3.4 乘法公式（第三课时） 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：3.4 乘法公式（第三课时）—— 公式综合应用与拓展副标题：浙教版七年级下册数学・整式运算的综合提升配图：乘法公式综合应用流程图（平方差与完全平方公式结合）、复杂代数式变形示意图底部信息：核心素养目标：综合运算能力、公式迁移能力、逻辑推理能力、问题解决能力第 2 页：情境导入 —— 从 “单一公式” 到 “综合应用”旧知衔接（公式回顾 + 小测试）公式速记（学生集体回答，强化结构）：平方差公式：(a+b)(a-b) = ____（答案：a² - b²）完全平方公式：(a+b)² = ____，(a-b)² = ____（答案：a²+2ab+b²，a²-2ab+b²）快速计算（检验基础应用能力）：(2x-3)(2x+3) = ____（平方差公式，答案：4x²-9）(3a+2b)² = ____（完全平方公式，答案：9a²+12ab+4b²）情境案例（面积综合问题）问题：一个大正方形边长为 (x+3)，内部挖去一个小正方形（边长为 x-2，x>2），求剩余部分的面积（用两种方法计算）方法 1：总面积 - 挖去面积 = (x+3)² - (x-2)²（需同时用完全平方和平方差公式）方法 2：分割剩余部分为两个长方形，面积和为 (x+3)(x+3 - (x-2)) + (x-2)(x+3)（需分步计算）引发思考：两种方法结果是否一致？如何快速计算 (x+3)² - (x-2)²？引出课题：乘法公式的综合应用。第 3 页：新知探究 1—— 乘法公式的混合运算核心类型 1：完全平方公式与平方差公式结合解题思路：先判断每一步适用的公式，再按运算顺序计算（先乘方，再乘除，最后加减）例题解析：计算 (2a+b)² - (2a-b)(2a+b)步骤 1：分别展开两项(2a+b)² = 4a² + 4ab + b²（完全平方公式）(2a-b)(2a+b) = 4a² - b²（平方差公式）步骤 2：去括号并合并同类项原式 = 4a² + 4ab + b² - 4a² + b² = 4ab + 2b²技巧总结：去括号时注意符号变化，同类项合并要准确（如 b² - (-b²)=2b²）核心类型 2：多个公式连续应用例题解析：计算 (x+y)(x-y)(x² - y²)步骤 1：先算前两项（平方差公式）(x+y)(x-y) = x² - y²步骤 2：再与第三项相乘（完全平方公式，将 x² 看作 “首”，y² 看作 “尾”）(x² - y²)(x² - y²) = (x² - y²)² = x⁴ - 2x²y² + y⁴易错提醒：避免第二步直接展开为 x²・x² - x²・y² - y²・x² + y²・y²，虽结果一致，但用完全平方公式更简便第 4 页：新知探究 2—— 乘法公式的拓展变形变形 1：代数式求值（已知 a±b、ab，求复杂代数式）常用变形公式（推导过程 + 记忆技巧）：a² + b² = (a+b)² - 2ab = (a-b)² + 2ab（“平方和 = 和平方减两倍积，或差平方加两倍积”）(a+b)² + (a-b)² = 2 (a² + b²)（“和平方加差平方，等于两倍平方和”）(a+b)² - (a-b)² = 4ab（“和平方减差平方，等于四倍积”）例题解析：已知 a+b=5，ab=3，求：(1) a² + b²；(2) (a-b)²；(3) a⁴ + b⁴解答：(1) a² + b² = (a+b)² - 2ab = 5² - 2×3 = 25 - 6 = 19(2) (a-b)² = (a+b)² - 4ab = 25 - 12 = 13（或用 a² + b² - 2ab=19-6=13）(3) a⁴ + b⁴ = (a²)² + (b²)² = (a² + b²)² - 2 (ab)² = 19² - 2×3² = 361 - 18 = 343变形 2：公式的逆向应用（因式分解雏形，为后续学习铺垫）例题解析：已知 x² - 6x + 9，用完全平方公式逆向写成平方形式分析：x² - 6x + 9 = x² - 2×x×3 + 3² = (x - 3)²（对比完全平方公式，“首” x，“尾” 3，中间项 - 6x=-2×x×3）小练习：将下列式子写成平方或平方差形式：4a² + 12ab + 9b² = ____（答案：(2a+3b)²）9x² - 16y² = ____（答案：(3x-4y)(3x+4y)）第 5 页：例题解析 —— 复杂场景下的公式应用题型 1：含多项式底数的综合运算例题：计算 [(x+y) - 3][(x+y) + 3] - (x-y)²步骤 1：将 (x+y) 看作整体，用平方差公式算前两项[(x+y)-3][(x+y)+3] = (x+y)² - 3² = x² + 2xy + y² - 9步骤 2：展开 (x-y)²(x-y)² = x² - 2xy + y²步骤 3：合并同类项原式 = x² + 2xy + y² - 9 - (x² - 2xy + y²) = x² + 2xy + y² - 9 - x² + 2xy - y² = 4xy - 9技巧：用 “整体思想” 将多项式底数看作单个字母，简化公式应用题型 2：实际问题中的综合应用例题：某工厂生产正方形零件，原边长为 a，现进行技术改进：方案 1：边长增加 3cm，再将面积扩大 2 倍；方案 2：边长先扩大 2 倍，再增加 3cm。