福建省泉州市泉港区第二中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市泉港区第二中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次根式中x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数即可求解．
【详解】根据被开方数是非负数，可得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式的定义是关键．
2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
3. 下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A. ， ，，B. 1，，， C. ，，，D. ，，，7
【答案】C
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【详解】解：A. ，故四条线段不成比例，不合题意；
B. ，故四条线段不成比例，不合题意；
C. ，故四条线段成比例，符合题意；
D. ，故四条线段不成比例，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
4. 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】cs45°=，
故选D.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题的关键．
5. 在中，，则等于（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6. 如图，点G是的重心，，则的值为（ ）

A. 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵点G是的重心，
∴点D，E分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：实验楼的位置可表示成．
故选：D．

8. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：
由图形知：tan∠ACB=．故选A．
9. 已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：、与是位似关系，故此选项不合题意；
B、与是位似关系，故此选项不合题意；
C、与是位似关系，故此选项不合题意；
D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．
其中正确的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；
⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断．
【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴，
∴，
∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，
∴∠NAE=∠AEN=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．
∵BC=CD，∴CE=CF，
假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OCEFx，
在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，
∴OE=BE．
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，
∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，
∴1x，
∴x=2，
∴，故③不正确，
③如图3，
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
则AF=AH，∠DAF=∠BAH．
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．
∵∠ABE=∠ABH=90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH(SAS)，
∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，
∵DF∥AB，∴，
∴AN=NEAFa，
∴AEANa，
∴BEa，
∴ECaBC，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一个斜坡的坡角为度，它的坡比__________．
【答案】
【解析】
【分析】坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解．
详解】解：如图所示，，，，

∴设，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键．
12. 已知b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，则b=________．
【答案】±8
【解析】
【分析】根据比例中项的定义即可求解.
【详解】∵b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，
∴b2=ac=4×16=64，
∴b=±8，
故答案为±8
【点睛】此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a∶b=b∶c或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.
13. ABC与DEF是相似三角形，且对应面积比为4：9，则ABC与DEF的周长比为______．
【答案】2：3
【解析】
【分析】由与相似且面积的比为：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得与的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
【详解】解：与相似且面积的比为：，
与的相似比为：：，
与周长的比为：：．
故答案为：：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记性质定理是解此题的关键．
14. 在中，于点D，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长．
【详解】解：如图，

解：在中，，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
即，
解得：．
故答案为：
【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
15. 如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃靠墙处不用篱笆，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米恰好用完，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为______．

【答案】x(19-3x)=24
【解析】
【分析】若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米，根据围成的大长方形花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米，
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 如图，在中，点A在第一象限，点B在第二象限，且，若点A在反比例函数上，则经过点B的反比例函数为________

【答案】
【解析】
【分析】过A作轴，过B作轴，垂足分别为C， D，可证明，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过A作轴，过B作轴，垂足分别为C，D，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∴，
设经过点B的反比例函数的解析式为，
∴，
∴，
∴经过点B的反比例函数的解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握反比例函数比例系数的几何意义．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1
【答案】，1+
【解析】
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（x−1）÷
当x＝＋1时，
原式＝
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19. 解方程：2x2-3x-1=0．
【答案】x1=，x2=
【解析】
【分析】利用公式法解方程即可求解即可．
【详解】2x2-3x-1=0，
a=2，b=-3，c=-1，
∴△=9+8=17，
∴x=，
x1=，x2=．
【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式.
20. 如图，在中，分别是边上的点，连接，且，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可得，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21. 如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
(1)在图中画出△DEF；
(2)点E是否在直线OA上？为什么？
(3)△OAB与△DEF______位似图形（填“是”或“不是”）
【答案】（1）见解析；（2）点E在直线OA上；（3）是.
【解析】
【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；
（2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；
（3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．
【详解】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；
（2）点E在直线OA上，
理由：设直线OA的解析式为：y＝kx，
将A（3，2）代入得：2＝3k，
解得：k＝，故直线OA的解析式为：y＝x，
当x＝6时，y＝×6＝4，
故点E在直线OA上；
（3）△OAB与△DEF是位似图形．
故答案为是．
【点睛】本题考查的知识点是作图-位似变换，解题的关键是熟练的掌握作图-位似变换.
22. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）作图的基础上，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，
（2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明∽即可．
【小问1详解】
作法1
作法2
作法3
【小问2详解】
如图，
∵，∴．
又，∴，即．
在与中，，，
∴∽，
∴，即．
又，∴．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：）

（1）求房屋内部宽度的长；
（2）求点A与屋面的距离．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答；
（2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则，

则在中， (米)，
∵是等腰三角形，
∴ (米)．
∵四边形是矩形，
∴(米)；
【小问2详解】
解：如图，过A作，交于点I．
在中， (米)，
在中， (米)，
∴ (米)，
∴(米)，
即点A到屋面的距离约为米．
【点睛】本题主要考查了矩形性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
24. 如图，已知在四边形中，，于H，，，，点E在边上，联结分别交、于点M、N．

（1）求线段的长；
（2）当时，设，，求y关于x的函数解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作于点，判断出四边形为矩形，从而得到，，再结合勾股定理求解即可；
（2）作于点，首先结合（1）的结论以及已知条件求出和，然后根据相似三角形的判定与性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，作于点，则，

由题意，，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，作于点，

由（1）可知，，
∵，，
∴，，
另外，由（1）可得：，，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的性质，灵活证明相似三角形并利用其性质是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系xy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.动点P、Q分别从O、B同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿OB向终点B运动,点Q以每秒5个单位的速度沿BA向终点A运动.设运动时间为t秒.

(1)连结PQ，若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似，求t的值；
(2)连结AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值；
(3)试证明：PQ的中点在△AOB的一条中位线上.
【答案】（1）当t=1或t=时，△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似；（2）t=；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A、B坐标，得到OA、OB的值，然后分情况讨论：①当时，△BPQ∽△BOA；②当时，△BPQ∽△BAO，根据比例式，分别代入数据求出t值即可；
（2）过点Q作QC⊥y轴，垂足为C，根据△BCQ∽△BOA可求出CQ=3t，CO=8-4t，然后根据AP⊥OQ利用同角的余角相等证明∠CQO=∠APO，进而得到△AOP∽△OCQ，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（3）首先求出P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，可得PQ中点的坐标为（，4），由△AOB的一条中位线所在直线为y=4可得结论.
详解】解：(1)令y=0，则，
解得：x=6，
∴A(6，0)，则OA=6，
令x=0，则y=8，
∴B(0，8)，则OB=8，
∵∠AOB=90°
∴AB=，
由已知得OP=4t，BQ=5t，
∴BP=8-4t，
∵∠OBA=∠PBQ，
∴分两种情况讨论
①当时，△BPQ∽△BOA，
∴，解得t=1；
②当时，△BPQ∽△BAO，
∴，解得t=，
综上所述，当t=1或t=时，△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似；
(2)过点Q作QC⊥y轴，垂足为C，

则CQ//OA，
∴△BCQ∽△BOA，
∴，
∴，
解得：BC=4t，CQ=3t，
∴CO=8-4t，
∵∠QCO=90°，
∴∠CQO+∠COQ=90°，
∵AP⊥OQ，
∴∠COQ+∠APO=90°，
∴∠CQO=∠APO，
∴△AOP∽△OCQ ，
∴，
∴
解得t=；

(3)由（2）得BC=4t，CQ=3t，OC=8-4t，
∴P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，
∴PQ中点的坐标为（，4），
∵△AOB的一条中位线所在直线为y=4，
∴PQ的中点在△AOB的一条中位线上.