浙教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课后作业题

这是一份浙教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课后作业题，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．等式−3a2−4b2=16b4−9a4中，括号内应填入的是（ ）
A．3a2−4b2B．4b2−3a2C．−3a2−4b2D．3a2+4b2
2．下列各式可以用平方差公式的是（ ）
A．−a+4ca−4cB．x−2y2x+y
C．−3a−11−3aD．−2x−y2x+y
3．下列运算：①3x+y2=9x2+y2；②a−2b2=a2−2ab+4b2；③−x−y2=x2+2xy+y2．其中，运算错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．若a4=3，则1−a1+a1+a2的值为（ ）
A．4B．2C．−4D．−2
5．如图，把一个长、宽分别为a+b、a−b的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．aa+b=a2+abB．a−b2=a2−2ab+b2
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a+ba−b=a2−b2
6．图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若a,b,c,d,e代表对应被遮住的数字，则代数式ab−cd的值为（ ）
A． −48B． −50C．48D．50
7．如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．25B．5C．15D．10
8．有n个依次排列的整式，第一个整式为9x2，第二个整式为9x2+6x+1，第二个整式减去第一个整式的差记为a1，将a1+2记为a2，将第二个整式加上a2作为第三个整式，将a2+2记为a3，将第三个整式与a3相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的有（ ）个
①a4=6x+7；②若第三个整式与第四个整式的和为25，则x=2或x=−13；③第2025个整式为3x+20242．
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（满分24分）
9．多项式1+4x2加上一个单项式后，成为一个完全平方式，请填空：1+4x2+__=（_）2．
10．如果a+b=2026，a−b=1，那么a2−b2= _________．
11．已知M=20242,N=2023×2025，则M与N的大小关系是________
12．计算a+2a−2−a−12的结果是__________．
13．方程2(x−3)(x+3)=2(x−1)2+2x的解是______．
14．小北将2024x+20232展开后得到a1x2+b1x+c1；小湖将2023x−20242展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则b1+b2的值为______．
15．4个数a，b，c，d排列成abcd，规定它的运算法则为：abcd =ad−bc．若x+3x−3x−3x+3 =12，则x=___．
16．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了2m+nm+n=2m2+3mn+n2．观察图②，请你写出三个代数式m+n2、m−n2、mn之间的等量关系是_______．
三、解答题（满分72分）
17．计算：
(1)4x−12y2；
(2)2m−13m+1．
18．用乘法公式计算：
(1)3a−b2−a−3ba+3b
(2)a−2b+1a+2b+1
(3)51×49
(4)1012
19．先化简，再求值：
(1)a+12ba−12b−a−12b2，其中a=3，b=−2．
(2)9x−y2−3x−y3x+y，其中x=12，y=1．
20．如图，某广场有一块长为3a+2b米，宽为2a+b米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为a−b米的小正方形空地．
(1)用含a、b的代数式表示绿化部分的总面积；
(2)若a=4，b=3，求出绿化部分的总面积．
21．探究规律：
观察下列等式：
第1个等式：x−1x+1=x2−1
第2个等式：x−1x2+x+1=x3−1
第3个等式：x−1x3+x2+x+1=x4−1……
(1)写出第4个等式：x−1x4+x3+x2+x+1=；
(2)根据上述规律，猜想：x−1xn+xn−1+……+x+1= （n为正整数）；
(3)利用（2）中的猜想，计算：22025+22024+······+2+1．
22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作可以得到一个公式：_______．
(2)利用你得到的公式，计算：20252−2024×2026．
(3)计算：4050×1−1221−1321−142⋅⋅⋅1−1202421−120252．
23．阅读材料：
若x满足(9−x)(x−4)=4，求(9−x)2+(x−4)2的值．
解：设9−x=a,x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4,a+b=(9−x)+(x−4)=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17．
类比应用：
(1)若(3−x)(x−2)=−1，求(3−x)2+(x−2)2的值；
(2)若(n−2024)2+(2023−n)2=10，则(n−2024)(2023−n)的值为________；
(3)已知正方形ABCD的边长为a，点P和点R分别是边AB和CD上的点，且AP=4,CR=2，分别以BP和DR为边长作正方形PBEF和正方形DMNR．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形PBEF和正方形DMNR的面积和．
参考答案
1．A
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：−3a2−4b23a2−4b2=−4b2−3a2−4b2+3a2=−4b22−3a22=16b4−9a4，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．平方差公式为 a2−b2=a+ba−b，找出可化为该形式的选项即可．
【详解】解：A：−a+4ca−4c=−(a−4c)2，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意；
B：x−2y2x+y，无相同项也无互为相反数的项，不可用平方差公式，故此选项不符合题意；
C：−3a−11−3a=(−3a)2−12，符合平方差公式，故此选项符合题意；
D：−2x−y2x+y=−(2x+y)2，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2是解题的关键．
根据完全平方公式逐个判断即可．
【详解】解：①3x+y2=9x2+6xy+y2，故①错误；
②a−2b2=a2−4ab+4b2，故②错误；
③−x−y2=x2+2xy+y2，故③正确．
综上，错误的有2个．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，先将1−a1+a1+a2化成1−a4，再将a4=3代入即可.
