初中数学沪科版（2024）九年级上册解直角三角形及其应用巩固练习

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册解直角三角形及其应用巩固练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sin∠BAC的值为( )
A. 34 B. 35 C. 45 D. 53
2.如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯.其与水平面所成的夹角为α，则该电梯的竖直高度AC为( )
A. 50.3sinαB. 50.3csαC. 50.3sinαD. 50.3tanα
3.一个立方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直.若斜面的坡角∠1=30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为( )
A. 210° B. 150°
C. 130° D. 120°
4.如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里.则乙船航行的方向是( )
A. 南偏西40°方向 B. 西偏南50°方向
C. 西偏南40°方向 D. 西南方向
5.如图，通信公司在斜坡AB上建5G基站塔BC，在A处测得塔顶C的仰角为45°，在D处测得塔顶C的仰角为60°，则∠ACD的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
6.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH=α，则支撑柱OH的长可表示为( )
A. 120⋅sinαcmB. 120⋅tanαcmC. 120sinαcmD. 120csαcm
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线.若AC=3，CD=2，则sinB的值为( )
A. 34 B. 25 C. 35 D. 45
8.如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰△ABC，AB=AC，其中斜坡AB与水平地面BC所成夹角∠ABC=25°，当BC=4米时，土堆顶端A到地面的距离AD为( )
A. 4tan25°米B. 2tan25∘米C. 2tan25°米D. 2sin25°米
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？______.(填是或否)(可能用到的参考数值：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51)
10.一人乘雪橇沿坡比1： 3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间(s)之间的关系为s=8t+2t2若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为______．
11.在锐角▵ABC中，AB=BC=10，若csB=35，则tanA= ．
12.若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度AC为9米，则此斜坡的坡度为______．
13.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB、AC的长都为2m，当α=65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m.(结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14)
14.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=35°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为______．
15.如图，已知传送带与水平面所成角度是30°，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为______米.
16.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时A，B两处相距______海里.(结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行16nmile，“神鹰”号每小时航行12nmile，它们离开港口三个半小时后分别位于点A，B处，且相距70nmile．
(1)试判断△APB的形状；
(2)如果知道“神鹰”号沿北偏西50°方向航行，你知道“远洋”号沿哪个方向航行吗？
18.(本小题8分)
图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩(15m≤AC≤26m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为3m.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73)
(1)当起重臂AC=20m，张角∠CAE=127°时，求云梯消防车最高点C距离地面BD的高度CF.(结果精确到1m)
(2)市消防大队到某小区开展消防演习，模拟该小区某户居民家突发火灾险情，若该户居民家距离地面的高度为25m，则消防车能否对该户居民家进行有效救援？说明理由．
19.(本小题8分)
如图为一名滑板运动员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的膝盖以下部分FD与斜坡AC垂直，大腿FG与斜坡AC平行，H为头部.假设三点D，F，H三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离DH为1.04米，上身HG与大腿夹角∠HGF=53°，膝盖F与滑雪板后端E的距离EF长为0.8米，若∠FED=30°，则此运动员的身高约为多少米？(结果精确到0.01米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33)
20.(本小题8分)
如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资.甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行.乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为25公里/小时.若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度.(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
21.(本小题10分)
如图，BC/​/AD，斜坡AB的长为10米，坡度i=1： 3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．
(1)斜坡AB的坡角α=______；
(2)求旗杆顶端离地面的高度ED的长.(结果精确到整数位，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.342，tan70°≈2.748)
22.(本小题10分)
为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．
(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 5≈2.24， 7≈2.65)
(1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，CD=3，
由勾股定理得AC= 32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=35；
故选：B．
在直角三角形ACD中，根据正弦的意义可求解．
本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=α，AB=50.3m，
∴AC=AB⋅sinB=50.3×sinα=50.3sinα(米)，
答；该电梯的竖直高度AC为50.3sinα米，
故选：A．
根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，∵重力G的方向竖直向下，∠1=30°，
∴∠3=60°，
∴∠4=∠3=60°，
∵摩擦力F1的方向与斜面平行，
∴∠5=180°−∠4=120°，
∵支持力F2的方向与斜面垂直，
∴∠2=360°−∠5−90°=150°，
故选：B．
根据题意，结合图形，由重力向下垂直，得到∠3的度数，利用对顶角相等得到∠4的度数，结合摩擦力F1与斜面平行，得到∠5，利用周角概念，得到结果．
本题考查了角的计算，正确理解题意，熟练进行角的计算是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：连接AB，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，
由题意得：AO=16×1=16(海里)，BO=1×12=12(海里)，AB=20(海里)，∠AOM=50°，
∵202=162+122，即AB2=OA2+BO2，
∴∠AOB=90°，
∴∠BON=180°−90°−50°=40°，
∴乙船航行的方向是南偏西40°方向，
故选：A．
连接AB，根据题意可得：AO=16(海里)，BO=12(海里)，AB=20(海里)，∠AOM=50°，然后利用勾股定理逆定理得AB2=OA2+BO2，从而得∠AOB=90°，再利用平角的定义计算∠BON，最后根据方向角的概念可得答案．
本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确进行计算是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：延长CD交AG于点F，
由题意得：DE/​/AG，
∴∠CDE=∠CFG=60°，
∵∠CFG是△ACF的一个外角，
∴∠ACD=∠CFG−∠CAF=60°−45°=15°，
故选：B．
延长CD交AG于点F，根据题意可得：DE/​/AG，从而可得∠CDE=∠CFG=60°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵O为AB的中点，AB=240cm，
∴OA=12AB=120(cm)，
在Rt△AOH中，∠BAH=α，
∴OH=OA⋅sinα=120⋅sinα(cm)，
故选：A．
根据线段中点的定义可得OA=12AB=120cm，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AD为BC边上的中线，CD=2，
∴BC=2CD=4，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∴sinB=ACAB=35，
故选：C．
先利用三角形的中线定义可得BC=4，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=2米，
在Rt△ADB中，∠ABC=25°，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD=BD⋅tan∠ABC=2tan25°(米)，
故选：C．
根据等腰三角形的性质求出BD，再根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】否
【解析】解：根据天花板与地面平行，可知∠CAB=27°，CB=AC⋅tan∠CAB=4×0.51=2.04(米)，
因为2.04>1.78，
所以小敏不会有碰头危险．
故答案为：否．
求出BC长，比较大小即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．
10.【答案】32m
【解析】解：设斜坡的坡度角为α，则tanα=1 3= 33，
∴α=30°，
在s=8t+2t2中，当t=4时，s=4×8+2×42=64，
∴此时下降的高度为64⋅sinα=32m，
故答案为：32m．
