福建省福州市仓山区八年级上学期期末考数学试卷-A4

这是一份福建省福州市仓山区八年级上学期期末考数学试卷-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列几何图形中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）细菌是一种微小的单细胞生物，如大肠杆菌，其直径约为0.000000005米．将数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8B．5×10﹣9C．0.5×10﹣8D．0.5×10﹣9
3．（4分）下列式子一定有意义的是（ ）
A．2aB．1x-yC．2m3m+2D．1a2+1
4．（4分）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（ ）
A．A，B，CB．B，C，DC．A，D，ED．A，C，E
5．（4分）如图，点B在线段AE上，AE＝6，BD＝2．若△ABC≌△DBE，则下列说法错误的是（ ）
A．BE＝4B．CD＝2C．∠ABC＝90°D．∠C＝30°
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2÷x3＝xB．(1x)-2=1x2
C．4x4•2x3＝8x7D．（x+y）2＝x2+y2
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，若CE＝2，则BC的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（4分）下列式子从左到右的变形，正确的是（ ）
A．ba=b2a2B．ba=b-1a-1C．bmam=baD．b+1a+1=ba
9．（4分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边的中线、高线，过点D作DF⊥AB于点F，若ABBC=23，则DFAE的值是（ ）
A．12B．23C．34D．45
10．（4分）已知a，b为实数，且a﹣b＝4，a≥﹣3b，则下列关于-ba的值的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值为13
B．有最小值，且最小值为13
C．有最小值，且最小值为-13
D．有最大值，且最大值为-13
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是 ．
12．（4分）因式分解：x2﹣y2＝ ．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，4）与点B（m，n）关于y轴对称，则mn的值为 ．
14．（4分）若a+bb=43，则ab= ．
15．（4分）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行（n+2）km用了mh，如果乙船的航速是甲船航速的ma，那么乙船航行th的路程为 km．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，M，E分别是边AB上两个动点，并满足AE＝BM，过点M作MF⊥AB交BC于点F，点H在∠ABD内，且FE＝FH，∠EFH＝60°．点G在AB上运动，连接GH，HC，当GH+HC的值最小时，BG的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：（a﹣b）2+（4a2b﹣a3）÷a．
18．（8分）如图，点B，M，N，C在同一直线上，BM＝CN，AB＝AC，求证：AM＝AN．
19．（8分）先化简，再求值：a-1a÷a2-1a2，其中a＝2．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
21．（8分）已知a，b，c均为正实数，且a2+b2＝c2，求证：a+b-c2=aba+b+c．
22．（10分）编写一个实际情境的应用题，要求这个应用题可以用方程150x=180x+3求解．请你写出这个实际情境的应用题，并写出解答过程．
23．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD．
（1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点．
24．（12分）在学习整式的乘法运算时，数学老师去借助图形的面积，让同学们更直观的判断和理解整式的乘法运算．
如图是王老师用硬纸卡制作的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C）
（1）王老师在利用学具A，C各一张，组合了如图1的图形，借助图形的面积，可以得出的整式乘法关系式为 ；
（2）王老师在接下来的探究中，给同学们2张A，1张B和3张C硬纸卡，要求同学们将这些硬纸卡全部使用，拼成一个长方形（各个部分不重合且镶嵌）．请在下列的方格纸中画出这个长方形（假设：a的值为2个单位长度，b的值为1个单位长度），并借助图形的面积直接写出整式乘法的关系式．
整式乘法的关系式为： ；
（3）王老师在本节课结束后，布置了一道思考题：“如图，用4张C类型的硬纸卡拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1＝S2，则ab的值是多少？”，请写出求解过程，完成解答．
25．（14分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，BE相交于点F，且∠BFD＝60°．
（1）求证：AE＝CD；
（2）如备用图1，点G在射线BE上，连接AG，CG，且∠AGC＝120°．
①求证：GB平分∠AGC；
②如备用图2，连接CF，若BF⊥CF，求AFBG的值．
2024-2025学年福建省福州市仓山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）下列几何图形中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）细菌是一种微小的单细胞生物，如大肠杆菌，其直径约为0.000000005米．将数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8B．5×10﹣9C．0.5×10﹣8D．0.5×10﹣9
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列式子一定有意义的是（ ）
A．2aB．1x-yC．2m3m+2D．1a2+1
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件判断即可．
【解答】解：A、当a＝0时，2a无意义，不符合题意；
B、当x＝y时，1x-y无意义，不符合题意；
