江苏省扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试题 （含答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知△AOB∽△DOC，下列比例式正确的是( )
A. ABCD=OAAC
B. OAOC=OBOD
C. ABCD=OBOC
D. OAOB=OCOD
【答案】C
【解析】解：∵△AOB∽△DOC，
∴ABCD=OAOD=OBOC，
∴OAOB=ODOC，
∴C正确，符合题意；A、B、D错误，不符合题意．
故选：C．
根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可．
本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
2.解一元二次方程x2−8x+1=0，配方后正确的是( )
A. (x−4)2=15B. (x+4)2=15C. (x−4)2=7D. (x−4)2=17
【答案】A
【解析】解：x2−8x+1=0，
∴x2−8x=−1，
∴x2−8x+16=−1+16，
∴(x−4)2=15，
故选：A．
依据题意，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查的是解一元二次方程−配方法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
3.已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，则OP的长可能是( )
A. 1B. 2C. 5D. 8
【答案】D
【解析】解：∵点P在⊙O外，⊙O的半径为5，
∴OP>5，
∴OP的长可能是8，
故选：D．
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔dBC)，已知AB=10cm，则AC长为( )
A. (5− 5)cm
B. (5+ 5)cm
C. (5+5 5)cm
D. (5 5−5)cm
【答案】D
【解析】解：∵点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=10cm，
∴AC= 5−12AB= 5−12×10=5( 5−1)=(5 5−5)cm，
∴AC的长为(5 5−5)cm．
故选：D．
根据题意，得到比例关系ACAB= 5−12，将AB=10cm代入，即可解决本题．
本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键．
5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：∵小正方形的边长均为1，
∴△ABC三边分别为2， 2， 10，
同理：A中各边的长分别为： 5，3， 2；
B中各边长分别为： 2，1， 5；
C中各边长分别为：1、2 2， 5；
D中各边长分别为：2， 5， 13；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 2，
故选：B．
小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
6.已知关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，则此方程必有一个根为( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
【答案】C
【解析】解：∵ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，
∴当x=−1时，a−b+c=0，
∴此方程必有一个根为−1，
故选：C．
根据ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，可判断当x=−1时满足条件，于是判断出方程的根．
本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好a−b+c=0的条件，此题比较简单．
7.若α，β是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )
A. 2024B. 2022C. −2024D. 4048
【答案】B
【解析】解：∵α是方程x2+2x−2024=0实数根，
∴α2+2α−2024=0，
∴α2+2α=2024，
∴α2+3α+β
=α2+2α+α+β
=2024+α+β，
∵α，β是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，
∴α+β=−2，
∴原式=2024−2
=2022．
故选：B．
先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到α2+2α=2024，α+β=−2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F为BC的四等分点，E为OC的中点.若EF=4，则CD的长是( )
A. 8
B. 10
C. 14
D. 16
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，OC=12AC，
∵F为BC的四等分点，
∴CFBC=14，
∵E为OC的中点，
∴CE=12OC=14AC，
∴CFBC=CEAC=14，
又∵∠ECF=∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC=14，
