北京市第一零一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市第一零一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共14页。
命题：高一数学备课组
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集，可得答案.
【详解】由题意可得.
故选：A.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题，
故则命题的否定是.
故选：D
3. 若，，为非零实数，且，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假.
【详解】令，，则，，
因为此时，故A不成立；
，故B不成立；
，故D不成立；
根据不等式的基本性质：，，故C成立.
故选：C
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】由.
故选：B
5. 函数的图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案.
【详解】当时，，对应图象是B选项.
当时，对应图象D选项.
当时，在上单调递减，
对应图象是C选项.
所以不可能的是A选项.
故选：A
6. 设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】若，则，
作出函数图象，
，
由图象可知成立，但显然不为减函数；
若为减函数，又，则，
所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.
故选：B
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可.
【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意，
当时，
因为为二次函数，且函数在区间上单调递增，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：.
8. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
9. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围.
【详解】当时，，，可化为，
即存在，使得成立，
的对称轴为，
在区间单调递增，
只要，即，解得：，
又，，
当时，可化为，此时不等式恒成立，
综上所述，．
故选：
【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题.
10. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解.
【详解】因为集合，
所以
，
由得，
所以与异号或其中至少有一个为，
又，，，
所以满足条件的集合或
或
或
，
所以集合中元素个数的最大值为.
故选：.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.
【详解】，
所以的定义域为.
故答案为：
12. 已知集合，且，则m的值为________．
【答案】或##3或1
【解析】
【分析】根据题意得到，，解方程再验证得到答案.
【详解】，，
当时，，此时，满足条件；
当时，，
时，不满足互异性，排除；时，，满足条件.
综上所述：或.
故答案为：或.
13. 函数的值域是________；单调递减区间是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案.
【详解】令，解得或，故定义域为，
，故值域为，
由于在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为.
故答案为：，.
14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
【答案】
【解析】
【分析】设李明获得利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.
【详解】设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15. 设，函数，给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值点为0；
②若在区间上单调递增，则的取值范围是；
③当时，方程有两个不等的实根；
④当时，函数存在最大值．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断①③④的真假；结合函数单调性的概念，求参数的取值范围，可判断②的真假.
【详解】对①，当时，函数，
可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有.
综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确；
对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有.故②正确；
对③，当时，在上，，方程无解；
在上，恒成立，方程无解；
在上，函数，单调递增，方程至多有1解.
故当时，方程至多有1解. ③错误；
对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立.
因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 设全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次不等式，确定集合，在根据并集运算求并集即可.
（2）根据集合的包含关系求参数的取值范围.
【小问1详解】
由，即.
当时，由，即.
所以.
【小问2详解】
因为，
若，则，由得：；
若，则，成立；
若，则，由得：.
综上，实数的取值范围是：.
17. 解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】分，，三种情况解不等式.
【详解】当时，原不等式可化为：.
当时，.
若即时，原不等式的解为：或；
若即时，原不等式的解为：；
若即时，原不等式的解为：或.
当时，.
因为，所以.
综上可知：当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：.
18. 已知函数．
（1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值；
（2）若函数在上的最大值为1，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
方程有两个实根，，
由韦达定理可得，
又，
即，
化简可得，解得或，
当时，原方程为，有两实根，满足题意；
当时，原方程，即，
其中，即方程无实根，故舍去；
所以.
【小问2详解】
因为，
其图像开口向下，对称轴为，
当时，即时，
函数在上单调递减，则，
即，满足；
当时，即时，
函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去；
当时，即时，
函数在处取得最大值，
即，
即，解得，
且，则；
综上所述，或.
19. 已知函数是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）如果对，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；
（3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可.
【小问1详解】
因为函数是上的偶函数，
所以有，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：
设是上任意两个实数，且，即，
，
因为，所以，
所以函数在区间上单调递增；
【小问3详解】
由（2）可知：函数在区间上单调递增，
而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以在上的值域为，
由恒成立，即，
也就是，
则，得，
所以的取值范围为.
20. 给定正整数，集合，若存在个不同正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”．
（1）判断是否为“可表集合”，并说明理由；
（2）证明：若为“可表集合”，则；
（3）若为“可表集合”，求的最小值．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接根据定义判断；
（2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论；
（3）列出、、、的所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值.
【小问1详解】
由于对，，有，，，，.
故是“可表集合”.
【小问2详解】
欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多，
则由运算后的所有情况为：，
共20个，故.
【小问3详解】
若，则中元素至多有，个，不符合题意；
若，则中元素至多有个，不符合题意；
若，则中元素至多有个，不符合题意；
若，不妨设，则由构成的数有
共20个，
因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素，
故其余19个数刚好构成集合，
这19个数之和为，且，
故，
因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数，
故无法构成集合；
若，经过运算可构成集合，
故若为“可表集合”时，的最小值为.