C、当m=-23时，2m3m+2无意义，不符合题意；
D、∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴a2+1≠0，
∴1a2+1一定有意义，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4．（4分）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（ ）
A．A，B，CB．B，C，DC．A，D，ED．A，C，E
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的判定解决问题．
【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．
5．（4分）如图，点B在线段AE上，AE＝6，BD＝2．若△ABC≌△DBE，则下列说法错误的是（ ）
A．BE＝4B．CD＝2C．∠ABC＝90°D．∠C＝30°
【答案】D
【分析】由全等三角形的性质推出AB＝BD＝2，BC＝BE∠ABC＝∠DBE，求出BE＝AE﹣AB＝4，CD＝BC﹣BD＝2，由邻补角的性质得到∠ABC＝90°，由tanC=12，得到∠C≠30°．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝BD＝2，BC＝BE∠ABC＝∠DBE，
∵AE＝6，
∴BE＝AE﹣AB＝4，
∴BC＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
故A、B不符合题意；
∵∠ABC+∠DBE＝180°，
∴∠ABC＝90°，
故C不符合题意；
∵tanC=ABBC=12，
∴∠C≠30°，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出AB＝BD，BC＝BE∠ABC＝∠DBE．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2÷x3＝xB．(1x)-2=1x2
C．4x4•2x3＝8x7D．（x+y）2＝x2+y2
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可．
【解答】解：A、x2÷x3＝x﹣1，故此选项不符合题意；
B、(1x)-2=1(1x)2=x2，故此选项不符合题意；
C、4x4•2x3＝8x7，故此选项符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，若CE＝2，则BC的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，求得∠BAC＝60°，由AE平分∠BAC，得∠EAC＝∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠B，而CE＝2，所以BE＝AE＝2CE＝4，则BC＝BE+CE＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠EAB=12∠BAC＝30°，
∴∠EAB＝∠B，
∵CE＝2，
∴BE＝AE＝2CE＝4，
∴BC＝BE+CE＝4+2＝6，
故选：B．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出∠EAC＝∠EAB＝30°是解题的关键．
8．（4分）下列式子从左到右的变形，正确的是（ ）
A．ba=b2a2B．ba=b-1a-1C．bmam=baD．b+1a+1=ba
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、ba≠b2a2，故不符合题意；
B、ba≠b-1a-1，故不符合题意；
C、bmam=ba，故符合题意；
D、b+1a+1≠ba，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边的中线、高线，过点D作DF⊥AB于点F，若ABBC=23，则DFAE的值是（ ）
A．12B．23C．34D．45
【答案】C
【分析】根据三角形的中线的性质得到BD＝DC，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵ABBC=23，
∴ABBD=43，
∵S△ABD=12×AB×DF=12×BD×AE，
∴DFAE=34，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
10．（4分）已知a，b为实数，且a﹣b＝4，a≥﹣3b，则下列关于-ba的值的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值为13
B．有最小值，且最小值为13
C．有最小值，且最小值为-13
D．有最大值，且最大值为-13
【答案】A
【分析】先根据a﹣b＝4及a≥﹣3b得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将-ba转化为4a-1，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为a﹣b＝4，且a≥﹣3b，
所以b+4≥﹣3b，
解得b≥﹣1，
则a﹣4≥﹣1，
解得a≥3．
又因为-ba=-a-4a=4a-1，且0＜4a≤43，
所以4a-1≤13，
所以-ba有最大值，且最大值为13．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的值，能根据题意得出a，b的取值范围及将-ba转化为4a-1是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是 1＜x＜7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x＜4+3，
即1＜x＜7，
故答案为：1＜x＜7．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于其它的两边的差，而小于其它两边的和．
12．（4分）因式分解：x2﹣y2＝ （x﹣y）（x+y） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案为：（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，4）与点B（m，n）关于y轴对称，则mn的值为 8 ．
【答案】8．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，4）与点B（m，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣（﹣2）＝2，n＝4，
∴mn＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
