福建省漳州市第五中学八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市第五中学八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，第四象限，的图象过第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：叶燕华 审题人：初二数学备课组
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上1请不要错位、越界答题！
注意：在解题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，求一个数的立方根．根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，即可求解．
【详解】解：A、是有限小数，是有理数，不是无理数，本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意；
C、属于无理数，本选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，不是无理数，本选项不符合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
【详解】解：，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0，
∴这个点在第三象限．
故选C．
【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：A、符合最简二次根式的定义，该选项符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：A．
4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A. 6，8，12B. C. 5，12，13D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、62+82≠122，故不能组成直角三角形，错误；
B、，故不能组成直角三角形，错误；
C、52+122=132，故能组成直角三角形，正确；
D、，故不能组成直角三角形，错误．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简以及二次根式的加减乘除，解题的关键是明白其运算法则．利用二次根式的性质和运算法则依次判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：依题意，展开图有三种形式：
或
∵
蚂蚁爬行的最短路程．
故选：C．
7. 直线的图象如图所示，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵在的图象上，
∴方程的解是
故选：B．
8. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴和二次根式，掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴上两点的位置，判断，的正负性，进而即可求解．
【详解】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，，
∴，，
∴，
故选：A．
9. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键．
分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案．
【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合；
当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意；
故选：A．
10. 已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到．
【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若，
随的增大而减小，
时，，且，
，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卷的相应位置作答）
11. 的相反数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
12. 如图所示，正方形A与面积为64和100的两个正方形顶点重合拼成的图形，则正方形A的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理得到正方形的面积等于另外两个正方形的面积差，进行计算即可．
【详解】解：∵三个正方形边组成一个直角三角形，
∴两个较小正方形的面积和等于大正方形的面积，
∴正方形A的面积为；
故答案为：36．
13. 比较大小：___________3（填“>”、“=”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
即．
故答案为：
【点睛】此题考查了实数的大小比较，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴a-1=0，
解得：a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
15. 若，则式子的值为________．
【答案】2024
【解析】
【分析】先将配方，然后将代入即可．
【详解】解：∵，，
∴原式，
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了代数式求值，配方法的应用，将原式变形为是解题关键．
16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是______．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，，
∴，
由题意得，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
由①得，
∴
=
=
=
∵，
∴，
即
故②错误；
用x，y表示直角三角形的两条边()，
∵大正方形面积为9，小正方形面积为2，
∴，，
∴直角三角形的面积和为，
于是得到，
解得；
即，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来．
三、解答题（共9题，满分86分．请在答题卷的相应位置作答）
17 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算立方根和二次根式的乘除运算，然后计算加减即可；
（2）首先根据二次根式的性质化简计算括号内的，然后计算乘法，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；
（2）利用二次根式的除法及平方差公式进行计算，再合并即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】

19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于轴对称的；
（3）写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（2，-2）
【解析】
【分析】（1）利用A、C的坐标建立直角坐标系；
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）由作图可得，点的坐标为（2，-2）
【点睛】此题主要考查了作平面直角坐标系以及轴对称变换，正确得出对应点位置解题关键．
20. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
【答案】（1）
（2）甲先到达地面，说明见解析
【解析】
【分析】（1）设关于的函数解析式是，把图2的图象经过和代入，解得，即可作答；
（2）当时，则，得；当时，，得，再比较，即可作答．
【小问1详解】
解：设关于的函数解析式是，
把和代入，
，
解得
即关于的函数解析式是；
【小问2详解】
解：当时，则，得，
由（1）知，
当时，，得，
∵，
∴甲先到达地面．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的性质，难度较小．
21. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合标准，见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可．
【详解】解：符合标准
在中，，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∴该车符合标准．
22. 直线y＝kx+3﹣k（其中k≠0），当k取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，我们一起来探究这些直线的某些共同特征：
（1）当k＝1时，直线l1的解析式为 ，请画出图象；当k＝2时，直线l2的解析式为 ，请画出图象；观察图象，猜想：直线y＝kx+3﹣k（其中k≠0）必经过点( ， ）；
（2）证明你的猜想．
【答案】（1）；；(1，3)；图象见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）当k＝1时，即得到直线l1，当k＝2时，即得到直线l2，再根据确定无论k取何值(0除外)，直线y＝kx+3﹣k必经过点(1，3)；
（2）将点(1，3)代入y＝kx+3﹣k中验证即可．
【详解】解：（1）将k＝1代入y＝kx+3﹣k中
得：，
即直线l1的解析式为：，
将k＝2代入y＝kx+3﹣k中
得：，
即直线l2的解析式为：，
两直线的图象如图：
∵y＝kx+3﹣k整理为，
∴当时，，
∴直线y＝kx+3﹣k（其中k≠0）必经过点(1，3)，
故答案为：；；(1，3)；
（2）将点(1，3)代入y＝kx+3﹣k中
得：，
∴直线y＝kx+3﹣k（其中k≠0）必经过点(1，3)．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像，涉及一次函数的解析式以及点的坐标，解题的关键是确定，无论k取何值(k≠0)，总过点(1，3)．
23. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点P的“系好友点”；
例如：的“系好友点”为即．
阅读上述材料，完成下列问题：
（1）点的“系好友点”的坐标为______．
（2）若点在轴的正半轴上，点P的“系好友点”为点，若在三角形中，，求的值．
（3）已知点在第四象限，且满足；点A是点的“系好友点”，求的值．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
（1）根据“系好友点”的定义列式计算即可求解；
（2）设，根据定义得到点，则，即可求解；
（3）点是点的“系好友点”，可得点，由得到，即可求解．
【小问1详解】
解：
的坐标为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：设其中，
，
轴，
，
又，，
，
；
【小问3详解】
解：点是点的“系好友点”
．
，，
又，
，即
，
点在第四象限，
，
即．
24. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1；(2；(3)的长为或10
【解析】
【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可；
（2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1），，
，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即的长为；
（2）四边形是长方形，
，，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
（3）解：四边形是长方形，
，，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
则，
分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段垂直平分线上，
，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
②如图，当点在长方形外部时，
由折叠性质得：，，
同①得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为52或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
25. 如图1，已知点，点，连接，以为直角边，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M在线段上，点N在线段的延长线上，，探究线段和之间的关系，并加以证明．
【答案】（1）；
（2）存在，或或；
（3），证明见解析．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，
（1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案；
（2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可；
（3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图：过点作轴于．
∵，，
，，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
存在，求解如下：
设点P的坐标为，则，
∵，，
∴，
当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去）
∴此时点P的坐标为；
当时，，得到，解得或
∴此时点P的坐标为或；
综上可知，点P的坐标为或或；
【小问3详解】
，证明如下：
过点作，使，连接、．
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，