福建省晋江市晋江学校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省晋江市晋江学校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】A选项：，与的被开方数不同，故不是同类二次根式，故A错误；
B选项：与的被开方数不同，故不是同类二次根式，故B错误；
C选项：与的被开方数相同，是同类二次根式，故C正确；
D选项：与的被开方数不相同，故不是同类二次根式，故D错误．
故选C．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加、减、乘、除运算逐项计算即可求解．
【详解】A、不能合并在一起，故选项A错误；
B、中，与不是同类二次根式，不能合并在一起，故选项B错误；
C、，计算正确；
D、，故选项D错误，
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟记二次根式运算法则和性质是解题的关键，
3. 用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
5. 电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（ ）
A. ；B. ；
C. ；D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合该地三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，
该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
又三天后票房收入累计达10亿元，
根据题意可列方程．
故选：D．
6. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成．
【详解】∵
∴
∴BC=3CE
∵BC+CE=10
∴3CE+CE=10
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
7. 如图，在中，点P为上一点，连接，若再添加一个条件使与相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形判定条件进行逐一判断即可．
详解】解：A、由可以证明，不符合题意；
B、由可以证明，不符合题意；
C、由可以证明，不符合题意；
D、由不可以证明和相似，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
8. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C ′O的值为（ ）
A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 1：3
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质知：BC∥C′B′，则△BCO∽△B′C′O′，根据该相似三角形的对应边成比例得到答案．
【详解】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴BC∥C′B′，
∴△BCO∽△B′C′O′．
∴CO：C′O=BC：B′C′=1：2．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的性质：两个图形的对应边平行，面积的比等于位似比的平方．
9. 如图，正方形ABCD中，E为AD中点，，，，则FG长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明得出，设，则，可得，过点E作EH⊥DF于点H，根据勾股定理得，可得方程，整理求解后即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，AB=AD
∵BD是对角线，
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∵E是AD的中点，
∴AE=DE
设，则
由勾股定理得，
∵
∴
∵
∴
过点E作EH⊥DF于点H，如图，
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∵
∴
在中，
∴
整理得，
解得，，
∵
∴
∴，不符合题意，舍去，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及解一元二次方程等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造相似三角形，是解决本题的关键．
10. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，，可判断①；先证，得，不一定，可判断②；先判断，可得，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④．
【详解】解：①，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
，得，
的值不确定，故②不正确；
③由①知，
，
又，
，
，由②知，
，
．
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，有，
．
故④正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，勾股定理，直角三角形性质，平行线的性质，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 要使二次根式有意义，x必须满足的条件是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12. 若m是方程的一个根，则的值为____________．
【答案】2022
【解析】
【分析】把代入中得：，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：把代入中得：
，
∴，
∴
=
=
=2022，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入求值是解题的关键．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，设 则 再代入求值即可.
【详解】解： ，
设 则

故答案为：．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数，再代入求比值”是解题的关键.
14. 如图，在梯形中，，相交于点．若，则___________．
【答案】9
【解析】
【分析】先利用同高的两个三角形的面积比可得再证明利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解本题的关键．
15. 在中，，，，点G是的重心，GH垂直于AB，垂足为H，则________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，通过面积法求出CE，再运用三角形重心的性质，得到CG=2DG，最后运用相似三角形的性质解答即可.
【详解】
解：如图：，过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4
由勾股定理可得AB=5
∵всAC=AB×CE
∴CE=2.4
由∵点G是△ABC的重心
∴CG=2DG
∵CE//GH
∴△DGH∽△DCE，
所以，即
∴GH=
故答案为.
【点睛】本题题考查了直角三角形的性质和重心的性质，理解三角形的重心的概念和性质是解答本题的关键.
16. 如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则
①CD＝____；
②图中阴影部分面积为_____．
【答案】 ①. 10 ②.
