人教版（2024）七年级上册数学期末培优试卷1（含答案解析）

这是一份人教版（2024）七年级上册数学期末培优试卷1（含答案解析），共23页。试卷主要包含了下列各组数中，互为相反数的是，式子﹣2.4﹣，《孙子算经》中记载等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题）
1．科学实验表明，原子中的原子的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．氧原子中的原子核带8个单位的电荷可以表示为+8，其核外电子带8个单位的电荷表示为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．+8
2．下列7个数，−74，1.010010001，433，0，−2，，−3.2626626662⋯（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．+|﹣2|与﹣（﹣2）B．﹣（﹣2）与+（﹣2）
C．﹣（+2）与﹣2D．﹣|﹣2|与﹣2
5．式子﹣2.4﹣（﹣4.7）﹣（+0.5）+（﹣3.5）写成省略括号和加号的形式是（ ）
A．﹣2.4﹣4.7﹣0.5﹣3.5B．﹣2.4+4.7+0.5﹣3.5
C．﹣2.4+4.7﹣0.5﹣3.5D．﹣2.4+4.7﹣0.52﹣3.5
6．关于单项式−πxy33，下列说法正确的是（ ）
A．它的次数是5B．它的系数是−13
C．它的次数是4D．它的系数是π3
7．下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（ ）
A．2a与a2B．xy2与x2y
C．5a2b与a2bD．0.3mn2与0.3my2
8．已知关于x的方程ax2=bx+c3的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程ay4=by+2c6的解为（ ）
A．x＝2B．y＝1C．y＝2D．y＝4
9．若多项式x3﹣5x2+2x﹣3与多项式2x3+ax2﹣4x+1的和不含二次项，则a等于（ ）
A．15B．−15C．5D．﹣5
10．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为（ ）
A．4.8×104粟B．4.8×105粟C．8×104粟D．8×105粟
11．设A=48×(132−4+142−4+⋯+11002−4)，利用等式1n2−4=14(1n−2−1n+2)（n≥3），则与A最接近的正整数是（ ）
A．18B．20C．24D．25
12．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共8小题）
13．某地一天的最高气温为7℃，最低气温为﹣2℃，则当天的温差为 ℃．
14．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝3，则a+bm−m2−2cd的值为 ．
15．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a2021+2022b+c2023的值为 ．
16．若 5xay3为﹣3x2yb是同类项，则关于x的一元一次方程ax+4＝b的解为 ．
17．计算：90°﹣46°30'＝ ．
18．化简：3﹣[3a﹣2（a﹣1）]得 ．
19．一件商品，按20%的利润定价，然后打九折出售，结果还赚40元，这件商品的售价是 元．
20．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯1(a+2011)(b+2011)= ．
三．解答题（共6小题）
21．计算．
−12016+|45−1|÷[−32+(−2)2]−91213×13．
22．先化简，再求值：
已知：(m+3)2+|n−12|=0，求6m2n﹣[m2﹣2（mn2﹣3m2n）+4mn2]的值．
23．如果方程ax+1＝b的解为x＝a+b，则称该方程为“和谐方程”．
例如：a＝2，b＝﹣5时2x+1＝﹣5的解是x＝﹣3，且﹣3＝2+（﹣5）成立，所以2x+1＝﹣5是“和谐方程”．
（1）判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①3x+1＝﹣5 ；
②x+2＝3 ；
③﹣2x＝3 ；
（2）若关于x的方程1n−1x+1=2（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求n2+1(n−1)2−2n的值；
（3）若关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是“和谐方程”，且关于x的方程kx−m+1=−2mm+1x有整数解，求整数m的值．
24．综合与实践
特例感知：
（1）如图，已知线段AB＝14cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．若AC＝4cm，则线段DE＝ cm；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
拓展探究：
（3）已知∠COD在∠AOB内部的位置如图②所示，∠AOB＝α°（α＜180），∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，请直接写出∠MON＝ °．（用含α的式子表示）
综合提升：
（4）如图③所示，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，射线OE、OF分别在∠AOC和∠BOD的内部．且∠EOC=13∠AOC，∠DOF=13∠BOD，请直接写出∠EOF＝ °．
25．在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是A网约车的收费标准（打车费＝起步费+里程费+远途费+时长费）．
若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题：