【详解】解：原式=1−a21+a2=1−a4
∵a4=3
∴原式=1−3=−2
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别计算出两幅图中的阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：左边那幅图的阴影部分的面积为a+ba−b，
右边那幅图的阴影部分的面积为a2−b2，
∵两幅图中的阴影部分的面积相等，
∴a+ba−b=a2−b2，
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，正确设出未知数，熟练运用平方差公式是解题的关键；设e代表对应被遮住的数字为x， 则a代表的数字是：x−1，b代表的数字是：x+1，c代表的数字是：x−7，d代表的数字是：x+7，即可得出ab−cd=(x+1)(x−1)−(x−7)(x+7)，然后利用平方差公式展开即可得出答案．
【详解】解：设e代表对应被遮住的数字为x，则a代表的数字是：x−1，b代表的数字是：x+1，c代表的数字是：x−7，d代表的数字是：x+7，
∴ab−cd=(x+1)(x−1)−(x−7)(x+7)=x2−1−(x2−49)=x2−1−x2+49=48，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，
先设AB=x，CD=y，根据题意求出x+y=10,x2+y2=90，再根据完全平方公式的变形得(x+y)2=x2+y2+2xy，然后整体代入求出答案.
【详解】解：设AB=x，CD=y，根据题意，得
2×4x+2×4y=802x2+2y2=180
∴x+y=10,x2+y2=90.
∵(x+y)2=x2+y2+2xy，
∴102=90+2xy，
解得xy=5，
所以长方形ABCD的面积为AB⋅CD=xy=5.
故选：B.
8．B
【分析】本题考查了规律型，整式的加减，根据已知条件找到规律即可解决，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ 第一个整式为9x2，第二个整式为9x2+6x+1，第二个整式减去第一个整式的差记为a1，
∴ a1=9x2+6x+1−9x2=6x+1，
∴a2=a1+2=6x+3，
∴a3=a2+2=6x+5，
…，
∴an=an−1+2，
∴ a4=a3+2=6x+5+2=6x+7，故①符合题意；
∵第二个整式加上a2作为第三个整式，
∴第三个整式为9x2+6x+1+6x+3=9x2+12x+4=(3x+2)2，
∵第三个整式与a3相加记为第四个整式，
∴第四个整式9x2+12x+4+6x+5=9x2+18x+9=(3x+3)2，
第三个整式与第四个整式的和为9x2+12x+4+9x2+18x+9=18x2+30x+13，
则18x2+30x+13=25，
∴3x2+5x−2=0，
Δ=52−4×3×−2=49，
∴x=−5±76，
解得：x=13或x=−2，故②不符合题意；
第一个整式为9x2=3x2，
第二个整式为9x2+6x+1=3x+12，
第三个整式为9x2+6x+1+6x+3=9x2+12x+4=(3x+2)2，
第四个整式9x2+12x+4+6x+5=9x2+18x+9=(3x+3)2，
…，
∴第n个整式为(3x+n−1)2，
∴ 第2025个整式为(3x+2025−1)2=(3x+2024)2，故③符合题意；
综上，正确结论有①和③，共2个．
故选：B．
9．4x4，1+2x2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的形式解答即可．
【详解】解：多项式1+4x2+4x4=(1+2x2)2，是一个完全平方公式；
多项式1+4x2±4x=(1±2x)2，是一个完全平方公式．
故答案为：4x4，1+2x2（答案不唯一）．
10．2026
【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：根据平方差公式，得a2−b2=a+ba−b，
∵a+b=2026，a−b=1，
代入上式得=2026×1=2026．
11．M>N/N0，
∴M>N．
12．2a−5/−5+2a
【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：a+2a−2−a−12
=a2−4−a2−2a+1
=a2−4−a2+2a−1
=2a−5，
故答案为：2a−5．
13．x=10
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键，利用公式法计算即可．
【详解】解：2x−3x+3=2x−12+2x，
移项，2x2−9−2x2−2x+1−2x=0，
2x2−18−2x2+4x−2−2x=0，
合并同类项并计算得：2x−20=0，
解得：x=10．
故答案为： 10．
14．0
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握“完全平方公式”是解本题的关键．根据完全平方公式可得b1=2×2024×2023x，b2=−2×2023×2024x，从而可得答案．
【详解】解：2024x+20232展开可得：b1=2×2024×2023x，
2023x−20242展开可得：b2=−2×2023×2024x，
∴b1+b2=2×2024×2023−2×2023×2024x=0，
故答案为：0．
15．1
【分析】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程求解x的值．本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键．
【详解】解：利用题中新定义得：x+32−x−32=12，
整理得：12x=12，
解得：x=1．
故答案为：1．
16．m+n2−4mn=m−n2，m+n2−m−n2=4mn，m−n2+4mn=m+n2
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键．大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式m+n2、m−n2、mn之间的等量关系；依此即可求解．
【详解】解：观察图②可知，代数式m+n2、m−n2、mn之间的等量关系式：m+n2−4mn=m−n2；m+n2−m−n2=4mn；m−n2+4mn=m+n2．
故答案为：m+n2−4mn=m−n2；m+n2−m−n2=4mn；m−n2+4mn=m+n2．
17．(1)16x2−4xy+14y2
(2)6m2−m−1
【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相关知识点并正确计算，即可求解．
（1）根据完全平方公式展开，即可求解．
（2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，即可求解．
【详解】（1）解：4x−12y2=16x2−4xy+14y2．
