福建省莆田市荔城区中山中学上学期九年级数学期末考试（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市荔城区中山中学上学期九年级数学期末考试（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 如图，在中，，，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. “泉州市明天降水的概率是”，对此消息下列说法中正确的是（ ）
A. 泉州市明天将有的地区降水B. 泉州市明天将有的时间降水
C. 泉州市明天降水的可能性较小D. 泉州市明天肯定不降水
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率的意义．根据概率表示事件发生的可能性大小，进行判断即可．
【详解】解：“泉州市明天降水的概率是”表示泉州市明天降水的可能性较小；
故选C．
3. 若反比例函数y＝的图像经过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【详解】解： 反比例函数的图像经过点，
， 反比例函数的图像在第二、四象限，故D正确．
故选：D.
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后根据余弦等于邻边比斜边求解即可．
【详解】解：根据直角三角形的勾股定理可得，
∴．
故选A．
5. 如图，点，，均在上，连接，，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解题．
【详解】解：，，
．
故选：B．
6. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，的边与相切于点B，点C在上，边经过圆心O．已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理．根据切线的性质由AB与相切得到，则，利用得到，再根据三角形外角性质得，由于，所以．
【详解】解：连接，如图，
与相切，
，
，
，
，
与是所对的圆心角和圆周角，
．
故选：A．
8. 如图，在平行四边形中，点E在AB上，与DE交于点F，若，的面积为3，则的面积是（ ）
A. 27B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形对边平行得到，根据，得到，推出，最后根据等高的两个三角形的面积比等于底的比即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵面积为，
∴．
故选：C．
9. 如图，正十边形的外接圆半径为，则这个正十边形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，正多边形中心角公式，直角三角形特殊角的三角比等，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，根据其推论可知还平分中心角，得到，，再根据正多边形的中心角公式：设正多边形的边数为，则中心角为，求出中心角，则得到，最后根据直角三角形特殊角的三角比即可求出．
【详解】过点作于点，
则，
此多边形是正十边形．
在中，
故选：C．
10. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转一定角度得到，使刚好经过点A，且于点O，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质等知识；由旋转易得是等边三角形，由勾股定理求得，证明，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴，
故选：B．
二．填空题
11. 一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长为；
故答案为：
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．
12. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可得，且，则有，则有，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接BD，

∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
13. 如图，在中，将绕着点顺时针旋转后得到则度数为_______．
【答案】100°
【解析】
分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题考查旋转的性质，是基础题，确定出∠CAE=40°是解题关键．
14. 如图，的直径，弦，，垂足为M，则的长为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的直径，
∴，
∵弦，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：
15. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可解题．
【详解】解：设大正方形的边长为2，则GE=1，E到DC的距离d=
阴影区域的面积为：
大正方形的面积是：
小球最终停留在阴影区域上的概率是：．
故答案为：
【点睛】
本题考查几何概率，掌握相关知识熟悉概率公式是解题关键．
16. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在抛物线上，且，，若存在，，满足，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征．根据抛物线可知的对称轴为直线，开口向下；由，得，根据存在，满足，，知，，即可得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵存在，满足，
∴点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，m的取值范围是．
故选：．
三．解答题
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算乘法，后算加减即可．
【详解】解：
．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
19. 电动汽车有零排放、低噪音及用车成本低等优点．在某次环保宣传活动中，主办单位计划在A，B，C，D，E五辆电动汽车中随机选出部分车辆作为宣传车．
（1）若只选出一辆电动汽车作为宣传车，则选到电动汽车C的概率是______；
（2）若先在电动汽车A，B，C中选出一辆，再在电动汽车D，E中选出另一辆，将这两辆汽车作为宣传车，请用列表或画树状图的方法，求选到电动汽车B，D的概率．
【答案】（1）
（2）选到电动汽车B，D的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了概率的求法；
（1）直接根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可求得选到电动汽车B，D的概率．
【小问1详解】
解：在五辆电动汽车中，选到电动汽车C的概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的情况，其中选到电动汽车B，D的只有1种情况，
∴选到电动汽车B，D的概率为．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连结，．
（1）求点A和点C的坐标．
（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使，求点D的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，计算求解，进而可求A−2,0，当时，，则C0,−3．
（2）如图，设与x轴交于点E，则，，待定系数法求直线的函数表达式为．令，计算求解，进而可求点坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，，，
A−2,0，；
当时，，
C0,−3．
【小问2详解】
解：如图，设与x轴交于点E，
∵，，，
∴，
∴，即，
设直线的函数表达式为．
将C0,−3 代入得，，
解得，，
直线的函数表达式为．
令，
解得，，，
当时，，即．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合是解题的关键．
22. 已知经过A、C、D三点，点D在边上，，.
（1）求作.（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的长.
【答案】（1）作图见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，作图即可；
（2）根据三角形的内角和可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即，即可求证；
（3）过C点作于E点，根据三角形的面积公式等量代换可得，根据勾股定理可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得．
【小问1详解】
为所求作的圆．
分别以，为圆心，大于的长为半径，在上方和下方画弧，弧分别相交，连接交点的直线与的交点即为所求．
【小问2详解】
在中，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴是的切线
【小问3详解】
过C点作于E点，如图
∵
∴
∵，
∴
∴
在中，
在和中
，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，三角形的内角和，等边对等角，三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是借助三角形的面积公式进行计算，求得的值．
23. 《综合与实践》
如图1，投掷铅球时，铅球的飞行路径可以近似看作一条抛物线．抛掷铅球时，运动员出球的速度、角度、高度以及空气阻力等是影响抛掷距离的主要因素．小明在学校体育场借助红外线检测仪检测三种不同的投掷抛物线，，，已知三次抛掷铅球时，出手速度相同，出球角度分别为，，，通过投掷测试，小明希望得到最适合自己的投掷角度．

