北京市密云区高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市密云区高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 命题“”的否定是， 一元二次不等式的解集是， 设，且，则， 荀子《劝学》中说等内容，欢迎下载使用。
2025.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据交集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知，.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.
【详解】因为全称命题否定是特称命题，否定全称命题时，
一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，
所以，全称命题的否定为特称命题，
故选：A.
3. 一元二次不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分解因式，再求得不等式的解集.
【详解】由可得，
故得.
故选：B.
4. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到.
【详解】对于A，由，因，故得，即A错误；
对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误；
对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；
对于D，由，因，故得，故D错误.
故选：C.
5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. (0， 1)B. (1， 2)C. (2，3)D. (3， )
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可.
【详解】因为函数是减函数,又,,
所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3).
故选：C
6. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】因为等腰三角形不一定等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，
又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”，
所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”必要不充分条件，
故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式求解即可.
【详解】角α以为始边，终边经过点，
所以，
所以，
故选：B.
8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ）

A. 函数的定义域是
B. 函数是增函数
C. 当时，有最大值
D. 函数的最大值是
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据可得，作出图形，结合图形即可求解.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
所以.
作出的图象，如图，

由图可知，函数在上单调递增，
所以当时取到最大值，为，故D正确.
故选：D
9. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（ ）
参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010．
A. 50B. 60C. 70D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】设经过的天数为天，依题得方程，运用两边取对数和对数的运算性质化简，代入近似值计算即得.
【详解】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，
由题意，可得，化简得，
两边取常用对数，可得：，
即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍.
故选：C.
10. 已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围.
【详解】
由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点，
设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得，
因点关于直线对称，故；
由可得，
则有，且，即得，
于是，，
因函数在上单调递减，故可得，
则的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
解题的关键有二：其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理；其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知扇形的圆心角是1弧度，半径为2，则扇形的弧长为_______，面积为_______．
【答案】 ①. 2 ②. 1
【解析】
【分析】利用扇形得弧长，和扇形的面积求解即可.
【详解】
扇形弧长为
扇形面积
故答案为：2，1.
12. 计算：_______；_______．（用数字作答）
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】空一可利用分数指数幂的运算求解；空二利用对数的运算法则求解.
【详解】;
.
故答案为：
13. 函数的定义域是_______；最小正周期是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】略
【详解】略
14. 已知函数，则的最小值等于_______．
【答案】5
【解析】
【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由，因，故，
因，当且仅当时，即时等号成立，
即当时，取得最小值为5.
故答案为：5.
15. 如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论：
①对于圆O，它的“太极函数”有无数个；
②函数是圆O的一个“太极函数”；
③函数是圆O的一个“太极函数”；
④函数是圆O的一个“太极函数”．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.
【详解】①：圆O，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆,其“太极函数”不止1个，故①正确；
②：由于函数，
当时，，则，
当时，,则，故为偶函数，
故根据对称性可知函数不是圆O的一个“太极函数”，故②错误；
③：函数定义域为R，，也是奇函数，
故为圆O的一个“太极函数”，故③正确；
④：函数定义域为R，，故为奇函数，
故函数是圆O的一个“太极函数”，故④正确.
故选：①③④
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题在新环境下研究旧性质主要是将新性质应用在旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知集合，．
（1）求集合；
（2）当时，求；
（3）若，写出一个符合条件的m的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）(区间里的任何实数都符合)
【解析】
【分析】（1）根据补集定义易得；
（2）利用并集的定义易得；
（3）根据条件可得，从而得不等式组，求出的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合.
【小问1详解】
由可得或；
【小问2详解】
当时，，则；
【小问3详解】
由可得.，
因恒成立，故；
要使，需使，
解得，故区间里的任何实数都符合.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转π后得到角的终边，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系求出，解两角和正弦公式计算即可求解；
（2）根据二倍角的余弦公式计算直接得出结果；
（3）由题意可得，结合同角的商数关系即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以；
【小问2详解】
由题意知，；
【小问3详解】
将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，
则，
所以.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）利用整体代换法计算即可求解；
（2）根据正弦函数的图象与性质即可求解.
【小问1详解】
由，，得，
所以的增区间为.
【小问2详解】
由，得，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，取到最小值，为；
当即时，取到最大值，；
19. 已知函数．
（1）解关于x的不等式：；
（2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解；
（2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，即为 ，
即可得 ，
令可得或，
当，即时，或；
当，即时，；
当，即时，或，
综上，当时，不等式的解集为或；
当时， 不等式的解集为 ；
当时， 不等式的解集为或；
【小问2详解】
因为当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设函数 ，
则 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的最小值为 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为
20. 已知函数．
（1）当时，证明：为偶函数；
（2）当时，直接写出的单调性，并解不等式；
（3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）在上递增，不等式解集为
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数；
（2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可；
（3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可，
【小问1详解】
当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称，
因为，所以是偶函数；
【小问2详解】
当时，，
因为都是R上的单调递增函数，
所以在上递增，
不等式，即，
所以，
即不等式的解集为；
【小问3详解】
当时，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为的最小值为4，所以，
即存在，使得的最小值为4.
21. 已知集合A包含有个元素，．
（1）若，写出；
（2）写出一个，使得；
（3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得；
（2）根据条件分析集合中的元素性质即得；
（3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可.
【小问1详解】
因，，
则都是中的元素，
故；
【小问2详解】
取，此时，符合；
【小问3详解】
当时，不存在集合A，使得，理由如下：
假设存在，且，则，
故为中7个不同的元素，
则，
由解得：，
此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.
【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题.
解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明.