8.4 乘法公式 课件-2025-2026学年2024苏科版数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：8.4 乘法公式副标题：平方差公式 + 完全平方公式（苏科版七年级数学下册）配图：平方差公式面积验证图（阴影部分面积两种表示）、完全平方公式几何拼图（大正方形拆分为小正方形与长方形）落款：授课教师：XXX 日期：XXXX 年 XX 月 XX 日第 2 页：学习目标经历平方差公式、完全平方公式的推导过程，理解公式的几何意义与代数本质；掌握两个公式的结构特征，能准确识别公式中的 “a”“b”（可表示数、字母或多项式）；能熟练运用公式进行整式乘法运算，解决化简求值、几何面积等实际问题；避免 “完全平方公式漏项”“平方差公式符号错误” 等常见问题，提升公式应用的准确性。第 3 页：情境引入 —— 从多项式乘法到公式回顾旧知：特殊多项式相乘的规律计算下列多项式乘法，观察结果有何特点：\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4\)（中间两项抵消，结果为平方差）；\((a + 3)^2 = (a + 3)(a + 3) = a^2 + 3a + 3a + 9 = a^2 + 6a + 9\)（结果为二次三项式，含两个平方项与一个交叉项）；\((2y - 1)^2 = (2y - 1)(2y - 1) = 4y^2 - 2y - 2y + 1 = 4y^2 - 4y + 1\)（同上，交叉项为负）。提出问题上述特殊形式的多项式相乘，结果可简化为固定结构（无需逐项展开），这类规律即为 “乘法公式”。本节课将学习最常用的两个乘法公式：平方差公式、完全平方公式。第 4 页：公式 1—— 平方差公式一、推导过程（代数与几何双重验证）代数推导：由多项式乘多项式法则，\((a + b)(a - b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)（中间两项\(-ab\)与\(+ab\)抵消，结果为平方差）。几何意义（面积验证）：如图，边长为\(a\)的大正方形，减去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），剩余阴影部分面积：方法 1：直接表示为\(a^2 - b^2\)；方法 2：将阴影部分拼成一个长方形（长为\(a + b\)，宽为\(a - b\)），面积为\((a + b)(a - b)\)；由此可得：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。二、公式总结平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。符号表示：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)；结构特征：①左边：两个二项式相乘，一项完全相同（\(a\)），另一项互为相反数（\(+b\)与\(-b\)）；②右边：相同项的平方减去相反项的平方（\(a^2 - b^2\)，注意顺序）。三、基础应用（识别 “a”“b”）\((x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25\)（\(a = x\)，\(b = 5\)）；\((2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2\)（\(a = 2a\)，\(b = 3b\)）；\((-m + n)(-m - n) = (-m)^2 - n^2 = m^2 - n^2\)（\(a = -m\)，\(b = n\)，相同项为\(-m\)）；\((x + y + z)(x + y - z) = [(x + y) + z][(x + y) - z] = (x + y)^2 - z^2\)（\(a = x + y\)，\(b = z\)，将多项式看作整体）。第 5 页：公式 2—— 完全平方公式一、推导过程（代数与几何双重验证）代数推导：两数和的平方：\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；两数差的平方：\((a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。几何意义（面积验证）：以\((a + b)^2\)为例，边长为\(a + b\)的大正方形，可拆分为：①边长为\(a\)的小正方形（面积\(a^2\)）；②两个长为\(a\)、宽为\(b\)的长方形（总面积\(2ab\)）；③边长为\(b\)的小正方形（面积\(b^2\)）。总面积为\(a^2 + 2ab + b^2\)，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。二、公式总结完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。符号表示：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)（和的平方，加 2ab）；\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（差的平方，减 2ab）；结构特征：①左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘）；②右边：二次三项式，含 “首平方（\(a^2\)）、尾平方（\(b^2\)）、中间交叉项（\(\pm 2ab\)）”，交叉项符号与左边二项式中间符号一致。