8.2 单项式乘多项式 课件-2025-2026学年2024苏科版数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：8.2 单项式乘多项式副标题：苏科版七年级数学下册配图：长方形面积拆分示意图（用单项式表示的小长方形拼接成多项式表示的大长方形）、整式乘法逻辑链（单项式 × 单项式→单项式 × 多项式）落款：授课教师：XXX 日期：XXXX 年 XX 月 XX 日第 2 页：学习目标理解单项式乘多项式的意义，能将多项式拆分为几个单项式的和；经历法则推导过程，掌握 “用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加” 的核心法则（基于乘法分配律）；能熟练运用法则进行混合运算，解决与几何图形面积相关的实际问题；避免 “漏乘项”“符号错误” 等常见问题，提升运算准确性与逻辑转化能力。第 3 页：情境引入 —— 几何与代数双重驱动情境 1：长方形面积的两种表示如图，一个大长方形的长为\(a\)，宽为\((b + c + d)\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为正数）。方法 1：直接用长 × 宽表示面积：\(S = a(b + c + d)\)；方法 2：将大长方形拆分为 3 个小长方形（宽分别为\(b\)、\(c\)、\(d\)，长均为\(a\)），总面积 = 小面积之和：\(S = ab + ac + ad\)。思考：由两种表示方法可得\(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)，这个等式体现了什么运算规律？情境 2：代数衔接（乘法分配律回顾）计算：\(2×(3 + 4 + 5) = 2×3 + 2×4 + 2×5 = 6 + 8 + 10 = 24\)（乘法分配律：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)）。迁移思考：若将 “2” 换成单项式 “\(2x\)”，“3、4、5” 换成单项式 “\(x^2\)、\(-3x\)、2”，则\(2x(x^2 - 3x + 2)\)如何计算？第 4 页：法则推导 —— 基于乘法分配律一、核心依据：乘法分配律的推广乘法分配律：对于任意数\(m\)、\(a\)、\(b\)，有\(m(a + b) = ma + mb\)；推广到多项式（含多个项）：对于单项式\(m\)和多项式\(a + b + c + … + n\)，有\(m(a + b + c + … + n) = ma + mb + mc + … + mn\)。二、法则推导（以\(2x(x^2 - 3x + 2)\)、\(-3ab(2a^2b - ab + 1)\)为例）第一步：将多项式拆分为单项式的和\(x^2 - 3x + 2 = x^2 + (-3x) + 2\)（注意保留负号，将减法转化为加法）；\(2a^2b - ab + 1 = 2a^2b + (-ab) + 1\)。第二步：应用乘法分配律，单项式乘多项式的每一项\(2x(x^2 - 3x + 2) = 2x·x^2 + 2x·(-3x) + 2x·2\)；\(-3ab(2a^2b - ab + 1) = -3ab·2a^2b + (-3ab)·(-ab) + (-3ab)·1\)。第三步：用单项式乘单项式法则计算每一项同理，\(-3ab(2a^2b - ab + 1) = -6a^3b^2 + 3a^2b^2 - 3ab\)。第一项：\(2x·x^2 = (2×1)·(x·x^2) = 2x^3\)；第二项：\(2x·(-3x) = (2×(-3))·(x·x) = -6x^2\)；第三项：\(2x·2 = 4x\)；合并结果：\(2x^3 - 6x^2 + 4x\)。三、法则总结单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项（包括常数项和含负号的项）；把所得的积相加（注意各项的符号，避免漏加）；最终结果若有同类项，需合并同类项（无同类项则直接保留多项式形式）。符号表示：若单项式为\(m\)，多项式为\(a + b + c\)，则\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。