福建省泉州市自然门中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市自然门中学八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，完成时间120分钟）
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可．
【详解】解：，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，但B中不含字母，不是分式；
，形式为，且B中不含有字母，不是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
故一共有2个分式．
故选B
2. 若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于0求解即可得到答案；
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
3. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，最简分式；
根据最简分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.，不是最简分式；
B.，是最简分式；
C.，不是最简分式；
D.，不是最简分式；
故选：B．
4. 无论x取什么数，总有意义的分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义，即分母不能为0，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵无论x取什么数，总有意义
∴分母一定不为0
A、的分母为，当时，分母为0，故该选项是错误的；
B、的分母为，当时，分母为0，故该选项是错误的；
C、的分母为，无论取任意实数，分母都不为0，故该选项是正确的；
D、的分母为，当时，分母为0，故该选项是错误的；
故选：C
5. 如果把分式（、均不为且）中的和都变为原来的倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的倍B. 不变
C. 变为原来的D. 变为原来的倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式基本性质；
根据题意列出算式，然后进行化简，再和原式比较即可．
【详解】解：把分式中的和都变为原来的倍为：，
即分式的值变为原来的倍，
故选：A．
6. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：D
7. 对于分式，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
8. 下列方程中是分式方程的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用分式方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误；
B、，是一元一次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项错误；
D、，是分式方程，正确．
故选：D．
9. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A. B. 5C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根问题，分式方程的增根使分式的分母为0，同时是分式方程化为整式方程的根，据此先求出增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入即可求出a的值．
【详解】解：关于x分式方程有增根，令得，
分式方程的增根为，
将代为整式方程为：，
将代入，得，
解得，
故选D．
10. 劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包个，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，根据等量关系即可列出方程.
【详解】解：设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，由题意可得：
故选：A．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 将分式约分后的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：
12. 分式的最简公分母是____________________．
【答案】
【解析】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式的最简公分母为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
13. 使得分式值为零的的值是_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为的条件是：分子为，分母不为，两个条件需同时具备，缺一不可，据此即可得答案，解题的关键是熟练掌握分式的值为的条件．
【详解】解：要使得分式，
则且，
解得，
故答案为：．
14. 若代数式与代数式互为相反数，则x的值是______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，正确理解题意建立方程是解题关键．根据互为相反数的两个数的和为0得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式与代数式互为相反数，
∴，
∴
解得，
经检验是原方程的解，
故答案为：11．
15. 已知非零实数x，y满足，则的值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
由，可得，然后整体代入，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
16. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了分式方程，先解分式方程，再根据方程的解为正数，得不等式，求解不等式即可，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
【详解】解：
∵方程的解为正数，且
且
且
故答案为：且．
三、简答题（共86分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握分式运算法则．
（1）根据同分母分式加减法则计算即可；
（2）先变形，然后根据同分母分式加减法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
（1）先把各分式的分子、分母因式分解，然后约分即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
详解】解：

当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】（1）方程两边都乘以x（x+1）得出方程，求出方程的解，再代入x（x+1）进行检验即可；
（2）方程两边都乘以（x2-1）得出，求出方程的解，再代入（x2-1）进行检验即可．
【详解】（1）
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
（2）
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，．
所以，原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式分式，注意解分式方程一定要进行检验．
21. 已知．
（1）化简A；
（2）当满足不等式组，且为整数时，求A的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
=；
（2）解不等式得，
解不等式得，
故不等式组的解集为1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝中x≠1，
∴当x＝1时，A＝无意义．
②当x＝2时，
A＝＝
【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则．
22. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：

同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元．
【解析】
【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可．
【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得：
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
当时，．
答：篮球的单价为元，排球的单价为元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键．
23. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②．
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）如果分式的值为整数，求整数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，分式的加减运算；
（1）参照范例进行解答即可；
（2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：原式
，
∵原分式的值为整数，且为整数，
∴，
∴或．
24. 【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以．
【思考】若等式成立，求下列各式的值：
（1） ， ．
（2）先计算 ，把计算结果作为公式，求的值．
【答案】（1）14；194
（2）；52
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值；
（2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴．
故答案为：14；194．
【小问2详解】
解：
，
即，
∴
．
25. 某水果超市两次去批发市场采购同一品种的苹果，第一次用800元购进了若干千克，很快实完，第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了．
（1）求第一次购买苹果的进价；
（2）求第二次购买苹果的数量；
（3）该水果超市按以下方案卖出第二次购买的苹果；先以a元/千克的价格售出m千克，再以15元/千克的价格售出剩余的全部苹果（不计损耗），共获利1500元，若a，m均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，直接写出a和m的值．
【答案】（1）第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克
（2）200千克 （3），
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设第一次购买苹果的进价为元，根据第二次用2200元所购数量比第一次多120千克，且每千克的进价比第一次提高了，列出分式方程进行求解即可；
（2）用总价除以进价，求出数量即可；
（3）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出二元二次方程，用含的代数式表示出的值，根据a不超过第二次进价的2倍，求出的范围，求出的正整数解即可．
【小问1详解】
解：设第一次购买苹果的进价为元/千克，则：第二次购买的进价为元/千克，
由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程解，
∴，
答：第一次购买苹果的进价为10元/千克，第二次购买的进价为11元/千克；
【小问2详解】
第二购买的数量为（千克）；
【小问3详解】
由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵均为正整数，