专题03 轴对称 2025-2026学年八年级上初中数学人教版2024期末复习讲义

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▉考点一 轴对称图形
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称.
2.常见的轴对称图形及它们的对称轴
▉考点二 轴对称
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.
2.轴对称图形和轴对称的区别与联系
例题：在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
解：如下所示：
所以△DEF有6种不同的位置．
故选：D．
▉考点三 线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的定义
2.线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
例题：元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
▉考点四 轴对称和轴对称图形的性质
▉考点五 互逆命题和互逆定理
▉考点六 垂直平分线和垂线的尺规作图
问题提出
无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，如何作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴?
【问题探究】
作对称轴，即作线段的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”,所以要作线段的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.
作线段的垂直平分线：已知：线段AB(图15.1-5).
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
【问题解决】
作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
步骤
(1)找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点.
(2)作：作对称点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
例题：如图，在△ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BP交于点D，且点D在边AC上，根据图中尺规作图的痕迹，则∠ABD度数是（ ）
A．28°
B．30°
C．32°
D．34°
解：由作图痕迹得DG垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∴DA=DB，DG⊥AB，∠ABD=∠CBD，
设∠A=α，则∠DAB=∠CBD=α，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即α+α+α+84°=180°，
∴α=32°，
∴∠ABD=32°，
故选：C．
▉考点七 画轴对称的图形
几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.步骤如下：
一找：在原图形上找特殊点（如线段端点、线与线的交点、线段的中点等）
二画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点
三连：按原图的顺序依次连接各对称点
例题：如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形下，过点A作AE∥BC，交CD于点E．若BC=10，DE=4，求AE的长度．
解：（1）如图，点D即为所求作；
（2）如图：过点A作AE∥BC，交CD于点E，
∵AC⊥BD，BO=DO，
∴∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
CO=CO
∠BOC=∠DOC
OB=OD
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠BCO=∠DCO，DC=BC=10，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCO，
∴∠EAC=∠DCO，
∴AE=CE，
∵CE=DC-DE=10-4=6，
∴AE=6．
▉考点八 用坐标表示轴对称
1.关于坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
2.在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤
一算：计算出构成已知图形的特殊点(如：多边形的顶点)的对称 点的坐标
二描：根据对称点的坐标描点
三连：按原图对应顺序依次连接所描各点得到对称图形
▉考点九 等腰三角形的性质
例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°
B．15°
C．18°
D．20°
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACD=1/2（180°-40°）=70°，
又∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠ABD=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°，
即∠ACD的度数为15°，
故选：B．
▉考点十 等腰三角形的判定
1.判定方法
2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图(1))
求作：这个等腰三角形.
分析：根据等腰三角形“三线合一”
的性质，当底边确定时，底边所对的
顶点在底边的垂直平分线上.由此，
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法：如图(2).
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=h.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例题：下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（ ）
A．4cm,5cm,4cm
B．3cm,3cm,6cm
C．2cm,2cm,5cm
D．7cm,8cm,9cm
解：A：4+4＞5，4=4，可以组成等腰三角形，故A正确，符合题意；
B：3+3=6，不能组成三角形，故B错误，不符合题意；
C：2+2＜5，不能组成三角形，故C错误，不符合题意；
D：可以组成三角形但不是等腰三角形，故D错误，不符合题意；
故选：A．
▉考点十一 等边三角形的性质
例题：如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（ ）
A．28cm
B．25cm
C．23cm
D．21cm
解：∵平移距离是4个单位，
∴AA′=BB′=4，
∵等边△ABC的边长为5，
∴B′C′=BC=5，
∴BC′=BB′+B′C′=4+5=9，
∵四边形ABC′A′的周长=4+5+9+5=23（cm）．
故选：C．
▉考点十二 等边三角形的判定
例题：下列说法正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．相等的弦，所对的圆周角相等
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故说法错误；
B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的弦，所对的圆周角相等，故说法错误；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故说法正确；
故选：D．
▉考点十三 含30°角的直角三角形的性质
一．线段垂直平分线的性质（共4小题）
1．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，AF＝3，△ABC周长为17，则△BCE的周长是（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】D
【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，AF＝CF＝3，
∴AC＝AF+CF＝3+3＝6，
∵△ABC周长为17，
∴AB+BC+AC＝17，
∴AB+BC＝17﹣AC＝17﹣6＝11，
∴CE+EB+BC＝AE+EB+BC＝AB+BC＝11，即△BCE的周长为11，．
故选：D．
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．以上答案都不对
【答案】C
【解答】解：∵AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选：C．
3．如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（ ）
A．CD平分∠ACBB．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．AB与CD互相垂直平分
【答案】C
【解答】解：由条件可知点A、B 在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．15
【答案】C
【解答】解：连接DC，如图，
∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，
∴AD+DC≥AC，
∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，
∴DC＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，
故选：C．
二．等腰三角形的性质（共5小题）
5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．勾股定理的逆定理