∴AB=4EF=4×4=16，
∴CD=AB=16，
故选：D．
先根据平行四边形的性质可得CD=AB，OC=12AC，再证出△CEF∽△CAB，根据相似三角形的性质可得EFAB=CEAC=14，求出AB的长，由此即可得．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a=3cm，b=5cm，c=2cm，则d=______cm．
【答案】103
【解析】解：∵a，b，c，d四条线段成比例，
∴ab=cd，
∴d=5×23=103(cm)，
故答案为：103．
根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可．
本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系．
10.如图，a/​/b/​/c，若ADDF=32，BC=9，则CE= ．
【答案】6
【解析】解：∵a/​/b/​/c，ADDF=32，
∴BCCE=ADDF=32，
∴CE=23BC，
∵BC=9，
∴CE=23×9=6，
故答案为：6．
根据平行线分线段成比例定理可得BCCE=ADDF=32，从而可得CE=23BC，代入计算即可得．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
11.已知▵ABC∽▵DEF，▵ABC与▵DEF的周长比为1:4.若BC=1，则EF的长为 ．
【答案】4
【解析】 本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵▵ABC∽▵DEF，▵ABC与▵DEF的周长比为1:4，
∴▵ABC与▵DEF相似比为1:4，即BCEF=14，
∵BC=1，
∴EF=4，
故答案为：4．
12.如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则OD= ．
【答案】53cm
【解析】解：连接OA，
设OA=r(cm)，
则OC=OA=r(cm)，
∵点D为弦AB的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，
∵AB=8(cm)，
∴AD=BD=12AB=4(cm)，
∵CD=6(cm)，
∴OD=CD−OC=(6−r)(cm)，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，
∴r2=(6−r)2+42，
解得r=133，
∴OD=53(cm)，
故答案为：53cm．
连接OA，设OA=r(cm)，根据CD的长计算出OD的长，根据点D为弦AB的中点，O为圆心得到OD⊥AB，从而求出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值，即可求出OD的长．
本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键算．
13.已知m是一元二次方程x2−4x+4=0的一个根，则24+m2−4m的值为 ．
【答案】20
【解析】解：∵m是一元二次方程x2−4x+4=0的一个根，
∴m2−4m+4=0，
∴m2−4m=−4，
∴24+m2−4m=24+(−4)=20，
故答案为：20．
根据题意易得：m2−4m+4=0，从而可得m2−4m=−4，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部.如图曲杰的身高为1.65米，他估计自己眼睛距离地面的距离为1.6米，同时测得LM=0.4米，MS=5.5米，则楼高TS为 米.
【答案】22
【解析】解：根据题意，
∵∠KLM=∠TSM=90°，∠KML=∠TMS(反射角等于入射角)，
∴△KLM∽△TSM，
∴KLTS=LMSM，即1.6TS=0.45.5，
∴TS=20．
所以这栋大楼高为22米．
故答案为：22．
根据镜面反射的性质，△KLM∽△TSM，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
15.对于实数a，b，定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【答案】−14
【解析】解：∵a※b=ab2−b，
∴1※x=x2−x，
∵1※x=k，
∴x2−x=k，
∴x2−x−k=0，
∵关于x的方程1※x=k有两个相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−k)=0，
解得：k=−14，
故答案为：−14．
根据新运算定义，得到关于x的方程x2−x−k=0，再根据方程有两个相等的实数根求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δb时，max{a,b}=a；当a≤b时，max{a,b}=b，如max{1,−2}=1，则方程max{x,x+2}=x2−4的解为 ．
【答案】x=−2或x=3
【解析】解：∵x+2>x，
∴max{x,x+2}=x2−4=x+2，
∴(x+2)(x−2−1)=0，
∴x=−2或x=3，
故答案为：x=−2或x=3．
根据因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法、实数的比较大小，掌握因式分解是解题的关键．
17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°；∠CAB=40°，D是直线AB上的一个动点，连结CD，将△CDB沿着CD翻折得到△CDE，当DE与△ABC的边垂直时，∠CDB的度数是 ．