（1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元；
（2）若打车费为28.5元，可乘坐的里程数是多少公里？
（3）小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用5.8元购买了3张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为28公里，用了一张打车折扣券，包括买券费5.8元在内一共花费了52元，请问本次用的折扣券是几折券？
26．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．
（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；
（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB的值．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分


A网约车
起步费
6元
里程费
1.2元/公里
远途费
超过10公里后，超出部分加收1元/公里
时长费
0.2元/分钟
参考答案与试题解析（请仔细校对后使用，答案仅供参考）
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．科学实验表明，原子中的原子的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．氧原子中的原子核带8个单位的电荷可以表示为+8，其核外电子带8个单位的电荷表示为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣8D．+8
【分析】在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据题意可知，核外电子带8个单位的电荷可以表示为﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键．
2．下列7个数，−74，1.010010001，433，0，−2，，−3.2626626662⋯（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数．
【解答】解：在−74，1.010010001，433，0，﹣2，，﹣（每两个2之间依次多一个6）中，
其中有理数有：−74，1.010010001，433，0，﹣2，，共6个，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的概念，解题的关键是熟练掌握有理数的定义．
3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【分析】根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可．
【解答】解：圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，
∴（2025﹣2）÷4＝505⋯3，
∴落在数轴上2025的点是B，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键．
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．+|﹣2|与﹣（﹣2）B．﹣（﹣2）与+（﹣2）
C．﹣（+2）与﹣2D．﹣|﹣2|与﹣2
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，根据相反数的定义，绝对值的定义逐项分析即可，掌握相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键．
【解答】解：A．+|﹣2|＝2，﹣（﹣2）＝2，+|﹣2|与﹣（﹣2）相等，因此选项A不符合题意；
B．﹣（﹣2）＝2，+（﹣2）＝﹣2，由于2与﹣2互为相反数，因此选项B符合题意；
C．﹣（+2）＝﹣2 与﹣2不是互为相反数，因此选项C不符合题意；
D．﹣|﹣2|＝﹣2 与﹣2不是互为相反数，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查绝对值、相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的关键．
5．式子﹣2.4﹣（﹣4.7）﹣（+0.5）+（﹣3.5）写成省略括号和加号的形式是（ ）
A．﹣2.4﹣4.7﹣0.5﹣3.5B．﹣2.4+4.7+0.5﹣3.5
C．﹣2.4+4.7﹣0.5﹣3.5D．﹣2.4+4.7﹣0.52﹣3.5
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：式子﹣2.4﹣（﹣4.7）﹣（+0.5）+（﹣3.5）写成省略括号和加号的形式是﹣2.4+4.7﹣0.5﹣3.5．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．关于单项式−πxy33，下列说法正确的是（ ）
A．它的次数是5B．它的系数是−13
C．它的次数是4D．它的系数是π3
【分析】系数是数字部分（包括常数π），次数是所有变量指数之和．
【解答】解：∵单项式−πxy33 可表示为：−π3⋅x1⋅y3，
∴系数为：−π3，次数为：1+3＝4，
选项A次数错误，不符合题意；
选项B系数漏掉π，不符合题意；
选项C说法正确，符合题意；
选项D系数漏掉负号，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式，掌握单项式的定义是关键．
7．下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（ ）
A．2a与a2B．xy2与x2y
C．5a2b与a2bD．0.3mn2与0.3my2
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A、相同字母的指数不同不是同类项，故A错误；