D．等腰三角形的“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（ ）
A．B．C．120°﹣αD．2α﹣90°
【答案】D
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AB＝2BD
C．AD平分∠BACD．AD⊥BC
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
8．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，体现等腰三角形的性质“三线合一”，
故能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为 ．
【答案】30°或15°．
【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°，
∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°，
∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°，
∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°，
综上，∠BAD的度数为30°或15°．
故答案为：30°或15°．
三．等腰三角形的判定（共4小题）
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
11．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条B．4条C．3条D．2条
【答案】B
【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
12．已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】B
【解答】解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形；
∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD；
当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形；
当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
13．如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解答】解：如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故选：C．
四．等腰三角形的判定与性质（共4小题）
14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若AB＝12，AD＝5，则DE等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：∵AB＝12，AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣5＝7，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝BD＝7．
故选：B．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3B．4C．3.5D．2
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCE，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故选：A．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故选：A．
17．如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】B
【解答】解：由题意可知：OP平分∠AOB，∠AOB＝50°，
∴，
∵EF＝EO，
∴∠AOF＝∠EFO＝25°，
所以∠EFO的度数为25°，
故选：B．
五．等边三角形的性质（共4小题）
18．如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3B．C．6D．8
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8．
故选：D．
19．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】C
【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128，
故选：C．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
21．在平面直角坐标系xOy中，等边三角形OAB的顶点A的坐标为（4，0），顶点B在第四象限，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．（2，4）D．
【答案】A
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示：

∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵△OAB是等边三角形，且点B在第四象限，
∴OA＝AB＝OB＝4，
∵BCBC⊥x轴于点C，
∴OC＝AC＝2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC＝√＝，
∴点B的坐标为．
故选：A．
六．等边三角形的判定（共4小题）
22．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
23．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
24．已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解答】解：∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
又∵|a﹣b|≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：A．
25．老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（ ）
A．①不是等腰三角形B．只有②是直角三角形
C．③是等边三角形D．只有④是直角三角形
【答案】C
【解答】解：图①中，另一个角为180°﹣30°﹣75°＝75°，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形，不符合题意；
图②中，另一个角为180°﹣25°﹣65°＝90°，因此该三角形是直角三角形，不符合题意；
图③中，有两条边相等，又有一个内角是60°，从此该三角形是等边三角形，符合题意；
图④中，因为62+82＝102，所以该三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
七．等边三角形的判定与性质（共5小题）
26．如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，作DE∥AB，交AC的延长线于点E．若AB＝5，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．2B．5C．8D．11
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝5，∠A＝∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠D＝∠B＝60°，∠E＝∠A＝60°，
∴∠D＝∠E＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝DE，
∴AE＝AB+CE＝8．
故选：C．
27．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l甲．
乙：A→D→E→F→B，路程为l乙．
丙：A→G→H→B，路程为l丙．
下列关系正确的是（ ）
A．l甲＞l乙＞l丙B．l乙＞l甲＞l丙
C．l甲＞l丙＞l乙D．l甲＝l乙＞l丙
【答案】D
【解答】解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示：

设AB＝a，
在图甲中，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a，
在图乙中，AE+BE＝AB＝a
∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝60°，
∴△DAE和△FEB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，
∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；
在图丙种，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴AP＝AB＝a，
根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH，
∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a，
∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a，
∴l甲＝l乙＞l丙，
故选：D．
28．如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；①当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：①过D作DM⊥OA交于M，DN⊥OB交于N，
∴∠DME＝∠DNF＝90°，
由条件可知DM＝DN，
