8.1.3.1同底数幂的除法-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：8.1.3.1 同底数幂的除法学科：数学年级：七年级下册教材版本：沪科版设计元素：搭配同底数幂除法算式（如\(a^m ÷ a^n\)）与法则示意图（标注 “底数不变，指数相减”），直观呈现本节课核心内容，同时对比同底数幂乘法的 “指数相加”，突出运算差异幻灯片 2：学习目标理解同底数幂除法的概念，能准确识别 “同底数幂相除” 的运算形式（底数相同、指数为正整数且被除式指数大于除式指数）。通过探究推导同底数幂除法法则：\(a^m ÷ a^n = a^{m-n}\)（\(a ≠ 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)），明确法则适用条件。掌握零指数幂的规定：\(a^0 = 1\)（\(a ≠ 0\)），理解其合理性与适用范围。能运用同底数幂除法法则及零指数幂规定进行计算，解决含符号、底数为多项式的同底数幂除法问题，提升运算能力。幻灯片 3：复习导入回顾旧知：同底数幂乘法法则：\(a^m · a^n = \)______（\(m\)、\(n\)为正整数）；幂的乘方法则：\((a^m)^n = \)______（\(m\)、\(n\)为正整数）；积的乘方法则：\((ab)^n = \)______（\(n\)为正整数）；计算：\(2^5 × 2^3 = \)；\((3^2)^4 = \)；\((-2a)^3 = \)______。思考问题：已知\(2^5 × 2^3 = 2^8\)，那么\(2^8 ÷ 2^3 = \)，\(2^8 ÷ 2^5 = \)，观察结果的指数与被除数、除数的指数有何关系？一种细胞每小时分裂一次，1 个细胞经过\(m\)小时后分裂成\(2^m\)个，经过\(n\)小时后分裂成\(2^n\)个（\(m > n\)），那么\(m\)小时的细胞数是\(n\)小时的多少倍？列式为\(2^m ÷ 2^n\)，如何计算这个结果？导入新课：本节课将通过探究 “同底数幂相除” 的运算规律，推导同底数幂除法法则，并学习零指数幂的特殊规定，完善幂的运算体系。幻灯片 4：同底数幂除法法则的推导（核心探究）探究 1：计算具体同底数幂的商，寻找规律计算\(10^7 ÷ 10^4\)：根据除法意义，\(10^7 = 10×10×10×10×10×10×10\)（7 个 10 相乘），\(10^4 = 10×10×10×10\)（4 个 10 相乘），因此\(10^7 ÷ 10^4 = \frac{10×10×10×10×10×10×10}{10×10×10×10} = 10×10×10 = 10^3\)；观察指数：\(7 - 4 = 3\)，结果指数等于被除数指数减去除数指数。计算\(a^5 ÷ a^2\)（\(a ≠ 0\)）：\(a^5 = a×a×a×a×a\)（5 个\(a\)相乘），\(a^2 = a×a\)（2 个\(a\)相乘），则\(a^5 ÷ a^2 = \frac{a×a×a×a×a}{a×a} = a×a×a = a^3\)；指数关系：\(5 - 2 = 3\)。计算\((-3)^6 ÷ (-3)^2\)：\((-3)^6 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)\)（6 个 - 3 相乘），\((-3)^2 = (-3)×(-3)\)（2 个 - 3 相乘），则\((-3)^6 ÷ (-3)^2 = (-3)^{6-2} = (-3)^4 = 81\)；指数关系：\(6 - 2 = 4\)。探究 2：用字母表示一般规律（\(a^m ÷ a^n\)，\(a ≠ 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，\(m > n\)）根据除法意义（\(a ≠ 0\)，避免分母为 0）：\(a^m ÷ a^n = \frac{\underbrace{a×a×\cdots×a}_{m个a}}{\underbrace{a×a×\cdots×a}_{n个a}} = \underbrace{a×a×\cdots×a}_{(m-n)个a} = a^{m-n}\)；法则总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减。符号表示：\(a^m ÷ a^n = a^{m-n}\)（\(a ≠ 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。注意事项：法则适用条件：底数相同、幂的除法运算、\(a ≠ 0\)（分母不能为 0）、\(m > n\)（保证指数为正整数，后续拓展\(m ≤ n\)的情况）；与同底数幂乘法的区别：乘法 “指数相加”，除法 “指数相减”，均需保证底数相同且\(a ≠ 0\)。幻灯片 5：零指数幂的规定（拓展探究）思考问题：当\(m = n\)时，同底数幂的商如何计算？例如\(2^3 ÷ 2^3\)、\(a^5 ÷ a^5\)（\(a ≠ 0\)）。探究过程：从除法意义看：\(2^3 ÷ 2^3 = \frac{2×2×2}{2×2×2} = 1\)；\(a^5 ÷ a^5 = 1\)（\(a ≠ 0\)）；若套用同底数幂除法法则（假设\(m = n\)时法则仍适用）：\(2^3 ÷ 2^3 = 2^{3-3} = 2^0\)；\(a^5 ÷ a^5 = a^{5-5} = a^0\)（\(a ≠ 0\)）；为使法则在\(m = n\)时仍成立，需规定：\(2^0 = 1\)，\(a^0 = 1\)（\(a ≠ 0\)）。