【基础应用】（1）图1中点A的坐标为______，n的值为______；
【应用与说理】（2）请判断在，，三个出球角度中，小明以哪一个角度投掷铅球的水平距离最大，并说明理由．
【拓展学习】（3）根据（2）中的判断结果，小明画出了最大时对应的抛物线，如图2．已知该抛物线交x轴于点B，是一个斜坡面，点C是抛物线上且在线段AB上方的一个动点，轴于点D，交AB于点E，CE为点C到AB的铅垂距离，求出的最大值．
【答案】（1），；（2）小明投掷铅球出球角度为时，抛掷铅球的水平距离最大；理由见解析；（3）的最大值为．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．
（1）把代入得，把代入得，，于是得到结论；
（2）分别代入解析式，求得长，比较大小即可求解；
（3）设点C的横坐标为m，得到，利用待定系数法求得直线的解析式，得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）把代入得，
把代入得，，
∴，
故答案为：，；
（2）出球角度为时，把代入，
得，
解得，（舍）．
出球角度为时，把代入，
得，
解得，（舍）．
由表可知，出球角度为时，抛物线对应长为6，
∵．
∴小明投掷铅球出球角度为时，抛掷铅球的水平距离最大；
（3）设直线的解析式为，设点C的横坐标为m，
∴，
将，代入得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
∴，
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为．
24. 如图，在△ABC中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E．

（1）如图1，求证：．
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接的延长线与的延长线相交于点P，猜想与的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接，若，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2），证明见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）利用“”即可证明；
（2）可知，证明，则，可得，则，故；
（3）翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点；过点F作交于点M，连接，设，
∴，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理求出 ，在，由，得到，，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
猜想：
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
过点F作交于点M，连接，

∵，
∴，
设，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键．
25. 如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，延长相交于点，连接．
①已知，，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；
（2）①证明，得出，代入数据求出结果即可；
②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可．
【小问1详解】
证明：是直径，，
，
．
【小问2详解】
解：①，，
∴，
，
即，
解得：，负值舍去．
②连接，
是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，平分，
，，
，
四边形是圆的内接四边形，
∴，，
∵，，
，，
由（1）可知，
，
∴，
．
出球角度
抛物线
相关数据
相关结论
铅球与出球位置的水平距离x/m
0
1
2
…
长
运动轨迹的函数解析
式
铅球与地面的竖直距离y/m
n
…
6
铅球与地面的竖直距离y/m
…
p
铅球与地面的竖直距离y/m
…
q