【答案】45°或65°或25°
【解析】解：当D点在线段AB上且DE⊥AB时，
由折叠可知：∠E=∠ABC=90°，
∴∠BCE=90°，
由折叠可知：∠ECD=∠BCD=12∠ECB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CDB=∠BCD=45°；
当D点在线段AB上且DE⊥AC时，
由折叠的性质可得∠DCE=∠BCD=12(90°−40°)=25°，
∴∠CDB=90°−∠BCD=90°−25°=65°；
当D点在线段AB延长线上且DE⊥AB时，
同理可得∠CDB=45°；
当D点在线段AB延长线上且DE⊥AC时，
∴∠AED=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ADE=50°；
∴由折叠的性质可得∠CDB=∠EDC=12∠ADE=25°；
综上，当DE与△ABC的边垂直时，∠CDB的度数是45°或65°或25°．
故答案为：45°或65°或25°．
分当D点在线段AB上时，当点D在线段AB延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，掌握三角形折叠中的角度问题是解题的关键．
18.如图四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=3，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：3，连接DG、BE、BG，求3BG+BE的最小值 ．
【答案】 130
【解析】解：延长AD至H，使DH=23.并过G作直线GM⊥DH于M．
∴∠DMG=90°．
在矩形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠A=∠BCD=90°；在矩形CEGF中，∠ECG=90°．
∵BCDC=ADAB=31，CECG=31，
∴BCDC=CECG．
∵∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD−∠DCE=∠ECG−∠DCE，
即：∠BCE=∠DCG．
∴△BCE∽△DCG．
∴DG=13BE，∠EBC=∠GDC．
∴∠ABE=∠MDG，
又∵∠A=∠DMG，
∴△ABE∽△MDG．
∴DMAB=DGBE=13．
∴DM=13AB=13．
∴MH=DH−DM=23−13=13，
∴MH=DM．
∴GM为DH垂直平分线．
连接GH，GH=DG．
综上：3BG+BE=3(BG+13BE)=3(BG+DG)=3(BG+GH)，
当G在线段BH上时，3(BG+GH)取最小值3BH=3 AB2+AH2=3 12+(113)2= 130．
动点E在AD上运动，带动矩形CEFG的变化，由瓜豆原理可知G点的运动轨迹是一直线．又注意到△BCE∽△DCG，且相似比为3：1，所以将BE缩小3倍解决．
本题通动态变化问题，考核了相似，垂直平分线(全等)，最短路径，勾股定理等知识点，研究瓜豆原理的一道好题．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+6x−7=0(配方法)；
(2)(x−4)(x+1)=6．
【答案】x1=1，x2=−7；
x1=−2，x2=5
【解析】(1)x2+6x−7=0，
x2+6x=7，
x2+6x+9=7+9，
(x+3)2=16，
x+3=±4，
x1=1，x2=−7；
(2)(x−4)(x+1)=6，
x2−3x−10=0，
(x+2)(x−5)=0，
x+2=0或x−5=0，
x1=−2，x2=5．
(1)利用配方法求解即可；
(2)先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE/​/BC，连接BE.从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E=∠ABC；②DEBA=DBBC；③DEAB=BEAC，求证：△EDB∽△ABC．
【答案】②，∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠ABC，
∵DEBA=DBBC，
∴△EDB∽△ABC．
【解析】证明：△ABC中，点D是边AB上一点，DE/​/BC，连接BE．
选择②，
∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠ABC，
∵DEBA=DBBC，
∴△EDB∽△ABC．
可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
21.(本小题8分)
如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似；
(2)在图②中△ABC的边AB上画一个点P，使APPB=23．
【答案】如图①，△ADE即为所求．
如图②，点P即为所求
【解析】解：(1)如图①，△ADE即为所求．
(2)如图②，点P即为所求．
(1)取格点E，连接DE，使DE/​/BC，由相似三角形的判定可知△ADE∽△ABC．
(2)取格点M，N，连接MN，交AB于点P，连接AM，BN，此时△AMP∽△BNP，由AMBN=23，可得APPB=23．
本题考查作图−相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22.(本小题8分)
如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD；
(2)若CD=8，EF=1，求⊙O的半径．
【答案】证明：∵OE⊥AB，