【解析】
【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，
∴△ABE∽△CDG，
∴
即，
解得CD＝10；
②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC＝AB＋BC＝4＋6＝10，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
又∵∠CAG＋∠CGA＝∠DCG＝60°，
∴∠CGA＝30°，
∴∠AGD＝∠CGA＋∠CGD＝30°＋60°＝90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF＝∠D＝60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，
，
即，
解得CM＝5，
所以，MF＝CF−CM＝6−5＝1，
∵∠F＝60°，
∴MN＝MF＝，
∴S△MNF＝MF•MN＝×1×＝，
即阴影部分面积为．
故答案为10；．
【点睛】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂的意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，利用二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．
19. 若一元二次方程的两根为、，则，．
（1）已知实数m，n是方程的两根，求的值．
（2）已知实数p，q满足，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）45
【解析】
【分析】（1）由题意m，n可以看作的两根，根据题目的公式，即可求解；
（2）由题意知p与即为方程的两个不相等的实数根，根据题目的公式，即可求解．
【小问1详解】
解：实数m，n是方程的两根，
，，
．
【小问2详解】
解：实数p，q满足，，
又可以变形为，
与即为方程的两个不相等的实数根，
，，
．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？
【答案】道路的宽为6米．
【解析】
【分析】本题考查是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的宽为6米；
21. 如图，已知正方形，点E在边上，连接．
（1）利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求的长．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需要过点D作于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点F即为所求；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22. 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ， ），点C′的坐标为（ ， ），S△A′B′C′：S△ABC= ．
【答案】（1）详见解析；（2）﹣1，0；1，2；1：4．
【解析】
【分析】(1)利用△A′B′C′与△ABC位似且位似比为1:2，可将对应点坐标乘以即可；
(2)利用所画图形得出对应点坐标后，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：（1）由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)，
如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），
S△A′B′C′：S△ABC=1：4．
故答案为﹣1，0；1，2；1：4．
【点睛】本题考查了三角形位似的概念.
23. 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴．
∵S△FCD＝5，
∴S△ABC＝20．
又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，
∴AM＝4．
又DM＝CM＝CD，DE∥AM，
∴DE：AM＝BD：BM＝，
∴DE＝ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键．
24. 如图，在中，，为边上一点．连结，将线段绕逆时针旋转得到．
（1）直接填空： ________；
（2）如图1，当时，连结，求证：；
（3）如图2，当时，求证．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设交 于点，由旋转可知：，证明，得出，得出，然后勾股定理即可求解；
（2）根据，得出，则，即可得出；
（3）将绕点顺时针旋转至，连接交于点，证明，在中，进而，根据勾股定理即可得证．
【小问1详解】
解：，
设交于点，
由旋转可知：，
，
在中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
即；
【小问2详解】
，
，
，
；
【小问3详解】
将绕点顺时针旋转至，连接交于点，
由旋转可知：，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等角对等边，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
25. 综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．
（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB= ；
（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF=90°，EF=2DE，求出DF的长；
（3）在（2）的条件下，若横格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．
【答案】AB=；
【解析】
【详解】试题分析：（1）如图，过点A、B分别作点C所在横线的垂线，垂足分别为D、E，然后证明△ADC≌△CEB，从而可得CE=AD=3，CD=BE=2，由勾股定理求得AC，BC的长，再由勾股定理即可求得AB的长；
（2）如图所示，过点E作横线的垂线，然后证明△DME∽△ENF，再根据相似三角形的性质进行推导即可得；
（3）连接DN与EG交于点P，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1）过点A、B分别作点C所在横线的垂线，垂足分别为D、E，
∴∠ADC=∠BEC=90°，AD=3，BE=2，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，∴CE=AD=3，CD=BE=2，
∴AC=BC=，∴AB=，
故答案为；
（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，
∴∠DME=∠EDF=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△DME∽△ENF，
∴，
∵EF=2DE，
∴，
∵ME=2，EN=3，
∴NF=4，DM=1.5，
根据勾股定理得DE=2.5，EF=5，；
（3）连接DN，交EG于点P，
∵EG//DM，∴△DMN∽△PEN，
∴PE：DM=EN：MN，即PE：1.5=3：5，∴PE=0.9，
同理PG=16，∴EG=PE+PG=2.5.