14．（4分）若a+bb=43，则ab= 13 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件和比例的性质得出ab-1=43，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵a+bb=43，
∴ab+1=43，
∴ab=13．
故答案为：13．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，此题较简单．
15．（4分）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行（n+2）km用了mh，如果乙船的航速是甲船航速的ma，那么乙船航行th的路程为 t(n+2)a km．
【答案】t(n+2)a．
【分析】根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题．
【解答】解：由题知，
甲船的速度为n+2mkm/h，
则乙船的速度为：n+2m⋅ma=n+2a（km/h），
所以乙船航行t h的路程为t(n+2)akm．
故答案为：t(n+2)a．
【点评】本题主要考查了列代数式，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，M，E分别是边AB上两个动点，并满足AE＝BM，过点M作MF⊥AB交BC于点F，点H在∠ABD内，且FE＝FH，∠EFH＝60°．点G在AB上运动，连接GH，HC，当GH+HC的值最小时，BG的长为 63 ．
【答案】63．
【分析】如图，过点H作HK⊥BC于点K，在CK的延长线上截取线段KJ，使得KJ＝CK，连接HJ，过点J作JT⊥AB于点T．证明△FME≌△HKF（AAS），推出EM＝FK，再证明BK＝AB＝8，CJ＝KJ＝4，求出JT，再根据HC+HG＝HJ+HG≥JT可得结论．
【解答】解：如图，过点H作HK⊥BC于点K，在CK的延长线上截取线段KJ，使得KJ＝CK，连接HJ，过点J作JT⊥AB于点T．
∵∠EFK＝∠B+∠BEF＝∠EFH+∠HFK，∠EFH＝60°，
∴∠BEF＝∠HFK，
∵FM⊥AB，HK⊥FK，
∴∠EMF＝∠FKH＝90°，
∵EF＝FH，
∴△FME≌△HKF（AAS），
∴EM＝FK，
∵∠MFB＝90°﹣60°＝30°，
∴BF＝2BM，
∵BM＝AE，
∴BM+AE＝BF，
∴BK＝AB＝8，
∵∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴BC=12AB＝4，
∴CK＝JK＝BK﹣BC＝4，
∴BJ＝12，
∵JT⊥AB，
∴BJT＝30°，
∴BT=12BJ＝6，
∴JT=BJ2-BT2=122-62=63，
∵HK垂直平分线段CJ，
∴HC＝HJ，
∴HC+HG＝HJ+HG≥JT＝63，
∴HC+HG的最小值为63．
故答案为：63．
【点评】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：（a﹣b）2+（4a2b﹣a3）÷a．
【答案】b2+2ab．
【分析】根据完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可．
【解答】解：（a﹣b）2+（4a2b﹣a3）÷a
＝a2﹣2ab+b2+4ab﹣a2
＝b2+2ab．
【点评】本题考查整式的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，点B，M，N，C在同一直线上，BM＝CN，AB＝AC，求证：AM＝AN．
【答案】证明过程见解答．
【分析】证明△ABM≌△ACN（SAS），即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABM与△ACN中，
AB=AC∠B=∠CBM=CN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ABM≌△ACN．
19．（8分）先化简，再求值：a-1a÷a2-1a2，其中a＝2．
【答案】aa+1，23．
【分析】先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：a-1a÷a2-1a2
=a-1a•a2(a-1)(a-1)
=aa+1，
当a＝2时，原式=22+1=23．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
【答案】见解答．
【分析】先利用∠BAC为△ACE的一个外角得到∠BAC＝β+∠ACE，由于∠BAC＝α+2β，则可得到∠ACE＝α+β，接着利用∠DCE为△BCE的一个外角得到∠DCE＝α+β，所以∠ACE＝∠DCE，从而得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠E+∠ACE＝β+∠ACE，
∵∠BAC＝α+2β，
∴∠ACE+β＝α+2β，
∴∠ACE＝α+β，
∵∠DCE＝∠B+∠E＝α+β，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴CE平分∠ACD．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和是180°进行角度的计算是解决问题的关键．也考查了三角形外角性质．
21．（8分）已知a，b，c均为正实数，且a2+b2＝c2，求证：a+b-c2=aba+b+c．
【答案】见解析．
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）
＝（a+b）2﹣c2
＝a2+2ab+b2﹣c2，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a+b﹣c）（a+b+c）＝2ab，
∴a+b-c2=aba+b+c．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
22．（10分）编写一个实际情境的应用题，要求这个应用题可以用方程150x=180x+3求解．请你写出这个实际情境的应用题，并写出解答过程．
【答案】问题：钢笔的单价比笔记本高3元，其用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，求钢笔与笔记本的单价？
笔记本的单价为15元，钢笔的单价为18元．
【分析】问题：钢笔的单价比笔记本高3元，其用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，求钢笔与笔记本的单价？设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为（x+3）元，利用数量＝总价÷单价，结合用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即笔记本的单价），再将其代入（x+3）中，即可求出钢笔的单价．