∴CF=DF，
∵OA=OB，
∴AF=BF，
∴AF−CF=BF−DF，
∴AC=BD；
⊙O的半径是172
【解析】(1)证明：∵OE⊥AB，
∴CF=DF，
∵OA=OB，
∴AF=BF，
∴AF−CF=BF−DF，
∴AC=BD；
(2)解：连接OC，
设⊙O的半径是r，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴AF=BF，CF=DF=12CD=4，
∵EF=1，
∴OF=OE−EF=r−1，
∵CO2=CF2+OF2，
∴r2=42+(r−1)2，
∴r=172，
∴⊙O的半径是172．
(1)由垂径定理得到CF=DF，由等腰三角形的性质得到AF=BF，从而证明AC=BD；
(2)设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径．
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
23.(本小题8分)
如图1是光的反射规律示意图，AO是入射光线，OB是反射光线，法线KO垂直于平面镜L，反射角∠BOK等于入射角∠AOK.如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板EF、挡板AD、平面镜GH，挡板AD上有一个孔隙(可以看作点B)，从点A发出的光线AO经平面镜反射后恰好经过孔隙B射出，并落在挡板EF上的点P处.已知AB=AE=40cm，AG=25cm.求点P离桌面的高度PE．
【答案】72cm．
【解析】解：如图2，延长OK交EF于点N，则ON⊥EF．
由题意，得：∠AOK=∠BOK，OK⊥AB，KN=AE=40cm，KO=AG=25cm，
∴∠OKA=∠OKB=90°，NO=KN+KO=65cm．
∵OK=OK，
∴△AOK≌△BOK，
∴AK=BK=12AB=20cm，
由题意，得：BK//PN，
∴△PNO∽△BKO．
∴PNBK=NOKO，即PN20=6525，
解得：PN=52．
∴PE=PN+EN=PN+AK=52+20=72(cm)．
∴点P离桌面的高度PE为72cm．
延长OK交EF于点N，证明△PNO∽△BKO，得到PNBK=NOKO，求出PN的长，利用线段的和差关系进行求解即可．
本题考查相似三角形的应用，勾股定理的应用．难度偏大．
24.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两个根x1，x2满足x1+x2+x1x2−6=0，求m的值．
【答案】m≥−54；
m=4
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个实数根，
∴Δ=(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m+5≥0，
解得：m≥−54，
∴m的取值范围为m≥−54；
(2)∵x1和x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0的两个根，
∴x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m2−1，
∵x1+x2+x1x2−6=0，
∴−(2m+1)+m2−1−6=0，
整理得：m2−2m−8=0，
解得：m1=4，m2=−2，
又∵m≥−54，
∴m=4．
答：m的值为4．
(1)利用根的判别式Δ=b2−4ac≥0，即可求出答案；
(2)先运用根与系数的关系得出x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m2−1，再代入到x1+x2+x1x2−6=0，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P沿边AB从点A向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设点P、Q移动的时间为ts.问：
(1)当t为何值时△PBQ的面积等于8cm2？
(2)当t为何值时△DPQ是直角三角形？
(3)是否存在t的值，使△DPQ的面积最小，若存在，求此时t的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)由题意得AP=t，QB=2t，PB=6−t．
∵△PBQ的面积等于8cm2，
∴12×(6−t)×2t=8，
∴解得t=2或t=4，
又∵0≤t≤6，
∴当t=2s或t=4s时，△PBQ的面积等于8cm2．
(2)当t=0时，点P，Q分别与点A，B重合，
此时，∠DPQ=∠DAB=90°，△DPQ是直角三角形；
当PQ⊥DQ时，∠PQB=∠QDC，∠B=∠C，
∴△BPQ∽△CQD，
∴BPCQ=BQCD，即6−t12−2t=2t6，
∴2t2−15t+18=0，
解得：t=32或6，
故当t=32时，△PQD是直角三角形；当t=6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时∠PQD=∠BCD=90°，即△PQD是直角三角形．
综上所述，当t的值为0秒或32秒或6秒时，△DPQ是直角三角形；
(3)存在t的值，使△DPQ的面积最小．
由题意得AP=t，QB=2t，PB=6−t，
∴S△DPQ=S梯形ABQD−S△APD−S△BPQ
=12(2t+12)×6−12×12×t−12×(6−t)×2t
=t2−6t+36
=(t−3)2+27，
又∵0≤t≤6，
∴当t=3时，S△DPQ有最小值27．
【解析】(1)根据AP=t，QB=2t，PB=6−t，△PBQ的面积等于8cm2，列出关于t的方程进行求解即可；
(2)根据∠PDQ