B、相同字母的指数不同不是同类项，故B错误；
C、所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，故C正确；
D、字母不同不是同类项，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
8．已知关于x的方程ax2=bx+c3的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程ay4=by+2c6的解为（ ）
A．x＝2B．y＝1C．y＝2D．y＝4
【分析】根据题意可得：把x＝2代入方程ax2=bx+c3中得：2a2=2b+c3，从而可得3a﹣2b＝c，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把x＝2代入方程ax2=bx+c3中得：2a2=2b+c3，
即a=2b+c3，
∴3a＝2b+c，
∴3a﹣2b＝c，
∵ay4=by+2c6，
∴3ay＝2（by+2c），
∴3ay＝2by+4c，
∴3ay﹣2by＝4c，
∴（3a﹣2b）y＝4c，
∴cy＝4c，
∴y＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．若多项式x3﹣5x2+2x﹣3与多项式2x3+ax2﹣4x+1的和不含二次项，则a等于（ ）
A．15B．−15C．5D．﹣5
【分析】计算两个多项式的和，合并同类项后，令二次项的系数为0，解方程求a．
【解答】解：若多项式x3﹣5x2+2x﹣3与多项式2x3+ax2﹣4x+1的和不含二次项，
∵两多项式之和为：（x3﹣5x2+2x﹣3）+（2x3+ax2﹣4x+1）＝3x3+（a﹣5）x2﹣2x﹣2，
且和不含二次项，
∴二次项系数a﹣5＝0，
解得：a＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了整式加减中的无关型问题，整式的加减运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
10．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为（ ）
A．4.8×104粟B．4.8×105粟C．8×104粟D．8×105粟
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则8合为：
8×6×10×10×10×10＝4.8×105．
故选：B．
【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
11．设A=48×(132−4+142−4+⋯+11002−4)，利用等式1n2−4=14(1n−2−1n+2)（n≥3），则与A最接近的正整数是（ ）
A．18B．20C．24D．25
【分析】利用等式1n2−4=14(1n−2−1n+2)（n≥3），代入原式得出数据的规律性，从而求出．
【解答】解：利用等式1n2−4=14(1n−2−1n+2)（n≥3），代入原式得：
A=48×(132−4+142−4+⋯+11002−4)
＝48×14（13−2−13+2+14−2−14+2+⋯+1100−2−1100+2）
＝12×（1−15+12−16+13−17+⋯+198−1102）
＝12×[（1+12+13+14+⋯+198）﹣（15+16+⋯+1102）]
＝12×（1+12+13+14−199−1100−1101−1102）
而12×（1+12+13+14−199−1100−1101−1102）≈25
故选：D．
【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强．
12．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣m≥0，a+m≤0，
∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0
∴m2﹣9＝0，m2＝9，
m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，
m≠3，
∴m＝﹣3，
|a|≤|﹣3|＝3，
∴﹣3≤a≤3，
∴m≤a≤﹣m，
∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，
a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，
∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1．根据一元一次方程的定义求m的值．去绝对值时注意a+m、a﹣m与0的关系．
二．填空题（共8小题）
13．某地一天的最高气温为7℃，最低气温为﹣2℃，则当天的温差为 9 ℃．
【分析】利用最高温度减去最低温度即可．
【解答】解：当天的温差为：7﹣（﹣2）＝7+2＝9（℃）．
故答案为：9．
【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，掌握有理数的减法的运算法则是关键．
14．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝3，则a+bm−m2−2cd的值为 ﹣11 ．
【分析】利用相反数，倒数，绝对值的性质求出a+b＝0，cd＝1，m＝±3的值，再代入a+bm−m2−2cd中计算，即可解题．
【解答】解：因为a、b互为相反数，
所以a+b＝0，
因为c、d互为倒数，
所以cd＝1，
又因为|m|＝3，
所以m＝±3，
当m＝3时，a+bm−m2−2cd=0−32−2=0−9−2=−11；
当m＝﹣3时，a+bm−m2−2cd=0−(−3)2−2=0−9−2=−11，
所以a+bm−m2−2cd的值为﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了相反数，倒数，绝对值，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键．
