期末专题复习 计算题专项同步练习人教版数学七年级上册（含答案）

这是一份期末专题复习 计算题专项同步练习人教版数学七年级上册（含答案），共14页。
1．计算：
(1)4＋(－2)2×2－(－36)÷4； (2)[1－(1－0.5× eq \f(1,3) )]×[2－(－3)2]；
(3)(－24)×( eq \f(1,8) － eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,4) )＋(－3)2÷(－2)； (4)－32－[8÷(－2)3－1]＋3÷2× eq \f(1,2) ；
(5)－3－[－5－0.2÷ eq \f(4,5) ×(－2)2]； (6)(－2)3－6÷( eq \f(1,2) － eq \f(1,3) )－36×(－ eq \f(1,2) － eq \f(5,18) ＋ eq \f(5,6) )；
(7)100÷(－2)2－|－27|×(－ eq \f(1,3) )2＋(－2)3； (8)－42－[8÷(－2)2－1]－3÷ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ；
(9)－14－(1－0.5)× eq \f(2,3) ×[2－(－3)2]； (10)(－32＋3)×[(－1)2026－(1－0.5× eq \f(1,3) )]；
(11)－43÷(－32)－[(－ eq \f(2,3) )3×(－32)＋(－ eq \f(11,3) )].
【模块2】整式的化简求值
2．先化简，再求值
(1)2x2y+xy-3x2y-xy-4x2y，其中 x=1，y=-1．
(2)3[a2＋2(b2＋ab－2)]－3(a2＋2b2)－4(ab－a－1)，其中a＝1，b＝12．
(3)2(a2－2ab)－3(a2－ab－4b2)，其中a＝2，b＝ eq \f(1,2) .
(4)12x－2x－13y2＋－32x＋13y2，其中x，y满足|x＋2|＋y－322＝0
(5)a3b－a2b3－ eq \f(1,2) (4ab－6a2b3－1)＋2(ab－a2b3)，其中a，b满足|2a－1|＋(b＋4)2＝0.
【模块3】解一元一次方程
3．解方程
(1) eq \f(2x＋1,3) － eq \f(5x－1,6) ＝1； (2)y＋ eq \f(y－1,2) ＝1－ eq \f(2y－1,3) ；
(3) eq \f(5x－1,4) ＋ eq \f(2－x,3) ＝ eq \f(3x＋1,2) ； (4) eq \f(2x－1,3) － eq \f(10x＋1,12) ＝ eq \f(2x＋1,4) －1；
(5)－ eq \f(1,2) (x－2)＝1－ eq \f(2,3) (x－2)； (6) eq \f(x＋2,0.4) － eq \f(2x－1,0.2) ＝－0.5；
(7) eq \f(0.4x－0.1,0.5) ＝ eq \f(0.1＋0.2x,0.3) －0.6.
【模块4】与线段有关的计算
4．如图，线段AB＝10 cm，点C为线段AB上一点，BC＝3 cm，点D，E分别为AC和AB的中点，求线段DE的长．
5．如图，点C和点D把线段AB分为三部分，已知AB＝18 cm，CD＝ eq \f(1,6) AB＝ eq \f(1,2) BD.
(1)求线段CD的长；
(2)若点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，求线段MN的长度．
6．如图，长度为42 cm的线段AD上有两点B，C，这两点将线段AD分成AB∶BC∶CD＝2∶1∶4.
(1)求线段AC的长；
(2)点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点，求线段MN的长度．
7．如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)，且|m－14|＋(7－n)2＝0.
(1)若BC＝4，求AD的长；
(2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断 eq \f(PA＋PB,PC) 是否为定值，并说明理由．
8．如图，P是线段AB 上一点，AB=24 cm，C，D两点分别从P，B出发以1 cm/s，2 cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP 上)，设运动的时间为t s .
(1)当t=2时，PD=2AC，则AP 的长为______；
(2)若C，D运动到任一时刻时，总有PD=2AC ，请求出AP 的长；
(3)在(2)的条件下，Q是直线AB 上一点，且2BQ-AQ=2PQ，求PQ 的长.
【模块5】与角度有关的计算
9．计算：
(1)90°－36°12′15″；
(2)32°17′53″＋42°42′7″；
(3)18°15′17″×4；
(4)48°2′÷5.
10．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数；
(2)若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
11．如图，已知O是直线AB上一点，OC是从点O引出的一条射线．且∠AOC＜∠BOC.若OD是∠AOC的平分线，且满足∠BOC－∠COD＝90°，求∠COD的度数．
12．已知∠AOB＝140°，OC为∠AOB内部一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，射线OD平分∠MON，当|∠AOC－2∠COD|＝30°时，求∠AOC的度数．
13．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板(∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠D均为直角).