零指数幂规定：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即\(a^0 = 1\)（\(a ≠ 0\)）。注意事项：0 的 0 次幂无意义（\(0^0\)不存在），因为\(0^m ÷ 0^m\)中分母为 0，无意义；规定的合理性：既符合除法运算结果，又拓展了同底数幂除法法则的适用范围。幻灯片 6：典例精析 —— 底数为数字的同底数幂除法例 1：计算下列各式：\(10^9 ÷ 10^6\)；2. \((-5)^7 ÷ (-5)^4\)；3. \((\frac{1}{2})^5 ÷ (\frac{1}{2})^3\)；4. \(2^5 ÷ 2^5\)分析思路：先判断是否满足法则条件（底数相同、\(a ≠ 0\)），再应用法则 “底数不变，指数相减”，涉及零指数幂时需注意\(a ≠ 0\)。解答过程：\(10^9 ÷ 10^6 = 10^{9-6} = 10^3 = 1000\)（底数 10≠0，指数 9-6=3，结果可保留幂的形式或计算具体值）；\((-5)^7 ÷ (-5)^4 = (-5)^{7-4} = (-5)^3 = -125\)（底数 - 5≠0，指数 7-4=3，负数的奇次幂为负）；\((\frac{1}{2})^5 ÷ (\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{5-3} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)（底数\(\frac{1}{2}\)≠0，指数 5-3=2，分数的幂仍为分数）；\(2^5 ÷ 2^5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1\)（套用法则后为零指数幂，根据规定结果为 1）。幻灯片 7：典例精析 —— 底数为字母与多项式的同底数幂除法例 2：计算下列各式（结果用幂的形式表示，\(a ≠ 0\)，\(x ≠ y\)）：\(a^8 ÷ a^3\)；2. \(x^6 ÷ x^6\)；3. \((x - y)^5 ÷ (x - y)^2\)；4. \(a^{m+2} ÷ a^2\)（\(m\)为正整数）分析思路：底数为字母或多项式时，需将其视为一个整体，确保 “整体底数” 相同且不为 0，指数为代数式时注意合并同类项。解答过程：\(a^8 ÷ a^3 = a^{8-3} = a^5\)（底数\(a\)≠0，指数 8-3=5，结果保留幂的形式）；\(x^6 ÷ x^6 = x^{6-6} = x^0 = 1\)（\(x ≠ 0\)，零指数幂结果为 1）；\((x - y)^5 ÷ (x - y)^2 = (x - y)^{5-2} = (x - y)^3\)（将\(x - y\)视为整体底数，\(x ≠ y\)故整体≠0，指数 5-2=3）；\(a^{m+2} ÷ a^2 = a^{(m+2)-2} = a^m\)（指数为代数式，相减后化简，\(a ≠ 0\)满足法则条件）。幻灯片 8：典例精析 —— 法则综合应用与易错点辨析例 3：计算下列各式（\(a ≠ 0\)，\(b ≠ 0\)）：\((a^4)^3 ÷ a^7\)；2. \((-2a^5)^2 ÷ (a^2)^3\)；3. 判断下列计算是否正确，若不正确，请改正：（1）\(a^5 ÷ a = a^5\)；（2）\(a^6 ÷ a^3 = a^2\)；（3）\(0^0 = 1\)；（4）\((a - b)^4 ÷ (b - a)^3 = a - b\)分析思路：综合应用幂的乘方、积的乘方与同底数幂除法法则时，需遵循 “先乘方，再除法” 的运算顺序；易错点辨析需关注指数处理、底数不为 0 及整体底数符号问题。解答过程：\((a^4)^3 ÷ a^7 = a^{4×3} ÷ a^7 = a^{12} ÷ a^7 = a^{12-7} = a^5\)（先算幂的乘方，再算同底数幂除法，指数先乘后减）；\((-2a^5)^2 ÷ (a^2)^3 = [(-2)^2 × (a^5)^2] ÷ a^{2×3} = [4 × a^{10}] ÷ a^6 = 4a^{10-6} = 4a^4\)（先算积的乘方与幂的乘方，再算同底数幂除法，系数单独计算）；（1）不正确：错误原因：\(a = a^1\)，指数应为 5-1=4；改正：\(a^5 ÷ a = a^{5-1} = a^4\)；（2）不正确：错误原因：指数应相减而非相除；改正：\(a^6 ÷ a^3 = a^{6-3} = a^3\)；（3）不正确：错误原因：0 的 0 次幂无意义；改正：\(0^0\)不存在（或 “无意义”）；（4）不正确：错误原因：\((a - b)^4 = (b - a)^4\)，整体底数应为\(b - a\)；改正：\((a - b)^4 ÷ (b - a)^3 = (b - a)^4 ÷ (b - a)^3 = b - a\)。幻灯片 9：课堂练习 —— 基础巩固1. 填空题：\(5^7 ÷ 5^4 = 5^{(\quad)}\)；\((-3)^6 ÷ (-3)^6 = \)______；\((x^3)^5 ÷ x^8 = x^{(\quad)}\)。若\(a^m ÷ a^2 = a^5\)（\(a ≠ 0\)），则\(m = \)；若\((a^2)^n ÷ a^3 = a^5\)（\(a ≠ 0\)），则\(n = \)。