∴∠MDN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴∠EDM+∠EDN＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠FDN+∠EDN＝60°，
∴∠EDM＝∠FDN，
在△EDM和△FDN中，
，
∴△EDM≌△FDN（ASA），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形；
故此项正确；
②由①得，
S△EDM＝S△FDN，
由条件可知S四边形DEOF＝S四边形DEON+S△EDM＝S四边形DMEN，
∴S四边形DMEN是定值，
∴四边形DEOF的面积是一个定值；
故此项正确；
③如图，
当DE⊥OA时，
DE的值最小，
由条件可知△DEF的周长为3DE，
∴△DEF的周长最小；
故此项正确；
④如图，
由条件可知∠DFB＝∠EDF＝60°，
故此项正确；
故选：D．
29．如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，
∴OP＝OE＝OF，∠POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF，
∴∠EOF＝2∠MON，
∵OP＝EF，
∴OE＝OF＝EF，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
∴∠MON＝30°，
故选：B．
30．如图，DA＝DC，BA＝BC＝6．若∠ABC＝60°，则AO的长为（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】A
【解答】解；∵BC＝BA＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵DA＝DC，BC＝BA，
∴BD垂直平分AC，
∴，
故选：A．
八．含30度角的直角三角形（共6小题）
31．如图，已知∠ABC＝60°，点P在边AB上，BP＝12，点E，F在边BC上，PE＝PF，若BE＝2，则EF的长为（ ）
A．4B．8C．5D．6
【答案】B
【解答】解：过P作PH⊥EF于H，
∵PE＝PF，
∴，
∵∠ABC＝60°，PH⊥EF，
∴∠BPH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣2＝4，
∴EF＝2EH＝8，则EF的长为8，
故选：B．
32．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AC的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】A
【解答】解：∵将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，
∴∠A＝60°，
∵直尺的两边平行，∠α＝60°，
∴∠ACB＝∠α＝60°（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，
∴BC＝2cm，
∴AC＝BC＝2cm，
∴线段AC的长为2cm，
故选：A．
33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
即AB的长是8．
故选：C．
34．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则BD的长为（ ）
A．7cmB．6cmC．5.5cmD．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，
∵AD⊥BC于点D，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴在Rt△ABC中，，
∴Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6（cm）．
故选：B．
35．如图是某景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，∠BAC＝30°，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为（ ）
A．60米B．45米C．30米D．15米
【答案】D
【解答】解：由条件可得米，
故选：D．
36．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．3米B．6米C．9米D．12米
【答案】C
【解答】解：标记点A、点B、点C如图所示，
根据题意得：BC＝3米，
在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴BC+AB＝3+6＝9（米）．
故选：C．
九．生活中的轴对称现象（共4小题）
37．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
38．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故选：D．
39．如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 ．
【答案】675
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，
每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2025÷6＝337…3，
当点P第2025次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4），
∴碰撞次数是：337×2+1＝675（次），
故答案为：675．
40．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 ．
【答案】书．
【解答】解：补全字母，如图所示：
故这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
十．轴对称的性质（共4小题）
41．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等
B．AM＝A′M且AA′⊥l
C．∠B＝100°
D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴三角形ABC与三角形A′B′C′的周长相等，AM＝A′M且AA′⊥l，
∠C＝∠C′＝30°，AA′∥BB′∥CC′，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，
∴A，B，C不符合题意；D符合题意．
故选：D．
42．以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：轴对称图形是选项C中的图形：．
故选：C．
43．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，
∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，
∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，
∴AD＝AP，AE＝AP，
∴AE＝AD，故①正确；
∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
∴∠DPE＝90°，故②正确；
∵AC为PD的垂直平分线，
∴AD＝AP，CD＝CP，
∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，
∴∠ADC＝∠APC，
同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，
∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；
故选：A．
44．如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（ ）
A．13B．15C．17D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，AB＝10，AC＝4，BC＝9，
∴AD＝DE，AC＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝10+5＝15．
故选：B．
十一．轴对称图形（共4小题）
45．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．DeepSeekB．ChatGPT
C．文心一言D．纳米AI
【答案】C
【解答】解：A、B，D选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
46．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
47．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
48．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．河南大学B．郑州大学
C．河南农业大学D．河南工业学校
【答案】C
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
十二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共4小题）
49．若点A（m﹣2，3）与点B（4，3）关于y轴对称，则m的值是（ ）
A．6B．﹣2C．﹣4D．﹣3
【答案】B
【解答】解：在直角坐标系中，点A（m﹣2，3）与点B（4，3）关于y轴对称，
∴m﹣2+4＝0（关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），
解得m＝﹣2．
故选：B．
50．已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为（ ）
A．5B．1C．﹣1D．﹣5
【答案】A
【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），
∴a＝3，b＝2，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