(1)【操作发现】如图①，小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P，则此时∠PAB的度数为________；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为________；
(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由；
(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE的度数之间的关系．
14．如图①，O为直线DE上一点，过点O在直线DE上方作射线OC，∠EOC＝140°.将直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
(1)如图②，当t＝4时，∠AOC＝____，∠BOE＝____，∠BOE－∠AOC＝____；
(2)当三角板旋转至边AB与射线OE相交时(如图③)，试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
参考答案
【模块1】有理数的混合运算
1．计算：
(1)4＋(－2)2×2－(－36)÷4；
解：原式＝4＋4×2＋36÷4＝4＋8＋9＝21
(2)[1－(1－0.5× eq \f(1,3) )]×[2－(－3)2]；
解：原式＝[1－(1－ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) )]×(2－9)＝ eq \f(1,6) ×(－7)＝－ eq \f(7,6)
(3)(－24)×( eq \f(1,8) － eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,4) )＋(－3)2÷(－2)；
解：原式＝(－24)× eq \f(1,8) －(－24)× eq \f(1,3) ＋(－24)× eq \f(1,4) ＋9÷(－2)＝－3＋8－6－4.5＝－5.5
(4)－32－[8÷(－2)3－1]＋3÷2× eq \f(1,2) ；
解：原式＝－9＋2＋ eq \f(3,4) ＝－ eq \f(25,4)
(5)－3－[－5－0.2÷ eq \f(4,5) ×(－2)2]；
解：原式＝－3－(－5－ eq \f(1,5) × eq \f(5,4) ×4)＝－3＋6＝3
(6)(－2)3－6÷( eq \f(1,2) － eq \f(1,3) )－36×(－ eq \f(1,2) － eq \f(5,18) ＋ eq \f(5,6) )；
解：原式＝－8－36＋18＋10－30＝－46
(7)100÷(－2)2－|－27|×(－ eq \f(1,3) )2＋(－2)3；
解：原式＝100÷4－27× eq \f(1,9) －8＝25－3－8＝14
(8)－42－[8÷(－2)2－1]－3÷ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ；
解：原式＝－16－1－2＝－19
(9)－14－(1－0.5)× eq \f(2,3) ×[2－(－3)2]；
解：原式＝－1－ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ×(－7)＝－1＋ eq \f(7,3) ＝ eq \f(4,3)
(10)(－32＋3)×[(－1)2026－(1－0.5× eq \f(1,3) )]；
解：原式＝(－9＋3)×(1－ eq \f(5,6) )＝－6× eq \f(1,6) ＝－1
(11)－43÷(－32)－[(－ eq \f(2,3) )3×(－32)＋(－ eq \f(11,3) )].
解：原式＝－64÷(－32)－[－ eq \f(8,27) ×(－9)－ eq \f(11,3) ]＝2－( eq \f(8,3) － eq \f(11,3) )＝2－(－1)＝3
【模块2】整式的化简求值
2．先化简，再求值
(1)2x2y+xy-3x2y-xy-4x2y，其中 x=1，y=-1．
解：原式=-5x2y+5xy．当 x=1，y=-1 时，原式=0．
(2)3[a2＋2(b2＋ab－2)]－3(a2＋2b2)－4(ab－a－1)，其中a＝1，b＝12．
解：原式＝2ab＋4a－8．当a＝1，b＝12时，原式＝－3．
(3)2(a2－2ab)－3(a2－ab－4b2)，其中a＝2，b＝ eq \f(1,2) .
解：原式＝2a2－4ab－3a2＋3ab＋12b2＝－a2－ab＋12b2，当a＝2，b＝ eq \f(1,2) 时，原式＝－22－2× eq \f(1,2) ＋12×( eq \f(1,2) )2＝－4－1＋12× eq \f(1,4) ＝－4－1＋3＝－2
(4)12x－2x－13y2＋－32x＋13y2，其中x，y满足|x＋2|＋y－322＝0
解：原式＝－3x＋y2．
由题意，得x＝－2，y＝32，所以原式＝334．
(5)a3b－a2b3－ eq \f(1,2) (4ab－6a2b3－1)＋2(ab－a2b3)，其中a，b满足|2a－1|＋(b＋4)2＝0.