\((a + b)^4 ÷ (a + b)^2 = \)（\(a + b ≠ 0\)）；\((\frac{3}{4})^0 = \)；\(10^0 × 10^3 = \)______。2. 计算题（\(a ≠ 0\)，\(x ≠ 0\)）：\(a^{10} ÷ a^4\)；2. \((-x)^8 ÷ (-x)^3\)；3. \((2a^3)^2 ÷ a^4\)；4. \(x^5 ÷ x^5 × x^2\)答案：填空题：3；1；7；7；4；\((a + b)^2\)；1；1000；计算题：1. \(a^6\)；2. \((-x)^5 = -x^5\)；3. \(4a^6 ÷ a^4 = 4a^2\)；4. \(1 × x^2 = x^2\)。幻灯片 10：课堂练习 —— 拓展提升1. 计算下列各式（\(a ≠ 0\)，\(b ≠ 0\)）：新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解同底数幂的除法法则的推导过程，理解同底数幂的除法法则；2. 会用同底数幂的除法法则进行计算.（重点、难点）问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即 am · an = am＋n (m，n 都是正整数).an底数幂 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴这种杀菌剂可以杀死 109 个有害细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？1012÷109.(2) 观察这个算式，它有何特点？我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫做同底数幂的除法.(1) 怎样列式？思考：如何计算 1012÷109 呢？类比：如何计算 a12÷a9 呢？引申：如何计算 am÷an 呢？(m＞n)同底数幂的除法3343a2a2   完成下表：观察上表，同底数幂相除有什么规律?猜想＝35-2＝46-3＝a4-2＝a5-3am÷an＝？猜想：am÷an = am－n (m＞n).验证：am÷an =m 个 an 个 a= a · a · ··· · a(m－n) 个 a= am－n.( a≠0，m，n 都是正整数，且 m＞n ).am÷an = am－n即：同底数幂相除，底数不变，指数相减.幂的运算性质4 (同底数幂的除法法则)：则 1012÷109 = . a12÷a9 = . 103a3例1 计算：(1) a5 ÷a； (2)(-x)5÷(-x)2； 解：(1) a5÷a = a5-1 = a4.(2) (-x)5÷(-x)2 = (-x)5-2 = (-x)3 = -x3. (3) (ab)3÷ab； (4) (x－y)9÷(y－x)6. (3) (ab)3÷ab = (ab)3-1 = (ab)2 = a2b2. (4) (x－y)9÷(y－x)6 = (x－y)9÷(x－y)6= (x－y)9-6 = (x－y)3.1. 计算：解：（1）（2）例2 已知：am = 3，an = 5. 求：(1) am-n 的值； (2) a3m-3n 的值.解：(1) am-n = am÷an = 3÷5 = 0.6.(2) a3m-3n = a3m÷a3n = (am)3÷(an)3 = 33÷53 = 27÷125 =同底数幂的除法可以逆用：am-n = am÷an.这种思维叫做逆向思维 (逆用运算性质).例3 地球的体积大约是 1.1×1012 km3，太阳的体积大约为 1.4×1018 km3，请问太阳的体积大约是地球体积的多少倍？(结果保留小数点后一位） 同底数幂的除法的实际应用(2) x5÷x4 = x ( )(6) (-y)3÷y2 = y. ( )1.下面的计算是否正确?为什么?(1) a10÷a2 = a5 ( )(3) a3÷a = a3 ( )(4) (-b)4÷(-b)2 = -b2 ( )(5) (-x)6÷(-x) = x6 ( )√×××××a10÷a2 = a8 a3÷a = a2 (-b)4÷(-b)2 = b2 (-x)6÷(-x) =-x5 (-y)3÷y2 =- yx5÷x4 = x5-4= x解：(1) a10÷a5 = a5 . (2) (-xy)3÷(-xy) = (-xy)2 = x2 y2. (3) (a - b)5÷(b - a)4 =(a - b)5÷(a - b)4 = a - b. (4) (ym) 2÷ym = y2m÷ym =ym. 3. 我国的水资源总量居世界前列，但人均水资源量仅为世界平均水平的四分之一，是全球人均水资源最贫乏的国家之一 . 2021 年度《中国水资源公报》显示， 2021 年我国水资源总量为 2.963 82×1012 m3 . 按全国 1.4×109 人计算，2021年我国人均水资源量为少?(结果精确到个位)解：2.963 82×1012 ÷(1.4×109 ) ≈ 2×103 (m3 ) 答：2021年我国人均水资源量大约为 2×103 m3 .核心必知 相减1星题 基础练 同底数幂的除法    D  C 4.计算：       同底数幂的除法的逆用 3  2星题 中档练 D      25611.计算：         同底数幂的除法法则 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减同底数幂的除法法则的逆用： am-n = am÷an (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！