先设出坡度角，再解直角三角形求出坡度角，接着求出沿斜坡滑行的距离即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握其性质是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】该题考查了解直角三角形和勾股定理，过点作AD⊥BC，则csB=BDAD=BD10=35，得出BD=6，勾股定理求出AD=8，CD=4，得出tan∠C=ADDC=84=2，结合∠BAC=∠C，即可求出tan∠BAC=tan∠C=2．
【详解】解：如图，过点作AD⊥BC，
则csB=BDAD=BD10=35，
解得：BD=6，
∴AD= AB2−BD2= 102−62=8，CD=BC−BD=10−6=4，
∴tan∠C=ADDC=84=2，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∴tan∠BAC=tan∠C=2，
故答案为：2．
12.【答案】1：43
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15米，AC=9米，
由勾股定理得：BC= 152−92=12(米)，
则斜坡AB的坡度为：AC：BC=9：12=1：43，
故答案为：1：43．
根据勾股定理求出BC，再根据坡度的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，反映了斜坡的陡峭程度，常写成i=1：m的形式．
13.【答案】1.8
【解析】【分析】
过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【解答】
解：过点A作AD⊥BC，
∵AB=AC=2m，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=AC·sin65°=2×0.91≈1.8(m)，
∴人字梯顶端离地面的高度1.8m．
故答案为：1.8．
14.【答案】125°
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α=35°，
则∠DBC=90°+35°=125°，
∵OE/​/AD，
∴β=∠DBC=125°，
故答案为：125°．
根据三角形的外角性质求出∠DBC，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：已知传送带与水平面所成角度是30°，把物体送到离地面5米高的地方，如图，
∴∠AEB=90°，∠ABE=30°，AE=5米，
∴AB=2AE=2×5=10(米)，
故答案为：10．
根据30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，熟练掌握30°角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16.【答案】112
【解析】解：如图，∠NPA=37°，AP=80海里，
∴∠PAC=∠NPA=37°，
∴在Rt△APC中，AC=AP⋅csA≈80×0.80=64(海里)，
PC=AP⋅sinA≈80×0.60=48(海里)，
∵∠SPB=45°，
∴∠CPB=∠CBP=45°，
∴BC=PC=48海里，
∴AB=AC+BC=64+48=112(海里)，
故答案为：112．
根据题意，结合图形，在Rt△APC中求出AC，PC，再利用△BPC是等腰直角三角形，从而得到BC长，即可得到结果．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
17.【答案】直角三角形；
北偏东40°方向．
【解析】(1)根据题意，PA=16×3.5=56nmile，PB=12×3.5=42nmile，AB=70nmile，
∵PA2+PB2=562+422=4900=AB2，
∴△APB为直角三角形；
(2)∵“神鹰”号沿北偏西50°方向航行，
∴∠NPB=50°，
由(1)知∠APB=90°，
∴∠NPA=40°，
“远洋”号沿北偏东40°方向航行．
(1)根据路程=速度×时间，计算得出PA、PB的长，再由勾股定理逆定理计算即可得解；
(2)由题意可得∠NPB=50°，由(1)知∠APB=90°，求出∠NPA=40°，即可得解．
本题考查了勾股定理逆定理，方向角的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
18.【答案】15m
消防车能对该户居民家进行有效救援．
当∠CAE=150°，AC=26m时，云梯消防车能达到最高高度，
由 同理可得，∠EAG=90°，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=150°−90°=60°，
在Rt△AGC中，∵sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=26×sin60°=26× 32=13 3m，
∴CF=CG+GF=13 3+3≈25.49m，
∵25.49>25，
∴消防车能对该户居民家进行有效救援．
【解析】(1)过点A作AG⊥CF于点G，则AE=FG=3m，∠EAG=∠AGC=90°，∠CAE=127°，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=37°，
∵AC=20m，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=20×sin37°≈12m，
∴CF=CG+GF=15m，
即云梯消防车最高点C距离地面的高度CF约为15m；
(2)消防车能对该户居民家进行有效救援．
当∠CAE=150°，AC=26m时，云梯消防车能达到最高高度，
由(1)同理可得，∠EAG=90°，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=60°，
∵sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=26×sin60°=26× 32=13 3m，
∴CF=CG+GF=13 3+3≈25.49m，
∵25.49>25，
∴消防车能对该户居民家进行有效救援．
(1)过点A作AG⊥CF于点G，在Rt△AGC中，根据正弦的计算方法即可求出CG的长，由此即可求解；
(2)当∠CAE=150°，AC=26m时，能达到最高高度，可求出∠CAG的度数，在Rt△AGC中，根据正弦的计算方法即可求出CG的长，由此即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