解：∵|2a－1|＋(b＋4)2＝0，|2a－1|≥0，(b＋4)2≥0，∴2a－1＝0，b＋4＝0，∴a＝ eq \f(1,2) ，b＝－4.原式＝a3b－a2b3－2ab＋3a2b3＋ eq \f(1,2) ＋2ab－2a2b3＝a3b＋ eq \f(1,2) ，当a＝ eq \f(1,2) ，b＝－4时，原式＝( eq \f(1,2) )3×(－4)＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,8) ×(－4)＋ eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) ＝0
【模块3】解一元一次方程
3．解方程
(1) eq \f(2x＋1,3) － eq \f(5x－1,6) ＝1；
解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6，去括号，得4x＋2－5x＋1＝6，移项，得4x－5x＝6－2－1，合并同类项，得－x＝3，系数化为1，得x＝－3
(2)y＋ eq \f(y－1,2) ＝1－ eq \f(2y－1,3) ；
解：去分母，得6y＋3(y－1)＝6－2(2y－1)，去括号，得6y＋3y－3＝6－4y＋2，移项，得6y＋3y＋4y＝6＋2＋3，合并同类项，得13y＝11，系数化为1，得y＝ eq \f(11,13)
(3) eq \f(5x－1,4) ＋ eq \f(2－x,3) ＝ eq \f(3x＋1,2) ；
解：去分母，得3(5x－1)＋4(2－x)＝6(3x＋1)，去括号，得15x－3＋8－4x＝18x＋6，移项，得15x－4x－18x＝6＋3－8，合并同类项，得－7x＝1，系数化为1，得x＝－ eq \f(1,7)
(4) eq \f(2x－1,3) － eq \f(10x＋1,12) ＝ eq \f(2x＋1,4) －1；
解：去分母，得4(2x－1)－(10x＋1)＝3(2x＋1)－12，去括号，得8x－4－10x－1＝6x＋3－12，移项，得8x－10x－6x＝3－12＋4＋1，合并同类项，得－8x＝－4，系数化为1，得x＝ eq \f(1,2)
(5)－ eq \f(1,2) (x－2)＝1－ eq \f(2,3) (x－2)；
解：去分母，得3(x－2)＝－6＋4(x－2)，去括号，得3x－6＝－6＋4x－8，移项，得3x－4x＝6－6－8，合并同类项，得－x＝－8，系数化为1，得x＝8
(6) eq \f(x＋2,0.4) － eq \f(2x－1,0.2) ＝－0.5；
解：去分母，得10(x＋2)－20(2x－1)＝－2，去括号，得10x＋20－40x＋20＝－2，移项，得10x－40x＝－2－20－20，合并同类项，得－30x＝－42，系数化为1，得x＝ eq \f(7,5)
(7) eq \f(0.4x－0.1,0.5) ＝ eq \f(0.1＋0.2x,0.3) －0.6.
解：原方程变形为： eq \f(4x－1,5) ＝ eq \f(1＋2x,3) －0.6，去分母，得12x－3＝5＋10x－9，移项，得12x－10x＝5－9＋3，合并同类项，得2x＝－1，系数化为1，得x＝－ eq \f(1,2)
【模块4】与线段有关的计算
4．如图，线段AB＝10 cm，点C为线段AB上一点，BC＝3 cm，点D，E分别为AC和AB的中点，求线段DE的长．
解：因为AB＝10 cm，BC＝3 cm，所以AC＝AB－BC＝10－3＝7(cm)，因为点D是AC的中点，所以AD＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×7＝ eq \f(7,2) (cm)，因为点E是AB的中点，所以AE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×10＝5(cm)，所以DE＝AE－AD＝5－ eq \f(7,2) ＝ eq \f(3,2) (cm)
5．如图，点C和点D把线段AB分为三部分，已知AB＝18 cm，CD＝ eq \f(1,6) AB＝ eq \f(1,2) BD.
(1)求线段CD的长；
(2)若点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，求线段MN的长度．
解：(1)∵AB＝18 cm，∴CD＝ eq \f(1,6) AB＝ eq \f(1,6) ×18＝3(cm)
(2)∵CD＝ eq \f(1,6) AB＝ eq \f(1,2) BD，AB＝18 cm，CD＝3 cm，∴BD＝2CD＝2×3＝6(cm)，∴AC＝AB－BD－CD＝18－6－3＝9(cm)，∵点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，∴MC＝ eq \f(1,2) AC＝4.5 cm，DN＝ eq \f(1,2) BD＝3 cm，∴MN＝MC＋CD＋DN＝4.5＋3＋3＝10.5(cm)
6．如图，长度为42 cm的线段AD上有两点B，C，这两点将线段AD分成AB∶BC∶CD＝2∶1∶4.