第 5 页：基础应用 —— 分类型突破类型 1：单项式为正数，多项式含正项\(3x(2x + 1) = 3x·2x + 3x·1 = 6x^2 + 3x\)；\(2a^2(3a^3 + 4a) = 2a^2·3a^3 + 2a^2·4a = 6a^5 + 8a^3\)。类型 2：单项式为负数，多项式含负项（重点关注符号）\(-2y(y^2 - 3y) = -2y·y^2 + (-2y)·(-3y) = -2y^3 + 6y^2\)（负负得正）；\(-5ab(2a - b + 3) = -5ab·2a + (-5ab)·(-b) + (-5ab)·3 = -10a^2b + 5ab^2 - 15ab\)（常数项 3 别漏乘）。类型 3：单项式含分数，多项式含多项\(\frac{1}{2}x(4x^2 - 6x + 2) = \frac{1}{2}x·4x^2 + \frac{1}{2}x·(-6x) + \frac{1}{2}x·2 = 2x^3 - 3x^2 + x\)（分数乘整数先约分）；\(-\frac{2}{3}m^2(3m - 6n) = -\frac{2}{3}m^2·3m + (-\frac{2}{3}m^2)·(-6n) = -2m^3 + 4m^2n\)（约分简化计算）。类型 4：含幂的乘方的混合运算（先乘方，再乘法）\((2x^2)^3·(3x - 1) = 8x^6·3x + 8x^6·(-1) = 24x^7 - 8x^6\)；\(-(a^2b)^2·(ab^2 - a) = -a^4b^2·ab^2 + (-a^4b^2)·(-a) = -a^5b^4 + a^5b^2\)。第 6 页：核心易错点辨析与避错技巧易错类型错误示例错误原因分析正确解法与避错技巧漏乘多项式的项\(2x(x^2 - 3x) = 2x^3\)漏乘多项式的第二项\(-3x\)计算前先标出多项式的项数（如 2 项、3 项），逐项相乘并标记，完成后核对项数：\(2x·x^2 + 2x·(-3x) = 2x^3 - 6x^2\)符号处理错误\(-3a(2a - b) = -6a^2 - 3ab\)第二项负负得正，误写为负将多项式拆分为 “加负数” 形式（如\(2a - b = 2a + (-b)\)），再应用分配律：\(-3a·2a + (-3a)·(-b) = -6a^2 + 3ab\)常数项漏乘\(x(2x + 1) = 2x^2\)漏乘多项式中的常数项 1明确 “常数项也是多项式的一项”，单独标记常数项，确保乘到：\(x·2x + x·1 = 2x^2 + x\)同类项未合并\(3x(x + 2) + 2x = 3x^2 + 6x + 2x\)未合并同类项\(6x\)和\(2x\)计算完所有积后，检查是否有同类项，若有则合并：\(3x^2 + 8x\)避错口诀“单项式乘每一项，符号跟着项走全，常数项也别漏算，积相加后合并简”。第 7 页：综合例题 —— 运算与实际应用例 1：单项式乘多项式的混合计算计算：\(2x(3x^2 - 4x + 1) - 5x^2(x - 2)\)解：① 分别计算两个单项式乘多项式：\(2x(3x^2 - 4x + 1) = 6x^3 - 8x^2 + 2x\)；\(5x^2(x - 2) = 5x^3 - 10x^2\)；② 去括号并合并同类项：原式\(= 6x^3 - 8x^2 + 2x - 5x^3 + 10x^2 = (6x^3 - 5x^3) + (-8x^2 + 10x^2) + 2x = x^3 + 2x^2 + 2x\)。例 2：几何应用 —— 面积计算如图，一个长方形的长为\((2x + 3)\)，宽为\(x\)，在其内部挖去一个边长为\(x\)的正方形，求剩余部分的面积（\(x > 0\)）。解：① 大长方形面积：\(x(2x + 3) = 2x^2 + 3x\)；② 正方形面积：\(x·x = x^2\)；③ 剩余面积 = 大长方形面积 - 正方形面积 = \((2x^2 + 3x) - x^2 = x^2 + 3x\)；④ 答：剩余部分的面积为\(x^2 + 3x\)（面积单位根据\(x\)的单位确定）。例 3：代数求值 —— 先化简再求值已知\(x = -1\)，求代数式\(3x(x^2 - x - 1) - (x^2 + 1)(3x - 2)\)的值。