福建省莆田市第十五中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市第十五中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 11C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．
【详解】解：的相反数是11．
故选：B．
2. 下列给出的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕对称中心旋转后能与原图形重合的图形叫中心对称图形；把一个图形沿着某直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称的定义和轴对称的定义进行判断．
【详解】解：A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：圆形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项符合题意；
D选项：扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积．
【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积
A选项13976不是一个1与10之间的实数
B选项1397.6不是一个1与10之间的实数
C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合
D选项0.13976不是一个1与10之间的实数．
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是理解和掌握科学记数法的相关知识．
4. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设年平均增长率x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．
5. 已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵于点D，
∴，
在中，，
即，
解得：.
∴
故选：C．
6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的性质，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
7. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C．若∠A=45°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A. 30°B. 70°C. 80°D. 110°
【答案】B
【解析】
【详解】∵∠A=45°．∠B=∠B′=110°，∴∠BCA=25°，∴∠BCA′=∠BCA+∠ACA′=25°+45°=70°．故选B．
8. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题关键．
根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可．
【详解】解：，
，
是直径，
，
．
故选：A．
9. 掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有2种，利用概率公式可得答案．
【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有：3，6，共2种，
出现3的倍数的概率为．
故选：B．
10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）

A. ②④⑤B. ③④⑤C. ②③④⑤D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系．
【详解】解：图象与轴的负半轴相交，
，
故①不正确；
当时，，
即，
，
，
，
解得，
故②不正确；
对称轴为直线，，
，即，
故③正确；
图象与轴有两个交点，
，即，
，
故④正确；
二次函数与直线有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，
故⑤正确；
综上，正确的有：③④⑤，
故选：B．
二、填空题
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
13. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【解析】
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 __．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为4．
15. 如图，在扇形中，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意得的长为
，
故答案为：
16. 如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 _______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，如图，
设与的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：8．
三、解答题
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】
∴
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
18. 已知二次函数．求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．
【答案】图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，将化为顶点式即可得解．解题的关键是掌握：二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为；当时，图象开口向上，当时，图象开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴该二次函数图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是．
19. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3) ，C(1,3) ．

（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为 ；
（3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，点的坐标为(-2，2)；（3）
【解析】
【分析】（1）由中心对称的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可；
（2）由旋转变换的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可；
（3）利用弧长公式计算可得．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求，
其中点的坐标为．
（3）∵，，
∴点所经过的路径长为．
【点睛】本题主要考查了作图中的旋转变换，根据题目的要求准确找到对应点是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中：
（1）求作△ABC内心E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，∠C=78°．求∠AEB的值．
【答案】（1）见解析 （2）129°
【解析】
【分析】（1）以C为圆心，以小于AC、BC长度为半径作圆弧，与AC、BC各相交于一点，分别以交点为圆心，以大于两交点距离一半长度为半径作两个圆弧，相交于一点，连接此交点与C作一条射线，同样的方法从B点作一条射线，两射线的交点即为三解形内心E；
（2）根据三角形内心是角平分线交点和三角形内角和为180°，通过证明∠CAB+∠CBA=，∠AEB=180°-即可求出．
【小问1详解】
如图：
【小问2详解】
【小问2详解】
连接AE，如图：
∵∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB，
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠EAB=，，
∴∠EAB+∠EBA=，
∵∠ACB=78°，
∴∠EAB+∠EBA=，
∵∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)，
∵∠AEB=180°-51°=129°．
【点睛】本题考查了三角形内心的作法和性质，熟练掌握三角形内心是角平分线的交点，会作角的平分线，利用角平分线的性质是解题的关键．
21. 如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论．
（2）过点作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：过点作的垂线，垂足为于，如图：
则四边形为矩形，
∵的半径为，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
22. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
23. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，同时商场规定销售单价不少于36元．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）销售单价应定为40元；
（2）当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
（1）设销售单价为x元，可列方程为，解方程即可解决问题．
（2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解：设销售单价为x元，根据题意列方程得，
，
解得（不合题意，舍去），，
答：销售单价应定为40元；
【小问2详解】
解：设销售单价为x元，每天的销售利润w元，
可列函数解析式为：
．
∵，，
∴函数图象开口向下，当时，w随的增大而减少，
又销售单价不低于36元，
∴当时，w有最大值，最大值为元，
答：当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】【任务1】，【任务2】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决；
任务1：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，得到点的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可；
任务2：过点作于点，得到米．由题意可知，当最大时，点的纵坐标为．令，解方程，得出，由米得到米，游船底部在，之间通行，即可求得的最大值．
【详解】解：任务1：
以D为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
，
点的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
，
．
任务2：
过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得，
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在，之间通行，
∴的最大值为（米）．
25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）求函数解析式和点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）；的最小值为
（3）面积的最大值为；此时点M的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）连接，根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）过点作轴，垂足为，交于点，设，则，根据得出，求出最大值，然后再求出点M的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵点关于对称轴对称点为点，对称轴为直线，
∴点为，
把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：把代入得，
∴，
连接，交直线于点P，连接，如图所示：

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，且最小值为的长，
设直线的解析式为：，
则：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点P的坐标为，的最小值为；
【小问3详解】
解：过点作轴，垂足为，交于点，如图所示，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积有最大值为，
此时点M的坐标为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
如何设计警戒线之间的宽度
素材1

图1为某公园抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在，之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求的最大值．