福建省福州教育学院附属中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州教育学院附属中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义．
2. 下列事件中，随机事件是（ ）
A. B. 打开电视机正在播报新闻
C. 水中捞月D. 太阳从西边升起
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件，同时考查了不可能事件与必然事件，熟练掌握随机事件的定义是解答本题的关键．“在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件”，再根据随机事件的定义解答即可．
【详解】解：A．，是必然事件，不符合题意；
B．打开电视机正在播报新闻，是随机事件，符合题意；
C．水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D．太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意．
故选：B．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，解答时根据二次函数一般式的对称轴公式：直线计算即可．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为：直线，
故选：B
4. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理．
观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解．
【详解】解：弧弧，
其中是弧的圆心角，是弧的圆周角，
．
故选：．
5. 一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A. 3B. 5C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
【详解】解：这个多边形的边数是，
故答案为：C．
6. 已知一圆锥的母线长为6，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 27πB. 36πC. 18πD. 9π
【答案】C
【解析】
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的母线长为6，底面半径为3，
∴该圆锥的侧面积为：π×3×6＝18π．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
7. 点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，图像上的点满足函数解析式．分别把、、各点的坐标代入到中，求出、、的值，再比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：C．
8. 如图是二次函数的部分图象，则关于的一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象得：该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，可得该函数与轴的另一个交点是，从而得到当时，，，即可求解．
【详解】解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
则该函数与轴的另一个交点是，
∴当，即时，，，
∴关于的一元二次方程的解为，，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是( )
A. B. C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴ =（）2=，∴EC：BC=1：．∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=．故选D．
10. 若点、、在抛物线上，且，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据抛物线对称性可知：点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称，由，，，可得当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵、、在抛物线上，
∴根据抛物线对称性可知：
点与点关于对称轴直线对称，
点与点关于对称轴直线对称，
∵，，，
∴当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足，则m的取值范围为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称．解题时，要注意数形结合的思想．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 点 P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】（-2，3）
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】解：已知点P（2，-3），
则点P关于原点对称的点的坐标是（-2，3），
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
12. 将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位，
得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13. 只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中红球与白球共有______个.
【答案】25
【解析】
【分析】设白球为个，根据“概率=符合条件的情况数目÷全部情况的总数”列分式方程即可求解．
【详解】设白球为个，根据题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，
所以袋中白球10个，红球15个，共25个，
故答案为25．
【点睛】本题考查了概率问题与分式方程，熟练掌握概率公式并正确列出分式方程是解题关键．
14. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程_______．
【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
【解析】
【分析】利用2022年某款新能源汽车的销售量＝2020年某款新能源汽车的销售量×（1＋年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，，PA，PC是⊙O的切线．∠P＝___°．
【答案】40
【解析】
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OCP=90°，从而得到∠P+∠AOC=180°，再由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=140°，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，
∵PA，PC是⊙O的切线．
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P+∠AOC=180°，
∵，
∴∠AOC=2∠ABC=140°，
∴∠P=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，，是函数图像上异于的点，直线与直线垂直，分别交轴，轴于点，．现给出以下结论：①；②可能是直角；③为定值；④的面积可能为．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】①根据题意画出图象，作，设，根据反比例函数性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，设，表示出即可得结论；②由AQ=AP，代入值判断即可；③，根据、mn=1，即可得结论；④假设直线MN过A点时，计算出的面积即可判断；
【详解】解：由题意，图如下，作，
①∵直线与直线垂直，
∴OM=ON，
设，
根据反比例函数的性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，
设
则
∴
故①正确；
②若是直角；
则AQ=AP，
即
则m=n，此时P、Q与A点重合，不成立，
故②错误；
③，
∵
∴∵mn=1
∴
故③正确；
④当直线MN过A点时，，则
的面积为：，
根据题意，不可能过A点，
∴的面积必然大于2；
故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法进行求解即可．
【详解】解：移项得，，
配方得，，即，
开平方得，，
解得，，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的范围；
（2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．
【答案】（1）且；（2） 该方程的两根不能互为相反数．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m2≠0，且△≥0，即[2（m-1）]2-4m2≥0，解不等式组即可得到m≤ 且m≠0；
（2）由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在（1）中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，即，，
∴且；
（2）如果方程的两根互为相反数，那么，
解得，
∵且时，方程有实数根，而，
∴该方程的两根不能互为相反数．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac和一元二次方程的定义及根与系数的关系，（1）当△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0，方程没有实数根．
20. 有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1，和2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线上的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出树状图，得出点Q的所有可能坐标即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征得出落在直线上的所有点，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意画图如下；
点Q的所有可能坐标是：；
【小问2详解】
解：∵当时， 当时，，
∴共有6种等情况数，其中点Q落在直线上的有1种，
∴点Q落在直线上的概率为．
【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解随机事件的概率，一次函数的性质和图像，掌握“画树状图的方法”是解本题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【解析】
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
22. 已知：如图，中，，．

（1）求作：⊙O，使得圆心落在边上，且⊙O经过、两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）求证：是⊙O的切线．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AB于点O，即可；
（2）连接OC，利用已知得出∠OCB＝90°，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）作图：如图，即为所求作的图，
；
（2）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝45°，
又∵∠B＝45°，
∴∠BOC＋∠B＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，且点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
【点睛】此题是圆综合题，考查了复杂作图，切线的判定，利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
23. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元；
（2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当售价为元时，利润达到元
（2）售价定为元时，月销售利润最大为元
【解析】
【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意得，
整理得：，
解得：，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴不合题意舍去，
答：当售价为元时，利润达到元．
【小问2详解】
设利润为W元，则
∵，即：，
又∵，
∴当时，，
答：售价定为元时，月销售利润最大为元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键．
24. 已知：如图，中，，将绕点逆时针旋转一个角度得到，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，当时，点在的延长线上，延长交于点，求的度数；
（3）如图③，当时，延长交于点，求证：点是线段的中点．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题是几何变换综合题，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．
（1）根据旋转的性质得到，，，进而得到,从而得到．
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转性质得到，，，进而得到，，根据与互为对顶角相等，在中根据三角形内角和定理，即可求出的度数．
（3）如图过点E作于点M，过点C作，交的延长线于点N，先证出，由全等三角形的性质得到，进而证明，即可证明．
【小问1详解】
证明：将绕点逆时针旋转一个角度得到，
根据旋转的性质得，，，，
，
【小问2详解】
解：在中，，，
，
由旋转性质得，，，
，，
与互为对顶角，
【小问3详解】
证明：过点E作于点M，过点C作，交的延长线于点N，
由旋转的性质可知，， ，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即点是线段的中点．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或（3，4）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【小问1详解】
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【小问3详解】
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为