求两种方案最终的零件面积（用含 a 的式子表示），并比较哪种方案面积更大（a>0）解答：方案 1 面积：2 (a+3)² = 2 (a² + 6a + 9) = 2a² + 12a + 18方案 2 面积：(2a + 3)² = 4a² + 12a + 9比较大小：方案 2 面积 - 方案 1 面积 = (4a² + 12a + 9) - (2a² + 12a + 18) = 2a² - 9当 a > (3√2)/2 时，方案 2 面积大；当 a = (3√2)/2 时，面积相等；当 0 < a < (3√2)/2 时，方案 1 面积大关键：用公式准确表示面积，通过作差法比较大小，体现数学与实际的结合第 6 页：易错辨析与解题技巧常见易错点（案例警示）运算顺序错误：计算 (2x+1)² - 4x (x+2) 时，先算减法再算乘法（错误，应先算乘方和乘法，再算减法）错误计算：(2x+1 - 2√x (x+2))²（无意义）；正确计算：4x²+4x+1 - 4x²-8x = -4x+1变形公式记错：已知 a-b=4，ab=2，求 a² + b² 时，误算为 (a-b)² - 2ab=16-4=12（错误，正确应为 (a-b)² + 2ab=16+4=20）整体思想应用失误：计算 (x+y+z)(x+y-z) 时，未将 (x+y) 看作整体，直接逐项相乘导致漏项（正确：(x+y)² - z²=x²+2xy+y² - z²）解题技巧总结（口诀 + 图示）公式选择口诀：“两式和乘两式差，平方差公式直接拿；两式同号平方算，完全平方分和差”整体思想技巧：遇到多项式底数（如 x+y、2a-b），用括号标注为 “整体”，按单个字母套用公式（如 (x+y)² 看作 “整体 ²”）代数式求值步骤：“先找已知关系式，再推变形公式，最后代入计算”（如求 a⁴+b⁴，先找 a²+b²，再找 ab）第 7 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做，强化综合运算）计算：(1) (3x-2y)² - (3x+2y)(3x-2y)；(2) (a+b)(a-b)(a² + b²)已知 m-n=3，mn=4，求：(1) m² + n²；(2) (m+n)²提升题（选做，拓展思维）计算：(x+2y-3z)² - (x-2y+3z)²（提示：用平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 简化）一个长方形的长比宽多 2，面积为 35，设宽为 x，用乘法公式求长方形的周长（提示：先列方程 x (x+2)=35，再求 (x+(x+2))×2）第 8 页：课堂小结与作业布置知识梳理（思维导图核心节点）乘法公式综合应用├─ 公式混合运算：完全平方+平方差、多公式连续用├─ 公式变形拓展：│ ├─ 求值变形：a²+b²=(a±b)²∓2ab、(a±b)²关系│ └─ 逆向变形：多项式→平方/平方差形式├─ 关键思想：整体思想（多项式底数看作整体）├─ 易错点：运算顺序、公式记错、整体应用失误└─ 实际应用：面积计算、方案比较、代数式求值作业布置教材习题 3.4 第 8、9、10 题（基础综合题，规范书写步骤）拓展题（选做）：已知 (x+y)²=17，(x-y)²=13，求 x²+y² 和 xy 的值；若 x²+y²=25，xy=12，求 x+y 和 x-y 的值（注意正负性）实践任务：观察生活中的矩形或正方形物体（如桌面、书本），设计一个含乘法公式应用的问题（如切割后求面积），并写出解答过程第 9 页：结束页标语：“公式综合别慌张，先选公式再算方；整体思想来帮忙，变形求值更顺畅”学习提示：下节课将进入 “因式分解” 章节，因式分解是整式乘法的逆运算，可提前回顾乘法公式的逆向应用（如 x²-4=(x-2)(x+2)）配图：乘法公式综合应用知识图谱（含混合运算、变形、思想、应用）2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 添括号法则： 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.括号里面的各项不变号括号前面是正号括号里面的各项都变号括号前面是负号a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)重点：(1)在使用添括号法则时，要明确括到括号里的是哪些项，括号前面的符号是正号还是负号；(2)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的，在学习添括号法则时，可与去括号法则相比较，注意不要只改变括号内部分项的符号；(3)添括号比去括号容易出错，特别是当括号前添“-”号时，添括号后是否正确，可利用去括号法则检验.