福建省漳州市东山县九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市东山县九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分；考试时间：120分钟）
友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：中被开方数中含有分母，不是最简二次根式；12中含有开得尽方的因式4，故也不是最简二次根式，是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，故A选项运算错误；
B. ，故B选项运算错误；
C. ，故C选项运算正确；
D. ，，故D选项运算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后化简后，看是否只含有一个未知数且未知数的最高次数为2．
【详解】解：一元一次方程，故A不符合题意；
是二元二次方程，故B不符合题意；
是分式方程，故C不符合题意；
一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
4. 一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A. 4，，0B. 4，，8C. ，，D. 4，，
【答案】D
【解析】
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【详解】解：，
∴，
所以一元二次方程化为一般式后的二次项系数一次项系数、常数项分别为4，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．
5. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；先移项，再两边都加上1，即可得出选项．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
故选：D．
6. 如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
7. 为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为元/瓶，经两次下调后价格变为元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得，
250（1-x）2=160，
解得，x1=0.2，x2=1.8（舍去），
答：该药品平均每次降价的百分率为20%；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．
8. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴．
∴9S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．
9. 已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A. 11B. 21C. 11或21D. 11或1
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．
【详解】解：由可得，
∴或，
解得x＝1或x＝11，
当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；
当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确.
【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵，
∴，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵
∴，
∵
设，则，S四边形CDEF=
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
故选：A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 已知，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的性质可得，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13. m是方程的根，则式子的值为______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，能够运用整体思想进行求解是解题的关键．先将m代入方程，进而变形得，再将原式变形，代入求解即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2024．
14. 如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是 __．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据根的情况求参数，因为没有实数根，所以，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，点是的中点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出为的中点，，即可得出，根据为的中点，得出是的中位线，进而即可求解．
【详解】解：∵过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，为的中点，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键．
16. 已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．
【答案】①③
【解析】
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【详解】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
三、解答题（本大题共9小题，共86分、请在答题纸的相应位置解答）
17. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键；
（1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先把，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
先通分计算括号里面的，然后利用完全平方公式，并将除法转化为乘法，可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式=．
20. 如图，已知 是坐标原点，，，以原点 为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为 ）．

（1）画出缩小后的图形；
（2）写出点的对应点坐标；
（3）如果 内部一点 的坐标为 ，写出点 经位似变换后的对应点坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由以原点O为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形；
（2）结合（1）可求得B点的对应点坐标；
（3）根据位似图形的性质，即可求得点M经位似变换后的对应点坐标．
【小问1详解】
解：以原点O为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半如图所示，
．
【小问2详解】
∵，
B点的对应点坐标为：；
【小问3详解】
内部一点M的坐标为， 则点M经位似变换后的对应点坐标为：．
【点睛】此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．
21. 如图，中，，过点B作，过点C作．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先由垂直的定义得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明；
（2）先由勾股定理得到，再由相似三角形的性质即可得到．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在中，，
∴由勾股定理得
由（1）已证，
∴，
∴．
22. 一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？
【答案】（1）24；（2）每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元.
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20＋4＝24（件）；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，
则平均每天可多售出（件），即平均每天销售数量为（件）.
故答案为24.
（2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为1600元，
由题意得：，
整理得：，
∴，
∴，，
∵每件盈利不少于25元，
∴应舍去.
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元.
【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．
23. 近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高，那么小视力表中相应“”是多少米？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为，问至少为多少米？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题为考查了相似三角形应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）证明，得到，代入相关数值即可求解；
（2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解．
【小问1详解】
解：由题意知，，
，
又∵，
，
，
由题意知，，，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∵，，
，
∵，
，
，
由题意知，，，
，
，
．
24. 背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：
题目：已知实数满足，，且，求的值．
解：根据题意得与为方程的两根，
∴，，
∴，
请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题：
（1）已知实数满足，，且，求的值．
（2）已知关于的方程有两个根，满足．当的三边满足，，，求的值以及的面积．
【答案】（1）；
（2）的值为，的面积为．
【解析】
【分析】（）根据题意可得，，变形整理所求式子，然后代入求值即可；
（）利用根与系数的关系得，，，结合可求出的值, 由满足 ，，可得出为方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，由可得出为直角三角形，再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【小问1详解】
解：∵，，
∴与为方程的两根，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，是方程的两个根，
则有，
∴，，，
∵，
∴，则，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∵满足，，
∴为方程的两根，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴的值为，的面积为．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，勾股定理逆定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
25. 如图，在中，，D是内一个动点，且，连接．
（1）求证：；
（2）当A、D、E三点共线时，且平分．求证：；
（3）设射线与射线相交于点F，连接，当点D在运动的过程中，用等式表示之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，得到，，结合，即可求解，
（2）延长、交于点，由，得到，结合
，得到，由平分，得到，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解，
（3）作，交于点，由，得到，由，得到，由，得到，当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，
，分别代入即可求解，
本题考查了，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：根据相似三角形，找到线段之间的比例关系．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴，即：，
∴，
【小问2详解】
解：延长、交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即：，
【小问3详解】
解：过点作，交于点，
∵，即：，
∵，
∴，，即：，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
当点在线段上时，
，即：，
∴，
当点在线段延长线上时，
，即：，
∴，
甲
乙
图例
方案
如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）