15．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a2021+2022b+c2023的值为 0 ．
【分析】根据a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，可以得到a＝﹣1，b＝0，c＝1，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，
∴a＝﹣1，b＝0，c＝1，
∴a2021+2022b+c2023
＝（﹣1）2021+2022×0+12023
＝（﹣1）+0+1
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．若 5xay3为﹣3x2yb是同类项，则关于x的一元一次方程ax+4＝b的解为 x=12 ．
【分析】利用同类项的定义求得a，b的值，再将a，b定值代入方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵5xay3为﹣3x2yb是同类项，
∴a＝2，b＝3．
∴关于x的一元一次方程ax+4＝b就是2x+4＝3．
∴2x＝﹣1，
∴x=−12．
故答案为：x=−12．
【点评】本题主要考查了同类项的定义，一元一次方程的解法，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
17．计算：90°﹣46°30'＝ 43°30′ ．
【分析】根据度分秒的换算，先把90°转化为89°60′，再根据角的运算法则计算即可．
【解答】解：90°﹣46°30′
＝89°60′﹣46°30′
＝43°30′．
故答案为：43°30′．
【点评】本题考查了角的计算，度分秒的换算，掌握角的运算，度分秒的换算是解题的关键．
18．化简：3﹣[3a﹣2（a﹣1）]得 1﹣a ．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后得出结果即可．
【解答】解：原式＝3﹣[3a﹣2a+2]
＝3﹣3a+2a﹣2
＝1﹣a，
故答案为1﹣a．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的关键．
19．一件商品，按20%的利润定价，然后打九折出售，结果还赚40元，这件商品的售价是 540 元．
【分析】设这件商品的进价是x元，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设这件商品的进价是x元，则定价[（1+20%）x]元，售价是[0.9×（1+20%）x]元，
∵结果还赚40元，
∴根据题意列一元一次方程得，0.9×（1+20%）x＝40+x，
解得x＝500
0.9×（1+20%）x＝540（元），
所以这件商品的售价为540元，
故答案为：540．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
20．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯1(a+2011)(b+2011)= 20122013 ．
【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值．
【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
∴a＝1，b＝2，
则原式=11×2+12×3+13×4+⋯+12012×2013=1−12+12−13+⋯+12012−12013=1−12013=20122013．
故答案为：20122013
【点评】此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练运用拆项方法是解本题的关键．
三．解答题（共6小题）
21．计算．
（1）﹣3+（﹣9）+10﹣（﹣18）；
（2）(−48)÷74÷(−12)×74；
（3）12−(14−12+13)×24；
（4）−12016+|45−1|÷[−32+(−2)2]−91213×13．
【分析】（1）先化简符号，再算加减法；
（2）将除法转化为乘法，再约分计算；
（3）利用乘法分配律展开，再算乘法，最后计算加减法；
（4）先算乘方，再算绝对值和括号内的，同时利用乘法分配律变形，最后得出结果．
【解答】解：（1）﹣3+（﹣9）+10﹣（﹣18）
＝﹣3﹣9+10+18
＝16；
（2）(−48)÷74÷(−12)×74
=48×47×112×74
＝4；
（3）12−(14−12+13)×24
=12−(14×24−12×24+13×24)
＝12﹣（6﹣12+8）
＝12﹣2
＝10；
（4）−12016+|45−1|÷[−32+(−2)2]−91213×13
=−1+15÷(−9+4)−(10−113)×13
=−1−15×15−(10×13−113×13)
=−1−125−(130−1)
=−130125．
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序与计算结果的符号，根据数字特点灵活选择合适的运算定律进行简算．
22．先化简，再求值：
（1）已知：a2﹣2a﹣1＝0，求（4a2+a﹣5）﹣3（a+a2）的值．
（2）已知：(m+3)2+|n−12|=0，求6m2n﹣[m2﹣2（mn2﹣3m2n）+4mn2]的值．
【分析】（1）化简原代数式，把a2﹣2a＝1作为整体代入，即可得到结果；
（2）根据题意，易得m＝﹣3，n=12，代入到化简后的式子中，得到结果．
【解答】解：（1）（4a2+a﹣5）﹣3（a+a2）
＝4a2+a﹣5﹣3a﹣3a2
＝a2﹣2a﹣5，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝1﹣5＝﹣4；
（2）∵(m+3)2+|n−12|=0，
∴m+3＝0，n−12=0，
∴m＝﹣3，n=12，
∴6m2n﹣[m2﹣2（mn2﹣3m2n）+4mn2]
＝6m2n﹣[m2﹣2mn2+6m2n+4mn2]
＝6m2n﹣m2+2mn2﹣6m2n﹣4mn2
＝﹣m2﹣2mn2
＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）×（12）2
＝﹣9+32
＝﹣712．
【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
23．如果方程ax+1＝b的解为x＝a+b，则称该方程为“和谐方程”．
例如：a＝2，b＝﹣5时2x+1＝﹣5的解是x＝﹣3，且﹣3＝2+（﹣5）成立，所以2x+1＝﹣5是“和谐方程”．
（1）判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①3x+1＝﹣5 √ ；
②x+2＝3 × ；
③﹣2x＝3 × ；
（2）若关于x的方程1n−1x+1=2（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求n2+1(n−1)2−2n的值；
（3）若关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是“和谐方程”，且关于x的方程kx−m+1=−2mm+1x有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，分别判断即可；
（2）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，计算即可；
（3）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，整数解，计算即可．
【解答】解：（1）①3x+1＝﹣5，解得x＝﹣2，
∵﹣2＝3+（﹣5），
∴①是“和谐方程”；
②x+2＝3变形为x+1＝2，
解得x＝1，
∵1≠1+2，
∴x+2＝3不是“和谐方程”；
③﹣2x＝3变形为﹣2x+1＝4，
解得x=−32，
∵−32≠−2+4，
∴﹣2x＝3不是“和谐方程”．
故答案为：①√；②×；③×；
（2）方程1n−1x+1=2（n≠1且n为实数），
解得x＝n﹣1，
∵方程是“和谐方程”，
∴n−1=1n−1+2，
整理得（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣1＝0，
解得n−1=1+2，或n−1=1−2，
∵n2+1(n−1)2−2n=n2−2n+1+1(n−1)2−1=(n−1)2+1(n−1)2−1，
∴当n−1=1+2时，
原式=(1+2)2+1(1+2)2−1=5：
当n−1=1−2时，
原式=(1−2)2+1(1−2)2−1=5；
综上，n2+1(n−1)2−2n的值为5；
（3）解关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1），
得x=k−1m−k，
∴变形为（m﹣k）x+1＝k，
∴k−1m−k=m−k+k=m，
∴k=m2+1m+1，
解关于x的方程kx−m+1=−2mm+1x，
得x=(m+1)(m−1)k(m+1)+2m，
∴x=(m+1)(m−1)k(m+1)+2m=(m+1)(m−1)m2+1+2m=(m+1)(m−1)(m+1)2=m−1m+1=m+1−2m+1=1−2m+1是整数，
∴m+1是2的因数，
∴m+1＝±1或±2，
∴m＝﹣3或﹣2或0或1，
∵k≠1，
∴m2+1m+1≠1，
∴m2+1≠m+1，
∴m≠0，且m≠1，
∴m≠0，且m≠±1，
∴m＝﹣3或m＝﹣2．
【点评】本题考查了新定义——“和谐方程”．熟练掌握新定义，解一元一次方程和分式方程，方程的解，整数解，分类讨论，是解题的关键．
24．综合与实践
特例感知：
（1）如图，已知线段AB＝14cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．若AC＝4cm，则线段DE＝ 7 cm；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
拓展探究：
（3）已知∠COD在∠AOB内部的位置如图②所示，∠AOB＝α°（α＜180），∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，请直接写出∠MON＝ （23α+10） °．（用含α的式子表示）
综合提升：
（4）如图③所示，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，射线OE、OF分别在∠AOC和∠BOD的内部．且∠EOC=13∠AOC，∠DOF=13∠BOD，请直接写出∠EOF＝ 80 °．
【分析】（1）先求出BC得长度，再根据中点的定义分别求出DC和CE的长度即可解决问题；
（2）根据角平分线的定义进行计算即可；
（3）利用整体思想进行计算即可；
（4）令∠BOC的度数为m°，据此分别表示出EOC及∠COF的度数，再相加即可．
【解答】解：（1）因为AB＝14cm，AC＝4cm，
所以BC＝10cm．
因为点D，E分别是AC和BC的中点，
所以CD=12AC=2cm，CE=12BC=5cm，
所以DE＝CD+CE＝2+5＝7（cm）．
故答案为：7；
（2）因为射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，
所以∠CON=12∠BOC，∠COM=12∠AOC，
所以∠MON＝∠CON+∠COM=12（∠BOC+∠AOC）=12∠AOB．
因为∠AOB＝120°，
所以∠MON=12×120°＝60°；
（3）因为∠AOB＝α（α＜180°），∠COD＝30°，
所以∠BOC+∠AOD＝α﹣30°．
因为∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，
所以∠CON=23∠BOC，∠DOM=23∠AOD，
所以∠CON+∠DOM=23（α﹣30°）=23α﹣20°，
所以∠MON＝∠CON+∠DOM+∠COD=23α+10°；
故答案为：（23α+10）；
（4）令∠BOC＝n°，
则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，
因为∠EOC=13∠AOC，∠DOF=13∠BOD，