(1)求线段AC的长；
(2)点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点，求线段MN的长度．
解：(1)∵AB∶BC∶CD＝2∶1∶4，AD＝42 cm，∴AC＝ eq \f(3,7) ×42＝18(cm)
(2)由题意得AB＝ eq \f(2,7) ×42＝12(cm)，BC＝ eq \f(1,7) ×42＝6(cm)，CD＝ eq \f(4,7) ×42＝24(cm)，∵M为线段AB的中点，N为线段CD的中点，∴MB＝ eq \f(1,2) AB＝6 cm，CN＝ eq \f(1,2) CD＝12 cm，∴MN＝MB＋BC＋CN＝6＋6＋12＝24(cm)
7．如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)，且|m－14|＋(7－n)2＝0.
(1)若BC＝4，求AD的长；
(2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断 eq \f(PA＋PB,PC) 是否为定值，并说明理由．
解：∵|m－14|≥0，(7－n)2≥0，|m－14|＋(7－n)2＝0，∴m－14＝0，7－n＝0，解得m＝14，n＝7，∴AB＝m＝14，CD＝n＝7
(1)若BC＝4，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图①所示：
∵AB＝14，CD＝7，BC＝4，∴BD＝CD－BC＝7－4＝3，∴AD＝AB＋BD＝14＋3＝17；②当点C在点B的右侧时，如图②所示：
∵AB＝14，CD＝7，BC＝4，∴AD＝AB＋BC＋CD＝14＋4＋7＝25；综上所述：线段AD的长为17或25
(2)设BC＝a，如图③所示：
∴AD＝AB＋BC＋CD＝14＋a＋7＝21＋a，∵点M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) (21＋a)，BN＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) a，∴BM＝AM－AB＝ eq \f(1,2) (21＋a)－14＝ eq \f(1,2) (a－7)，∴MN＝BN－BM＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) (a－7)＝ eq \f(7,2)
8．如图，P是线段AB 上一点，AB=24 cm，C，D两点分别从P，B出发以1 cm/s，2 cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP 上)，设运动的时间为t s .
(1)当t=2时，PD=2AC，则AP 的长为______；
【解析】当t=2时，根据C，D 的运动速度知，BD=2t cm=4 cm，PC=t cm=2 cm，则BD=2PC .因为PD=2AC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP .因为AB=24 cm，AB=AP+PB，所以AP=8 cm .
(2)若C，D运动到任一时刻时，总有PD=2AC ，请求出AP 的长；
由题意得，BD=2t cm，PC=t cm，所以BD=2PC .
因为PD=2AC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP .
因为AB=24 cm,AB=AP+PB，所以AP=8 cm .
(3)在(2)的条件下，Q是直线AB 上一点，且2BQ-AQ=2PQ，求PQ 的长.
由(2)易知PB=16 cm .分四种情况：
①当点Q在线段PB 上时，如图①，
因为2BQ-AQ=2PQ，BQ=PB-PQ=16-PQ ，
AQ=AP+PQ=8+PQ ，
所以2(16-PQ)-(8+PQ)=2PQ ，
所以PQ=245 cm ；
②当点Q在线段AP 上时，如图②，
因为2BQ-AQ=2PQ ，
所以易得2(16+PQ)-(8-PQ)=2PQ ，
所以PQ=-24 cm (舍去)；
③当点Q在点A 的左边时，如图③，
因为2BQ-AQ=2PQ ，
所以易得2(16+PQ)-(PQ-8)=2PQ ，
所以PQ=40 cm ；
④当点Q在点B 的右边时，如图④，
因为2BQ-AQ=2PQ ，
所以易得2(PQ-16)-(8+PQ)=2PQ ，
所以PQ=-40 cm (舍去).
综上所述，PQ的长为245 cm或40 cm .
【模块5】与角度有关的计算
9．计算：
(1)90°－36°12′15″；
(2)32°17′53″＋42°42′7″；
(3)18°15′17″×4；
(4)48°2′÷5.