（2）解：2m−13m+1=6m2+2m−3m−1=6m2−m−1．
18．(1)8a2−6ab+10b2
(2)a2+2a+1−4b2
(3)2499
(4)10201
【分析】此题考查了乘法公式在计算中的应用，熟练掌握公式和灵活变形是解题的关键．
（1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）变形后利用平方差公式计算即可；
（4）变形后利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：3a−b2−a−3ba+3b
=9a2−6ab+b2−a2−9b2
=9a2−6ab+b2−a2+9b2
=8a2−6ab+10b2；
（2）解：a−2b+1a+2b+1
=a+1−2ba+1+2b
=a+12−2b2
=a2+2a+1−4b2
=a2+2a+1−4b2；
（3）解：51×49
=50+1×50−1
=502−12
=2500−1
=2499；
（4）解：1012
=100+12
=1002+2×100×1+12
=10000+200+1
=10201．
19．(1)ab−12b2，−8
(2)−18xy+10y2，1
【分析】本题考查了整式的化简与求值，涉及平方差公式、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
（1）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把a=3，b=−2代入计算即可；
（2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把x=12，y=1代入计算即可．
【详解】（1）解：a+12ba−12b−a−12b2
=a2−14b2−a2−ab+14b2
=a2−14b2−a2+ab−14b2
=ab−12b2，
当a=3，b=−2时，
原式=3×−2−12×−22=−6−2=−8；
（2）解：9x−y2−3x−y3x+y
=9x2−2xy+y2−9x2−y2
=9x2−18xy+9y2−9x2+y2
=−18xy+10y2，
当x=12，y=1时，
原式=−18×12×1+10×12=−9+10=1．
20．(1)3a2+13ab−b2平方米
(2)195平方米
【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案；
（2）把a=4，b=3代入（1）中进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：3a+2b2a+b−3a−b2
=6a2+3ab+4ab+2b2−3a2−2ab+b2
=6a2+3ab+4ab+2b2−3a2+6ab−3b2
=3a2+13ab−b2平方米，
答：绿化部分的总面积为3a2+13ab−b2平方米；
（2）解：当a=4，b=3时，
3a2+13ab−b2=3×42+13×4×3−32=195（平方米）．
答：绿化部分的总面积为195平方米．
21．(1)x5−1
(2)xn+1−1
(3)22026−1
【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
（1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可；
（2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可；
（3）根据（2）中规律可得2−122025+22024+······+2+1根据规律求解即可．
【详解】（1）解：根据规律x−1x4+x3+x2+x+1=x5−1；
（2）解：根据规律：x−1xn+xn−1+……+x+1=xn+1−1；
（3）解：原式=2−122025+22024+······+2+1=22026−1．
22．(1)a2−b2=a+ba−b
(2)1
(3)2026
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．
（1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a−b，因此面积为a+ba−b，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式；
（2）将2024×2026写为2025−12025+1，利用平方差公式即可求解；
（3）根据a2−b2=a+ba−b把所求式子先裂项，再计算求解即可．
【详解】（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为a+b，宽为a−b，
∴长方形的面积为a+ba−b，
∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，
∴图1中阴影部分的面积为a2−b2，
∵图1和图2阴影部分的面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b．
故答案为：a2−b2=a+ba−b．
（2）解：原式=20252−2025−12025+1
=20252−20252−1
=20252−20252+1
=1；
（3）解：原式=4050×1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×⋯×1−12024×1+12024×1−12025×1+12025 =4050×12×32×23×43×34×54×⋯×20232024×20252024×20242025×20262025
=4050×12×20262025
=2026．
23．(1)3
(2)−92
(3)12
【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式．
（1）根据例题方法直接求解即可得到答案；
（2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案；
（3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案．
【详解】（1）设3−x=p,x−2=q，
则(3−x)(x−2)=pq=−1,(3−x)+(x−2)=p+q=1，
∴(3−x)2+(x−2)2=p2+q2=(p+q)2−2pq=12−2×(−1)=3；
（2）设n−2024=r,2023−n=s，
则(n−2024)2+(2023−n)2=r2+s2=10，
(n−2024)+(2023−n)=r+s=−1,，
∵r2+s2=(r+s)2−2rs
∴(n−2024)(2023−n)=rs=(r+s)2−r2+s22=1−102=−92
（3）由题意可知：
BP=AB−AP=a−4,DR=CD−CR=a−2,．
∴(a−4)−(a−2)=−2
图中阴影部分的面积为(a−4)(a−2)=4，
则正方形PBEF和正方形DMNR的面积和为(a−4)2+(a−2)2=[(a−4)−(a−2)]2+2(a−4)(a−2)=(−2)2+2×4=12．