三、基础应用（识别 “a”“b”）\((x + 3)^2 = x^2 + 2·x·3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)（\(a = x\)，\(b = 3\)）；\((2y - 5)^2 = (2y)^2 - 2·2y·5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25\)（\(a = 2y\)，\(b = 5\)）；\((-m + 2n)^2 = (2n - m)^2 = (2n)^2 - 2·2n·m + m^2 = 4n^2 - 4mn + m^2\)（可调整顺序为差的平方，避免负号错误）；\((x + y - 1)^2 = [(x + y) - 1]^2 = (x + y)^2 - 2·(x + y)·1 + 1^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1\)（将多项式看作整体）。第 6 页：核心易错点辨析与避错技巧公式类型错误示例错误原因分析正确解法与避错技巧平方差公式\((x - 2)(x - 2) = x^2 - 4\)左边不是 “和 × 差”，而是 “差 × 差”，误用平方差公式先判断结构：平方差公式需 “一项同，一项反”，本题两项均为\(x - 2\)，应用法完全平方公式：\((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\)平方差公式符号\((-a - b)(a - b) = a^2 - b^2\)未正确识别 “相同项”，误将\(-a\)与\(a\)看作相同项提取负号找相同项：\((-a - b)(a - b) = - (a + b)(a - b) = - (a^2 - b^2) = b^2 - a^2\)，或直接识别相同项为\(-b\)：\((-b - a)(-b + a) = (-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2\)完全平方公式漏项\((x + 2)^2 = x^2 + 4\)漏加中间交叉项\(2·x·2 = 4x\)牢记公式结构 “首平方，尾平方，中间 2 倍积”，展开时先写 “首 ² + 尾 ²”，再补 “±2ab”：\((x + 2)^2 = x^2 + 2·x·2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4\)完全平方公式符号\((a - b)^2 = a^2 - b^2\)混淆 “差的平方” 与 “平方差”，漏写交叉项且错误简化明确 “差的平方” 是三项式，平方差是二项式：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，对比记忆：\((a - b)^2 ≠ a^2 - b^2\)避错口诀平方差：“同项平方减反项，和差相乘才适用”；完全平方：“首平方，尾平方，中间两倍首尾积，符号跟着中间走”。第 7 页：综合例题 —— 公式的灵活应用例 1：公式的直接应用与混合运算计算：\((2x + 3)(2x - 3) - (x - 2)^2\)解：① 用平方差公式计算第一项：\((2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\)；② 用完全平方公式计算第二项：\((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\)；③ 去括号并合并同类项：原式\(= 4x^2 - 9 - (x^2 - 4x + 4) = 4x^2 - 9 - x^2 + 4x - 4 = 3x^2 + 4x - 13\)。例 2：化简求值（先化简再代入）已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求下列代数式的值：（1）\(a^2 + b^2\)；（2）\((a - b)^2\)解：（1）利用完全平方公式变形：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19\)；（2）同理：\((a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 5^2 - 4×3 = 25 - 12 = 13\)。例 3：几何应用 —— 面积计算如图，一个正方形的边长为\((x + 4)\)，将其边长减少\(2\)，得到一个新正方形，求原正方形与新正方形的面积差。解：① 原正方形面积：\((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\)；② 新正方形边长：\((x + 4) - 2 = x + 2\)，面积：\((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\)；③ 面积差：\((x^2 + 8x + 16) - (x^2 + 4x + 4) = 4x + 12\)；（或用平方差公式简化：面积差 = 原面积 - 新面积 = \((x + 4)^2 - (x + 2)^2 = [(x + 4) + (x + 2)][(x + 4) - (x + 2)] = (2x + 6)×2 = 4x + 12\)）；④ 答：面积差为\(4x + 12\)。第 8 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）用公式计算：（1）\((3x + 1)(3x - 1)\) （2）\((-2y + 5)^2\) （3）\((a + b - c)(a + b + c)\)化简：\((x - 3)^2 - (x + 2)(x - 2)\)已知\(m - n = 2\)，\(mn = 1\)，求\(m^2 + n^2\)的值。