解：(1)90°－36°12′15″＝53°47′45″
(2)32°17′53″＋42°42′7″＝74°59′60″＝75°
(3)18°15′17″×4＝72°60′68″＝73°1′8″
(4)48°2′÷5＝(48×60′＋2′)÷5＝2882′÷5＝576.4′＝9°36′24″
10．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数；
(2)若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
解：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC＋∠BOD＝90°，因为∠BOC＝4∠BOD，所以∠BOC＝ eq \f(4,5) ×90°＝72°
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角，所以∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°，因为OE平分∠AOC，所以∠COE＝ eq \f(1,2) ∠AOC＝ eq \f(1,2) ×108°＝54°，所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°
11．如图，已知O是直线AB上一点，OC是从点O引出的一条射线．且∠AOC＜∠BOC.若OD是∠AOC的平分线，且满足∠BOC－∠COD＝90°，求∠COD的度数．
解：设∠COD＝x，∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD＝∠COD＝x.∴∠BOC＝180°－∠COD－∠AOD＝180°－2x.∵∠BOC－∠COD＝90°，∴∠BOC＝90°＋x.∴90°＋x＝180°－2x.∴x＝30°.∴∠COD的度数为30°
12．已知∠AOB＝140°，OC为∠AOB内部一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，射线OD平分∠MON，当|∠AOC－2∠COD|＝30°时，求∠AOC的度数．
解：∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，∴∠MOC＝ eq \f(1,2) ∠AOC，∠NOC＝ eq \f(1,2) ∠BOC，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝ eq \f(1,2) ∠AOC＋ eq \f(1,2) ∠BOC＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝ eq \f(1,2) ×140°＝70°，∵射线OD平分∠MON，∴∠MOD＝ eq \f(1,2) ∠MON＝ eq \f(1,2) ×70°＝35°.若射线OD在∠AOC内部时，如图①，则∠COD＝∠MOC－∠MOD＝ eq \f(1,2) ∠AOC－35°，∴2∠COD＝∠AOC－70°，即∠AOC－2∠COD＝70°，不满足|∠AOC－2∠COD|＝30°；若射线OD在∠AOC外部时，如图②，则∠COD＝∠MOD－∠MOC＝35°－ eq \f(1,2) ∠AOC，即2∠COD＝70°－∠AOC，∵|∠AOC－2∠COD|＝30°，∴|2∠AOC－70°|＝30°，解得∠AOC＝50°或20°.综上，∠AOC＝50°或20°
13．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，EF为直尺的一条边，四边形ABCD为一正方形纸板(∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠D均为直角).
(1)【操作发现】如图①，小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了∠DAF的平分线AQ，交正方形的边于点P，则此时∠PAB的度数为________；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为________；
(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记∠DAE的度数为α，其他条件不变，请帮小丽同学探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由；
(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了∠DAF的平分线AQ，请直接写出∠QAB与∠DAE的度数之间的关系．
解：(1)45°，∠PAB＝ eq \f(1,2) ∠DAE
(2)∠PAB与∠DAE的度数之间的关系没有发生改变．理由如下：∵∠DAE＝α，∴∠DAF＝180°－α，∵AQ平分∠DAF，∴∠DAQ＝ eq \f(1,2) ∠DAF＝90°－ eq \f(1,2) α，∴∠PAB＝∠DAB－∠DAQ＝90°－(90°－ eq \f(1,2) α)＝ eq \f(1,2) α，即∠PAB＝ eq \f(1,2) ∠DAE
(3)∵∠DAF的平分线为AQ，∴∠QAD＝ eq \f(1,2) ∠DAF，∴∠QAB＝90°＋∠QAD＝90°＋ eq \f(1,2) ∠DAF＝90°＋ eq \f(1,2) (180°－∠DAE)＝180°－ eq \f(1,2) ∠DAE，∴∠QAB＋ eq \f(1,2) ∠DAE＝180°
14．如图①，O为直线DE上一点，过点O在直线DE上方作射线OC，∠EOC＝140°.将直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
(1)如图②，当t＝4时，∠AOC＝____，∠BOE＝____，∠BOE－∠AOC＝____；
(2)当三角板旋转至边AB与射线OE相交时(如图③)，试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为∠EOC＝140°，∠AOB＝∠BOE＝90°，所以∠DOC＝180°－140°＝40°，∠BOC＝140°－90°＝50°.当t＝4时，旋转角为4×6°＝24°，所以∠AOC＝∠DOC－∠DOA＝40°－24°＝16°，∠BOE＝90°－24°＝66°，∠BOE－∠AOC＝66°－16°＝50°，故答案为：16°，66°，50°
(2)∠AOC－∠BOE＝50°，理由如下：设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，∠AOC＝x－40°，∠BOE＝x－90°，所以∠AOC－∠BOE＝(x－40°)－(x－90°)＝50°
(3)存在．①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角6t°＝ eq \f(1,2) ∠DOC＝20°，解得t＝ eq \f(10,3) ；②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角6t°＝2∠DOC＝80°，解得t＝ eq \f(40,3) ；③当OD为∠COA的平分线时，360°－6t°＝∠DOC＝40°，解得t＝ eq \f(160,3) .综上，满足条件的t 的取值为 eq \f(10,3) 或 eq \f(40,3) 或 eq \f(160,3)