解：① 化简代数式：\(3x(x^2 - x - 1) = 3x^3 - 3x^2 - 3x\)；\((x^2 + 1)(3x - 2)\)（暂不展开，后续学多项式乘多项式，此处简化为\(3x^3 - 2x^2 + 3x - 2\)）；原式\(= (3x^3 - 3x^2 - 3x) - (3x^3 - 2x^2 + 3x - 2) = -x^2 - 6x + 2\)；② 代入\(x = -1\)：\(-(-1)^2 - 6×(-1) + 2 = -1 + 6 + 2 = 7\)；③ 答：代数式的值为 7。第 8 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）计算：（1）\(4a(2a^2 + 3a)\) （2）\(-2y(y^2 - 5y + 1)\) （3）\(\frac{1}{3}x(3x^2 - 6x + 9)\) （4）\((-2x^2)^2·(x - 1)\)一个长方形的长为\((3x + 2)\)，宽为\(2x\)，求它的面积。下列计算正确的是（ ）A. \(x(2x^2 - x) = 2x^3 - x\) B. \(-3a(2a - 1) = -6a^2 + 3a\) C. \(2y(y + 3) = 2y^2 + 3\) D. \(a^2(3a + 1) = 3a^3 + 1\)提升题（选做）计算：\(x^2(2x - 5) - 3x(x^2 + 2x - 1)\)；已知多项式\(A = 2x - 1\)，\(B = x^2 + 3x - 2\)，求\(2A·B\)（提示：先算\(A·B\)，再乘 2）；若\(x(x - 2) - m = x^2 + 3x - 5\)，求\(m\)的值（提示：化简左边，对比等式两边同类项系数）。第 9 页：课堂小结核心法则：单项式乘多项式 = 单项式 × 多项式的每一项 + 所得积相加（基于乘法分配律，转化为单项式乘单项式）；运算顺序：含乘方的混合运算：先算幂的乘方 / 积的乘方，再算单项式乘多项式，最后合并同类项；易错提醒：不漏乘：多项式的每一项（含常数项、负项）都要乘；符号对：负号跟着项走，负乘负得正，负乘正得负；合并简：最终结果有同类项需合并，化为最简形式；知识关联：单项式乘多项式是 “单项式乘单项式” 的延伸，也是后续 “多项式乘多项式” 的基础（多项式乘多项式可转化为单项式乘多项式）。第 10 页：布置作业教材 PXX 习题 8.2 第 1、2、3 题（基础运算与几何应用）；拓展题：若\(2x(x^2 + ax + b) = 2x^3 + 4x^2 - 6x\)，求\(a\)、\(b\)的值（提示：对比等式两边同类项系数）；预习：多项式乘多项式的运算方法，如何将其转化为单项式乘多项式？第 11 页：结束页感谢聆听！课后答疑：[email protected]配图：单项式乘多项式法则思维导图（分配律→逐项乘→积相加→合并简）苏科版（2024）数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解单项式乘多项式的运算法则,能熟练地进行单项式乘多项式的计算，发展运算能力.2.体会乘法分配律的作用和转化的思想,提升分析问题的能力及语言表达能力.3.经历探索单项式乘多项式运算法则的过程,感悟数形结合思想,知道使用符号可以进行推理运算,得到的结论具有一般性，培养抽象能力.知识点单项式乘多项式感悟新知11. 运算法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用字母表示为 m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc．其中m、a、b、c都是单项式.感悟新知2. 单项式与多项式相乘的几何解释：如图8.2－1，大长方形的面积可以表示为m(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为ma＋mb＋mc. 所以m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc.感悟新知3. 单项式与多项式相乘的步骤(1)根据乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；(2)将单项式与单项式相乘的结果相加.知1－讲感悟新知特别解读1. 单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘.2. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.3. 单项式与多项式相乘时，要把单项式与多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.感悟新知计算：(1)(－3x)(－2x2＋1)；例 1解：(－3x)(－2x2＋1)=(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1 = 6x3－3x.感悟新知知1－练 解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算. 感悟新知知1－练 典例 计算：  .  1. 化简： a ( a －2)＋4 a ＝(　A　)2. 方程－2 x ( x －1)＋ x (2 x －5)＝3的解是(　D　)AD3. 一个长方体的长、宽、高分别为3 x －4，2 x 和 x ，则它的体积等于(　C　)4. [2024北京海淀区期中]已知2 a2－7 a －1＝0，则代数式 a (2 a －7)＋5的值为(　A　)CA5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，回到家，小丽拿出课堂笔记复习，突然发现一道题：－3 x2(2 x －□＋1)＝－6 x3＋3 x2 y －3 x2，“□”的地方被墨水污染了，则“□”上应是 ⁠.6. [学科素养 逻辑推理] n 为自然数，那么式子 n (2 n ＋1)－2 n ( n －1)能否被3整除？【解】原式＝2 n2＋ n －2 n2＋2 n ＝3 n ，则代数式 n (2 n ＋1)－2 n ( n －1)能被3整除.y 　  (2)(5 mn2－4 m2 n )·(－2 mn )；【解】原式＝5 mn2·(－2 mn )－4 m2 n ·(－2 mn )＝－10 m2 n3＋8 m3 n2.(3) x2( x －1)－ x ( x2＋ x －1)；【解】原式＝ x3－ x2－ x3－ x2＋ x ＝ x －2 x2. 【解】原式＝－ a3 b －2 a2 b2－2 a3 b ＋5 a2 b2＝－3 a3 b ＋3 a2 b2.8. 已知有理数 a ， b ， c 满足｜ a － b －3｜＋( b ＋1)2＋｜ c －1｜＝0，先化简，再求值：(－3 ab )·( a2 c －6 b2 c ). 9. 已知( x4－ n ＋ ym＋3)· xn ＝ x4＋ x2 y7，则 m ＋ n 的值是(　D　)10. [2024蚌埠龙子湖区期中]要使 x ( x ＋2 a )＋2 x －2 b ＝ x2＋6 x ＋8成立，则 a ， b 的值分别为(　C　)DC11. 要使( x2＋ ax ＋5)(－6 x3)的展开式中不含 x4项，则 a 等于(　D　)D12. 定义 表示3 abc ， 表示 xz ＋ wy ，则 × 的结果为(　B　)B －2 x4＋8 x3　 【点拨】   (2)如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积.【解】长方形地的长为(3 a ＋2 b )＋(2 a － b )＝5 a ＋ b ，宽为4 a ，所以这块地的面积为4 a ·(5 a ＋ b )＝20 a2＋4 ab .16. [整体思想]阅读下面的解题过程，并解决问题.已知：2 ab2＝3，求 ab ·(8 a2 b5＋4 ab3－2 b )的值.分析：因为满足2 ab2＝3的 a ， b 的值较多，优先考虑用整体代入的思想，将2 ab2＝3整体代入.解： ab ·(8 a2 b5＋4 ab3－2 b )＝8 a3 b6＋4 a2 b4－2 ab2＝(2 ab2)3＋(2 ab2)2－2 ab2＝33＋32－3＝33.请你结合上述思想解决问题：已知2 m2＝5，求(4 m5－2 m3＋ m )·(－2 m )的值.【解】∵2 m2＝5，∴(4 m5－2 m3＋ m )·(－2 m )＝－8 m6＋4 m4－2 m2＝－(2 m2)3＋(2 m2)2－2 m2＝－53＋52－5＝－105.　必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！