51．已知点A（m+2，﹣3），B（4，n+6）关于x轴对称，则（m+n）2024的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．32024
【答案】C
【解答】解：由条件可知：m+2＝4，n+6＝3，
解得m＝2，n＝﹣3，
∴（m+n）2024＝（2﹣3）2024＝1．
故选：C．
52．点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，2）
【答案】D
【解答】解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2）．
故选：D．
十三．坐标与图形变化-对称（共4小题）
53．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（ ）
A．（7，4）B．（6，4）C．（5，4）D．（4，4）
【答案】A
【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）对称，
∴对称轴直线为：，
∵C（1，4）与点D关于x＝4对称，
∴D（7，4），
故选：A．
54．在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，﹣5）C．（﹣2，﹣5）D．（5，2）
【答案】A
【解答】解：∵点（2，5），
∴与点（2，5）关于y轴对称的点（﹣2，5）．
故选：A．
55．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，作△ABO关于直线AO的对称图形，得到△AEO，AE交x轴于点F，则点F的坐标为（ ）
A．B．C．（3，0）D．
【答案】B
【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，
由对称可知，
∠BAO＝∠EAO．
∵点A坐标为（4，2），且AB⊥y轴，AM⊥x轴，
∴OM＝AB＝4，AM＝BO＝2．
∵AB∥x轴，
∴∠BAO＝∠FOA，
∴∠FOA＝∠EAO，
∴FO＝FA，
∴FM＝4﹣OF＝4﹣AF．
在Rt△AFM中，
22+（4﹣AF）2＝AF2，
解得AF＝，
∴OF＝AF＝，
∴点F的坐标为（）．
故选：B．
56．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点A（﹣2，1）关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由所给图形可知，
图中剪纸的对称轴为y轴，
因为点A坐标为（﹣2，1），
所以点A关于对称轴对称点的坐标为（2，1）．
故选：B．
十四．作图-轴对称变换（共4小题）
57．如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，DC．依题意补全图形，若∠PAC＝15°，则∠BDC＝ °．
【答案】30．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，点C与点D关于直线AP对称，
∴AB＝AC＝AD，
∵∠PAC＝15°，点C与点D关于直线AP对称，
∴∠CAD＝2∠PAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠AEB＝∠ADB+∠PAD＝60°．
∴∠DEP＝60°，
∴∠BDC＝30°，
故答案为：30．
58．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 种画法．
【答案】5．
【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示：
共有5种画法，
故答案为：5．
59．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出 个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称．
【答案】5．
【解答】 解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故答案为：5．
60．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2），解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）点C1的坐标为 ；（直接写出结果）
（3）在x轴上找一点D，使得S△ABC＝S△ACD，则点D的坐标为（ ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所示；
（2）C1（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）作正方形ABCD，则D（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
名称
图形及其对称轴
对称轴
对称轴的条数
角
角平分线所在直线
1
等腰三角形
底边上的高(顶角平分线、底边上的中线)所在直线
1
等边三角形
各边上的高(内角平分线、各边上的中线)所在直线
3
等腰梯形
上、下底的中点所在直线
1
长方形
对边中点所在直线
2
正方形
对边中点所在直线和两条对角线所在直线
4
圆
过圆心的每一条直线
无数条
轴对称图形
轴对称
图示
区别
对象
一个图形.
两个图形.
意义
一个形状特殊的图形.
两个图形之间的位置关系.
对称轴的
数量
一条或多条.
只有一条.
对称轴的
位置
一定经过这个图形上的一些点.
可能不经过这两个图形上的任一点.
联系
(1)都能沿某条直线折叠后互相重合；
(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
文字语言
符号语言
图示
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
如图，∵OA=OB,直线l⊥AB,∴直线l是线段AB的垂直平分线.
性质
点在垂直平分线上的判定
图示
文字
语言
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号
语言
如图，∵直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上，∴PA=PB.
如图，已知线段AB,∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
应用
证明线段相等.
确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”,可以判定线段的垂直平分线.
性质
图示
轴对称
(1)成轴对称的两个图形全等.如图，△ABC≌△A'B'C'.
(2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴MN垂直平分线段AA′,BB′,CC'.
轴对称图形
连接对称点的线段被对称轴垂直平分.如图，对称轴l垂直平分线段AA',BB'.
定义
说明
互逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
(1)一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
(2)命题有真有假，但定理都是真命题.
(3)每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理.
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
步骤
图示
说明
(1)分别以点A和点B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点.
得CA=CB,∴点C在线段AB的垂直平分线上；
得DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上.
(2)作直线CD.CD就是所求作的直线.
得CD垂直平分线段AB.
文字语言
符号语言
图示
性质1
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD,
∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC且BD=CD.
轴对
称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.
文字语言
符号语言
图示
利用定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.
如图，在△ABC中，
∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
利用判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.
文字语言
符号语言
图示
性质1
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
性质2
等边三角形每条边上的中线、高及所对角
的平分线重合，即“三线合一”.
如图，在△ABC中，
①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD.
②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
轴对称性
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线).
方法
文字语言
符号语言
图示
定义法
三边都相等的三角形是等边三角形.
如图，∵AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形.
判定定
理法1
三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形.
判定定
理法2
有一个角是60°的等
腰三角形是等边三角形.
如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°),
∴△ABC为等边三角形.
文字语言
符号语言
图示
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB