a + b)； (2) m(a - b) - n(a - b)；(3) 6(x - y)3 - 3y(y - x)2； (4) mn(m - n) - m(n - m)2.解：(1) 3(a + b)2 + 6(a + b) = 3(a + b)(a + b + 2). (2) m(a - b) - n(a - b) = (m - n)(a - b).(3) 6(x - y)3 - 3y( y - x )2 = 3(x - y)2(2x - 3y).(4) mn(m - n) - m(n - m)2 = m(m - n)(2n - m). 核心必知1.把一个多项式化为几个整式的____的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.2.公因式的确定：①系数：取各项系数的最大公因数；②字母或整体：取各项相同字母或整体；③指数：取相同字母或整体的最低指数.注意：提公因式要提尽，不要漏乘，分解到不能再分解为止.积1星题 基础练 因式分解的定义   2.[2024·上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( )C  公因式 3 2   5.下列各组多项式中，没有公因式的是( )D  运用提公因式法进行因式分解     C   9.填空：   10.用提公因式法分解因式：      2星题 中档练 B    2 240 等腰15.利用提公因式法进行简便计算：      因式分解定义把一个多项式化为几个整式的乘积的形式提公因式法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：第一步找公因式；第二步提公因式注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！