【解答】问题：钢笔的单价比笔记本高3元，其用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，求钢笔与笔记本的单价？
解：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为（x+3）元，
根据题意得：150x=180x+3，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意，
∴x+3＝15+3＝18（元）．
答：笔记本的单价为15元，钢笔的单价为18元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD．
（1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）分别以A，C为圆心，BD，CD为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，CE，△ACE即为所求；
（2）如图，设BD交AE于点F′．证明点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上可得结论．
【解答】（1）解：如图，△ACE即为所求；
（2）证明：如图，设BD交AE于点F′．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠F′AB＝∠F′BA，
∴F′A＝F′B，
∴点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上，
∵CA＝CB，CG⊥AB，
∴AG＝GB，
∴CG垂直平分线段AB，
∵BD与CG相交于点F，
∴点F在AB的垂直平分线上且在线段BD上，
∴点F，点F′重合，
∴AE，BD，CG相交于一点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（12分）在学习整式的乘法运算时，数学老师去借助图形的面积，让同学们更直观的判断和理解整式的乘法运算．
如图是王老师用硬纸卡制作的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C）
（1）王老师在利用学具A，C各一张，组合了如图1的图形，借助图形的面积，可以得出的整式乘法关系式为 a（a+b）＝a2+ab ；
（2）王老师在接下来的探究中，给同学们2张A，1张B和3张C硬纸卡，要求同学们将这些硬纸卡全部使用，拼成一个长方形（各个部分不重合且镶嵌）．请在下列的方格纸中画出这个长方形（假设：a的值为2个单位长度，b的值为1个单位长度），并借助图形的面积直接写出整式乘法的关系式．
整式乘法的关系式为： （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+b2 ；
（3）王老师在本节课结束后，布置了一道思考题：“如图，用4张C类型的硬纸卡拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1＝S2，则ab的值是多少？”，请写出求解过程，完成解答．
【答案】（1）a（a+b）＝a2+ab；
（2）图形见解答，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+b2；
（3）ab的值是3．
【分析】（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）根据矩形的面积公式求解；
（3）先求出S1和S2的值，再代入S1＝S2，再解方程．
【解答】解：（1）a（a+b）＝a2+ab，
故答案为：a（a+b）＝a2+ab；
（2）如下图：乘法关系式为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+b2；
（3）∵S1＝2b（a﹣b）+（a﹣b）2，S2＝2b（a+b），S1＝S2，
∴2b（a﹣b）+（a﹣b）2＝2b（a+b），
等式可化为：3b2﹣a2+2ab＝0，
∵b≠0，
∴3﹣（ab）2+2⋅ab=0，
解得：ab=-1（不合题意，舍去），或ab=3，
∴ab的值是3．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
25．（14分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，BE相交于点F，且∠BFD＝60°．
（1）求证：AE＝CD；
（2）如备用图1，点G在射线BE上，连接AG，CG，且∠AGC＝120°．
①求证：GB平分∠AGC；
②如备用图2，连接CF，若BF⊥CF，求AFBG的值．
【答案】（1）见解析；
（2）①见解析；②13．
【分析】（1）证明△BAE≌△ACD（ASA）即可；
（2）①如图2中，过点B作BM⊥CG于点M，BN⊥GA交GA的延长线于点N．证明BM＝BN即可；
②证明∠BFC＝∠CFG＝90°，∠CFD＝∠FCG＝30°，推出CG＝2FG＝2AF，再证明△BAF≌△CAG（SAS），推出BF＝CG＝2AF可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠BFD＝60°＝∠BAF+∠ABF，∠BAF+∠CAD＝60°，
∴∠ABE＝∠DAC，
∴△BAE≌△ACD（ASA），
∴AE＝CD；
（2）①证明：如图2中，过点B作BM⊥CG于点M，BN⊥GA交GA的延长线于点N．
∵∠ABC＝60°，∠AGC＝120°，
∴∠ABC+∠AGC＝180°，
∴∠BAG+∠ACM＝180°，
∵∠BAG+∠BAN＝180°，
∴∠BAN＝∠BCM，
∵∠N＝∠BMC＝90°，AB＝BC，
∴△BNA≌△BMC（AAS），
∴BN＝BM，
∵BM⊥CG，BN⊥GN，
∴GB平分∠AGC；
②解：如图3中，
∵∠AGC＝120°，GB平分∠AGC，
∴∠AGF＝∠BGC＝60°，
∵∠BFD＝∠AFG＝60°，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF＝AG＝FG，∠FAG＝60°，
∵∠AFG＝∠BGC＝60°，
∴AD∥CG，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝∠CFG＝90°，
∴∠CFD＝∠FCG＝30°，
∴CG＝2FG＝2AF，
∵∠BAC＝∠FAG＝60°，
∴∠BAF＝∠CAG，
∵AB＝AC，AF＝AG，
∴△BAF≌△CAG（SAS），
∴BF＝CG＝2AF，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B．
D
A
D
C
B
C
C
A