福建省泉州市惠安县惠东五校九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市惠安县惠东五校九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算及分母有理化，根据二次根式运算法则逐项计算，即可得出答案．
【详解】解：A．，该项计算错误，不合题意；
B．与不同类二次根式，不能合并，该项计算错误，不合题意；
C．，该项计算错误，不合题意；
D．，该项计算正确，符合题意；
故选D．
3. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则q的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程， 把代入方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x一元二次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：B．
4. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，，，
，
．
故选：．
5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先移项，再配方，即可得出选项．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意可得，，
故选：．
7. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查位似变换、平行线的判定．结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，，且相似比为，
∴．
故A，B选项正确，不符合题意；
与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，
．
故C选项正确，不符合题意，D选项不正确，符合题意．
故选：D．
8. 如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质和勾股定理可得，进而得到，，再根据解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：．
9. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可．
【详解】解：，
故选：A．
10. 如图，在直角梯形中，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键．
设，则，若与是相似三角形，有两种情况，分类讨论：当时，得，解得，；当时，，方程无解，即不成立；由此即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，即，
∴若与是相似三角形，有两种情况，
当时，，
∴，
整理得，，
解得，；
当时，，
∴，
整理得，，
∵，
∴方程无解，即不成立；
综上所述，若与是相似三角形，只有一种情况，即满足条件的点的个数是1个，
故选：A ．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
12. 已知，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】设的公比为k，则，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：设的公比为k，则，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x，y．
13. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为__________．
【答案】72
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵E，F分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：72．
14. 如图，中，为上一点，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案为：
15. 已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长．
【详解】解：解方程，
得：，，
即：直角三角形的两直角边分别和，
由勾股定理得斜边长为：．
故答案为：．
16. 如图，锐角中，分别为边上的高，和的面积分别是1和，则点到直线的距离是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，则，，进而可证，则，结合可求，设点A到直线的距离为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：∵分别为边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
设点A到直线的距离为，
依题意得，，
即，解得，，
故答案为：1．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质；根据化简绝对值，二次根式的性质化简，以及有理数的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，先根据分式的混合运算法则化简运算，再代值求解即可．
详解】解：原式
，
当时，
原式．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）采用因式分解法求解即可；
（2）采用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：因式分解，得，
于是，得，或，
∴，；
【小问2详解】
解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，．
20. 如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少．
【答案】金色纸边的宽是
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系； 设金色纸边的宽为，根据题意可知：挂图的长为、挂图的宽为，结合整个挂图的面积是，列出方程求解即可．
【详解】解：设金色纸边的宽是，
依题意，得，即
解得（不合舍去）
答：金色纸边的宽是．
21. 如图，在中，，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质证明，可得结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，即，
∴，
，
又∵，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．
（1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值．
【小问1详解】
证明：
，
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：，
∴，，
方程有两个不相等的正整数解，
∴，
∴
整数的值为2．
23. 根据以下销售情况，解决销售任务．
【答案】任务1：件，件；任务2：甲店每天的盈利为1050元，乙店每天的盈利为1040元；任务3：11元
【解析】
【分析】任务1，由题意即可得出结论；
任务2，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：任务1，根据题意得：
甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件，
故答案为：件，件；
任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 如图，是等腰三角形，，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由，，得到，，由（1）知，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问2详解】
解：∵，，
∴，，
由（1）知，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵方程有解，即，
∴，得，
即最大值为，
∴最小值为．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、根的判别式等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题．
25. 如图，，且与分别交于P、Q．
（1）如图（1），当A、B、F三点共线时，求的值；
（2）当由图（1）位置，绕点A逆时针旋转．
①如图（2），当时，求的值；
②如图（3），当时，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，根据全等三角形性质，得，可得．，得，即得；
（2）①由已知可得，可得，，证明，得，即得；②法一：连结，证明，可得，可得，可得，得，可得，由的面积求得，得，即得．法二：根据平行线分线段直接可得．
【小问1详解】
解：，
，
∵，
，即，
．
又，
，
，
；
【小问2详解】
①，
，
，
又，
，
即，
，
则，
，
，
，
即，
，
；
②法一：连结，
，
，
又，
即，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∵，
，
即，
又，
，
，
．
法二：，
∴．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面
甲店
乙店
日销售情况
每天可售出20件，每件盈利40元．
每天可售出32件，每件盈利30元．
市场调查
经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置
设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1
甲店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
乙店每天的销售量 （用含的代数式表示）．
任务2
当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3
总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元．