19.【答案】约为1.68m．
【解析】解：在Rt△FDE中，∠FED=30°，EF=0.8m，
则DF=12EF=12×0.8=0.4(m)，
∵DH=1.04m，
∴HF=DH−DF=1.04−0.4=0.64(m)，
在Rt△HFG中，∠HGF=53°，
∵sin∠HGF=HFHG,tan∠HGF=HFFG，
∴HG=HFsin53∘≈(m)，FG=HFtan53∘≈≈0.48(m)，
∴HG+FG+DF=0.8+0.48+0.4=1.68(m)，
答：此运动员的身高约为1.68m．
先根据含30°角的直角三角形性质求得DF，再利用HF=DH−DF求出HF，根据sin∠HGF=HFHG,tan∠HGF=HFFG分别求出HG和FG，即可得到答案．
此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】甲船的平均速度约为35公里/小时．
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AM，垂足为D，
由题意，得∠CAD=75°−45°=30°，∠CBD=75°−30°=45°，
设CD=a公里，
在Rt△CDB中，BC=CDsin∠CBD= 2a公里，
在Rt△ADC中，AC=CDsin∠CAD=2a公里，
∵两船同时到达C处海岛，
∴ACv甲=BCv乙，
∴v甲=2av 2a= 2v乙≈35公里/小时，
答：甲船的平均速度约为35公里/小时．
过点C作CD⊥AM，垂足为D，构造直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设CD=a公里，解直角三角形求出AC，BC，再根据时间相等即可求出甲船的速度．
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】30°；
16米．
【解析】(1)∵坡度i=1： 3，即tanα=i=1 3= 33，
∴∠α=30°，
故答案为：30°；
(2)作BF⊥AD，垂足为F，
在Rt△ABF中，∠α=30°，斜坡AB的长为10米，
∴BF=12AB=5米，
在矩形BFDC中 BF=CD=5米，
在Rt△BCE中，tan70°=CEBC，
∴CE=BC⋅tan70°=10.99米，
∴ED=EC+CD=15.99≈16(米)，
答：ED的长是16米．
(1)过点B作BF⊥AD于点F，由i=tanα= 33，可得∠BAF=30°；
(2)由∠BAF=30°、AB=10知CD=BF=12AB=5米，再由EC=BCtan∠EBC可得答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念和坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED=∠BFC=90°，
由题意得，∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，AE=AD⋅cs∠DAE=20⋅cs30°=10 3(千米)，
DE=AD⋅sin∠DAE=20⋅sin30°=10(千米)，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB/​/CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF=AB=10千米，BF=AE=10 3米，
∴DF=DE+EF=20千米，
∴BD= DF2+BF2= 202+(10 3)2=10 7≈26.5(千米)，
答：BD的长度约为26.5千米；
(2)如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN=20千米，过点M作MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF=90°−30°=60°，
在Rt△FBC中，BC=BFsin∠BCF=10 3sin60°=20(千米)，
CF=BFtan∠BCF=10 3tan60°=10(千米)，
∴CD=DF+CF=30千米，
设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=(20−x)千米，
在Rt△CMT中，CT=CM⋅cs∠MCT=(20−x)⋅cs60°=(10−12x)(千米)，
MT=CM⋅sin∠MCT=(20−x)⋅sin60°=(10 3− 32x)(千米)，
∴TN=CD−DN−CT=30−2x−(10−12x)=(20−32x)(千米)，
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2=MT2+NT2，
∴202=(10 3− 32x)2+(20−32x)2，
∴x=15−5 5或x=15+5 5(此时大于BC的长，舍去)，
∴BM=15−5 5≈3.8(千米)，
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【解析】(1)过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE=30°，解Rt△ADE得到AE=10 3千米，DE=10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF=AB=10千米，BF=AE=10 3千米，得到DF=DE+EF=20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长；
(2)当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN=20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF=90°−30°=60°，解Rt△FBC得到BC=20千米，CF=10千米，则CD=DF+CF=30千米，设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=(20−x)千米，解Rt△CMT得到CT=(10−2x)千米，MT=(10 3− 32x)千米，则TN=(20−32x)千米，由勾股定理得202=(10 3− 32x)2+(20−32x)2，解方程即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．