第18章 勾股定理 学情评估卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

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第18章学情评估 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是(　　) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，eq \r(3)，2 2．下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是(　　) A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝eq \r(2) 3．古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 (第3题)　　(第4题) 4．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为(　　) A．3 eq \r(2) B．3 eq \r(3) C．6 D．3 eq \r(5) 5．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，这七块板可以拼成许多图形．图①拼成的大正方形的面积为8，将图①中各块板子打乱位置重新拼成图②中的长方形，则图②中A，B两点之间的距离为(　　) A.eq \r(2) B．2 eq \r(2) C.eq \r(5) D．2 eq \r(5) 6．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为(　　) A．3 m B．2.5 m C．2 m D．1.5 m (第6题)　　(第7题) 7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，现将其沿EF折叠，使得点C与点A重合，则AF的长为(　　) A．3 cm B.eq \r(5) cm C．5 cm D.eq \f(25,4) cm 8．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于(　　) A．7 B．9 C．16 D．25 (第8题)　　(第9题) 9．如图，在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶(从点A到点C，B为AC的中点)，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则刻在石柱上的雕龙的长度至少为(　　) A．10 m B．12 m C．16 m D．20 m 10．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC，分别以BE，EF，FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是(　　) A．S1＋S3＝2S2 B．S1＋S3＝4S2 C．S1＋S3＝S2 D．S2＝eq \f(1,3)(S1＋S3) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________. 12．如图，已知CA＝CB，BD⊥AC于点D，点D在数轴上所表示的数为－1，BD＝1，则数轴上点A所表示的数是______________. (第12题)　　(第13题) 13．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝________°. 14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°. (1)BD的长为________； (2)若BC＝eq \r(2)，则BDAC＝________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长. 16．小刚准备测量一个泳池中水的深度，他把一根竹竿竖直插到离泳池边1.5 m远的池底，竹竿高出水面0.5 m，水面与池底平行，把竹竿的顶端拉向池边，竿顶和池边的水面刚好相齐，则泳池水的深度为多少米？ 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17．漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD(如图)进行绿化．经测量∠ABC＝90°，AB＝7 m，BC＝24 m，CD＝20 m，AD＝15 m，求空地的面积. 18．在4×4的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C、D是格点. (1)在网格中找一格点E，使得BE＝eq \r(5)； (2)作格点△BDF，使得BF＝eq \r(10)，DF＝eq \r(17)； (3)在(2)的条件下，∠DBA－∠FBC＝______． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8 n mile的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15 n mile的速度前进，两艘渔船同时出发，2 h后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离. 20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)． (1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为__________三角形； (2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形； (3)若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ 六、(本题满分12分) 21．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数； (2)请你猜想出第n组(n为正整数)，并证明这是一组勾股数． 七、(本题满分12分) 22. 请根据表格所给信息，回答下列问题． (1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度． 八、(本题满分14分) 23．综合与实践 【模型建立】(1)如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，D是边BC上的动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，连接CE. ①求DE的最小值； ②判断BD，CD，AE之间的数量关系，并证明． 【模型应用】(2)如图②，已知△ABC是等边三角形，∠CDB＝120°，AD＝2，求AB的最小值． 答案 一、1.C　2.D　3.B　4.D　5.D　6.B　7.D　8.C　 9．D　10.B 二、11.6　12.1－eq \r(5)　13.45　14.(1)2 eq \r(2)　(2)2eq \r(5) 三、15.解：在Rt△ACD中， CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(132－122)＝5. ∵BC＝14，∴BD＝BC－CD＝14－5＝9. 16．解：根据题意画出示意图，如图，则AC＝0.5 m， A′C＝1.5 m，AB＝A′B， ∴BC为泳池水的深度，A′B＝BC＋0.5 m， 易知A′C⊥AB，∴∠A′CB＝90°， ∴A′C2＋BC2＝A′B2，∴1.52＋BC2＝(BC＋0.5)2， 解得BC＝2 m. 答：泳池水的深度为2 m. 四、17.解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝7 m，BC＝24 m， ∴AC2＝AB2＋BC2＝72＋242＝625. ∵ CD＝20 m，AD＝15 m， ∴AD2＋CD2＝202＋152＝625＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝eq \f(1,2)AD·CD＋eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×20×15＋eq \f(1,2)×7×24＝150＋84＝234eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2)). 18．解：(1)如图，点E即为所求．(答案不唯一) (2)如图，△DBF即为所求． (3)45° 五、19.解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(n mile)，BP＝15×2＝30(n mile)， ∴MP＝eq \r(BM2＋BP2)＝34(n mile)． 答：P岛与M岛之间的距离为34 n mile. 20．解：(1)锐角；钝角　(2)＞；＜ (3)∵c为最长边长，2＋4＝6， ∴4≤c＜6.而a2＋b2＝22＋42＝20. 当a2＋b2＞c2时，c2＜20，易得4≤c＜2 eq \r(5)， ∴当4≤c＜2 eq \r(5)时，△ABC是锐角三角形； 当a2＋b2＝c2时，c2＝20，易得c＝2 eq \r(5)， ∴当c＝2 eq \r(5)时，△ABC是直角三角形； 当a2＋b2＜c2时，c2＞20，易得2 eq \r(5)