提升题（选做）计算：\((2a + b - 3c)^2\)（提示：将\(2a + b\)看作整体，用完全平方公式展开）；已知\((x + y)^2 = 9\)，\((x - y)^2 = 5\)，求\(xy\)和\(x^2 + y^2\)的值；利用平方差公式计算：\(2024×2022 - 2023^2\)（提示：\(2024×2022 = (2023 + 1)(2023 - 1)\)）。第 9 页：课堂小结两个核心公式：平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)（结构：和 × 差 = 平方差，中间项抵消）；完全平方公式：\((a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2\)（结构：二项式平方 = 首 ² + 尾 ² ± 2ab，三项式）；公式应用关键：准确识别 “a”“b”（可表示数、字母、多项式，需将复杂形式转化为 “a±b” 结构）；注意符号（平方差公式的相同项与相反项，完全平方公式的交叉项符号）；思想方法：转化思想（将多项式看作整体，适配公式结构）；数形结合（用面积验证公式，直观理解本质）；知识关联：乘法公式是多项式乘多项式的特殊形式，后续学习因式分解（公式逆用）、二次函数等均需以公式为基础。第 10 页：布置作业教材 PXX 习题 8.4 第 1、2、3 题（基础公式应用与化简）；拓展题：已知\(a^2 + b^2 = 10\)，\(ab = -3\)，求\((a - b)^2\)和\((a + 2b)^2\)的值；预习：因式分解的概念，思考如何将乘法公式逆用进行因式分解（如\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)）。第 11 页：结束页感谢聆听！课后答疑：XXX@XX苏科版（2024）数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会推导完全平方公式、平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,发展运算能力.2.通过几何图形面积的计算,了解乘法公式的几何意义，感悟数形结合的思想.1.完全平方公式     用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下： 3.完全平方公式的结构特征（1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不同;（2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异. 典例1 计算：      1.平方差公式也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式.（1）用多项式乘法法则推导平方差公式2.平方差公式的推导方法  3.平方差公式的结构特征（1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;（2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.4.平方差公式的变化及应用 典例2 计算：      1. 下列各式能用平方差公式计算的是(　B　)B2. 乘积等于 a2－ b2的式子是(　C　)C3. 计算 a2－( a ＋1)( a －1)的结果是(　A　)4. [新考法 整体代入法]已知( x ＋2)( x －2)－2 x ＝1，则2 x2－4 x ＋3的值为(　A　)AA5. [母题教材P108练习T2(3)] 已知 M ＝2 0242， N ＝2 023× 2 025，则 M 与 N 的大小关系是(　A　)【点拨】∵ M ＝2 0242， N ＝2 023×2 025＝(2 024－1)(2 024＋ 1)＝2 0242－1，∴ M － N ＝2 0242－(2 0242－1)＝1＞0， ∴ M ＞ N . A  －2，－3　  8. [整体思想 2024·北京房山区二模]已知 x2－ x －1＝0，求式子( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)的值.【解】( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)＝ x2－9＋ x2－2 x ＝2 x2－2 x －9＝2( x2－ x )－9.∵ x2－ x －1＝0，∴ x2－ x ＝1，∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7.1. 下列式子中，可利用完全平方公式计算的是(　D　)D2. 如果 x2＋ kxy ＋16 y2是一个完全平方式，那么 k 的值是(　D　)D3. 如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是(　B　)B4. [母题教材P112习题T7] 若 m － n ＝－4， mn ＝9，则( m ＋ n )2＝(　A　)A ±6　36 xy 　  (2)1012＋992－98×102；【解】原式＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2)＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4)＝1002＋6＝10 006.(3)[2023山西] x ( x ＋2)＋( x ＋1)2－4 x .【解】原式＝ x2＋2 x ＋ x2＋2 x ＋1－4 x ＝2 x2＋1.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！