所以∠EOC＝40°+13n°，∠DOF＝20°+13n°，
所以∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝60°﹣（20°+13n°）＝40°−13n°，
所以∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°+13n°+40°−13n°=80°．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了线段的和差、列代数式及角的计算，熟知角平分线、线段中点的定义及巧用整体思想是解题的关键．
25．在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是A网约车的收费标准（打车费＝起步费+里程费+远途费+时长费）．
若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题：
（1）若乘车里程数为10公里，则时长费是 3 元，打车费是 21 元；
（2）若打车费为28.5元，可乘坐的里程数是多少公里？
（3）小龙同学周末去郊外写生，发现A网约车有买券优惠活动，就用5.8元购买了3张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为28公里，用了一张打车折扣券，包括买券费5.8元在内一共花费了52元，请问本次用的折扣券是几折券？
【分析】（1）时长费＝乘车里程数÷A网约车的平均车速40公里/时×60×0.2元/分钟，打车费＝起步费+里程费+远途费+时长费，代入计算即可；
（2）∵28.5元＞21元，∴乘车里程数大于10公里，列一元一次方程求解即可；
（3）计算出原打车费，实际花费的车费，用实际花费的车费÷原打车费即可求出是几折券．
【解答】解：（1）时长费＝10÷40×60×0.2＝3元，
∵乘车里程数为10公里，
∴没有远途费，
∴打车费＝6+1.2×10+3＝21元，
故答案为：3，21．
（2）由（1）可知，乘车里程数为10公里，打车费为21元，
∵28.5元＞21元，
∴乘车里程数大于10公里，
故设可乘坐的里程数是x公里（x＞10），
6+1.2x+（x﹣10）×1+x÷40×60×0.2＝28.5，
解得：x＝13，
答：可乘坐的里程数是13公里．
（3）原打车费＝6+28×1.2+（28﹣10）×1+28÷40×60×0.2＝66（元），
实际花费的车费＝52﹣5.8＝46.2（元），
46.2÷66＝0.7，
答：本次用的折扣券是7折券．
【点评】本题考查了实际问题的解决和一元一次方程的应用，解题的关键是正确解方程和有关折扣的运算．
26．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．
（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；
（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB的值．
【分析】（1）先求出OC＝1×2＝2（cm），BD＝3×2＝6（cm），根据OA＝20﹣OB，求出AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，最后求出结果即可；
（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，求出OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，根据OD＝3AC，得出OB﹣3t＝3（OA﹣t），求出OB＝3OA，再根据OA+OB＝20cm求出结果即可；
（3）当点P在O、B之间时，根据OA＝5cm，得出MO＝5cm，BO＝15cm，求出BM＝20cm，根据求出OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，根据OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，得出5+OP﹣BP＝15﹣BP，求出OP＝10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP＝MB，进而可得结果．
【解答】解：（1）当运动时间为2s时，如图1，
OC＝1×2＝2（cm），
BD＝3×2＝6（cm），
∵OA+OB＝20cm，
∴OA＝20﹣OB，
∴AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，
∵OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，
∴AC+OD＝18﹣OB+OB﹣6＝12（cm）；
（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，
∴OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，
∵OD＝3AC，
∴OB﹣3t＝3（OA﹣t），
∴OB＝3OA
∵OA+OB＝20cm，
∴OA+3OA＝20cm，
∴OA＝5cm．
（3）∵OA＝5cm，
∴MO＝5cm，BO＝15cm，BM＝20cm，
∵MP﹣BP＝OP，
∴点P在点O右边，
当点P在O、B之间时，如图2，
∴OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，
∵OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，
∴5+OP﹣BP＝15﹣BP，
∴OP＝10cm，
∴OPMB=1020=12．
当点P在点B右边时，
∵MP﹣BP＝OP，MP﹣BP＝MB，
∴OP＝MB，
∴OPMB=1；
综上，OPMB=1或12．
【点评】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
B
C
C
C
D
C
B
D
C
A网约车
起步费
6元
里程费
1.2元/公里
远途费
超过10公里后，超出部分加收1元/公里
时长费
0.2元/分钟