添括号法则：例5 运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.解: (1)原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)](2)原式= [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)= x2-4y2+12y-9.= (a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.1．判断下列运算是否正确． （1）2a-b+c=2a-（b+c） （2）m-3n+a-b=m+（3n+a-b） （3）2x-5y+4=-（2x+5y-4） （4）3a-2b-4c+5=（3a-2b）-（4c-5）×××√2.在括号内填上适当的项：(1)a-2b-c+d=a-( ) ;(2)a-2b+c-d=a-2b+( ) . 解析：(1)所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号，故a-2b-c+d=a-(2b+c-d) ;(2)所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号，故a-2b+c-d=a-2b+(c-d) . 2b+c-dc-d2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( ) A．(a-b)2 B．(-a-b)2 C．-(a＋b)2 D．-(a-b)21.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　） A．a2-4a+4 B．a2-4a+2 C．a2-2 D．a2+4a-4 AD3.计算：(1)(2a-b＋c)2； (2)(1-2x＋y)(1＋2x-y)．=1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式=[(2a-b)＋c]2=(2a-b)2＋c2＋2(2a-b)c=4a2-4ab＋b2＋c2＋4ac-2bc；(2)原式=[1＋(-2x＋y)][1-(-2x＋y)]=12－(－2x＋y)21.若a+b=3,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.2.已知x+y=8,x-y=2,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=32-2×(-6)=21；a2-ab+b2=a2+b2-ab=21-(-6)=27.解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=2, ∴(x-y)2=4,即x2+y2-2xy=4②;由①-②得4xy=60∴xy=15.1. 下列各式中，与( a － b ＋ c )2的值不相等的是(　A　)A2. 在下列式子的变形中，错误的是(　C　)C3. 规定三角“ ”表示 abc ，方框“ ”表示 xm ＋ yn .例如： ÷ ＝1×19×3÷(24＋31)＝3.若代数式 ＋ 为完全平方式，则 k 的值是(　B　)B4已知 a ＋ b ＝3， ab ＝2，则 a2＋ b2－3 ab 的值为 ⁠.5. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：－1　根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值.【解】小红说得对.理由：( x ＋2 y )( x －2 y )－( x ＋3 y )2＋6 xy ＝ x2－4 y2－( x2＋6 xy ＋9 y2)＋6 xy ＝ x2－4 y2－ x2－6 xy －9 y2＋6 xy ＝－13 y2.∵化简结果中不含 x ，所以代数式的值与 x 取值无关.∴小红说得对.当 y ＝－1时，原式＝－13 y2＝－13×(－1)2＝－13.6. 计算：(1)[( x ＋2)( x －2)]2；【解】原式＝( x2－4)2＝ x4－8 x2＋16.(2)( m －2 n ＋ p )2；【解】原式＝( m －2 n )2＋2( m －2 n )× p ＋ p2＝ m2－4 mn ＋4 n2＋2 mp －4 np ＋ p2.(3)(2 x － y ＋3)(2 x ＋ y －3)；【解】原式＝[2 x －( y －3)]·[2 x ＋( y －3)]＝(2 x )2－( y －3)2＝4 x2－ y2＋6 y －9.(4)(－2 a ＋3 b ＋5 c )(2 a ＋3 b －5 c ).【解】原式＝[3 b ＋(5 c －2 a )][3 b －(5 c －2 a )]＝(3 b )2－(5 c －2 a )2＝9 b2－(25 c2－20 ac ＋4 a2)＝9 b2－25 c2＋20 ac －4 a2.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！