北京市密云区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份北京市密云区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，.
故选：C.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，
一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，
所以，全称命题的否定为特称命题.
故选：A.
3. 一元二次不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】由可得，故得.
故选：B.
4. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，由，因，故得，即A错误；
对于B，由两边同除以，可得，故B错误；
对于C，因，则，当且仅当时取等号，
因，故得，即C正确；
对于D，由，因，故得，故D错误.
故选：C.
5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，)
【答案】C
【解析】因为函数是减函数，又，，
所以，由零点存在性定理可得，包含零点的区间(2，3).
故选：C.
6. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，
又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”，
所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】角α以为始边，终边经过点，
所以，所以.
故选：B.
8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ）
A. 函数的定义域是
B. 函数是增函数
C. 当时，有最大值
D. 函数的最大值是
【答案】D
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
所以.
作出的图象，如图，
由图可知，函数在上单调递增，
所以当时取到最大值，为，故D正确.
故选：D.
9. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（ ）
参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010．
A. 50B. 60C. 70D. 80
【答案】C
【解析】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，
由题意，可得，化简得，
两边取常用对数，可得：，
即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍.
故选：C.
10. 已知函数 函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点，
设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得，
因点关于直线对称，故；
由可得，
则有，且，即得，
于是，，
因函数在上单调递减，故可得，
则的取值范围为.
故选：A.
二、填空题.
11. 已知扇形的圆心角是1弧度，半径为2，则扇形的弧长为_______，面积为_______．
【答案】2 2
【解析】扇形弧长为扇形面积
12. 计算：_______；_______．（用数字作答）
【答案】2 3
【解析】；
.
13. 函数的定义域是_______；最小正周期是_______．
【答案】
【解析】略
14. 已知函数，则的最小值等于_______．
【答案】5
【解析】由，因，故，
因，当且仅当时，即时等号成立，
即当时，取得最小值为5.
15. 如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论：
①对于圆O，它的“太极函数”有无数个；
②函数是圆O的一个“太极函数”；
③函数是圆O的一个“太极函数”；
④函数是圆O的一个“太极函数”．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③④
【解析】①：圆O，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆，其“太极函数”不止1个，故①正确；
②：由于函数，
当时，，则，
当时，，则，故为偶函数，
故根据对称性可知函数不是圆O的一个“太极函数”，故②错误；
③：函数定义域为，，也是奇函数，
故为圆O的一个“太极函数”，故③正确；
④：函数定义域为，，
故为奇函数，
故函数是圆O的一个“太极函数”，故④正确.
三、解答题
16. 已知集合，．
（1）求集合；
（2）当时，求；
（3）若，写出一个符合条件的m的值．
解：（1）由可得或.
（2）当时，，则.
（3）由可得，，
因恒成立，故；
要使，需使，
解得，故区间里的任何实数都符合.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，求的值．
解：（1）由题意知，，
所以.
（2）由题意知，.
（3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，
则，所以.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1）由，，得，
所以的增区间为.
（2）由，得，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当即时，取到最小值，为；
当即时，取到最大值，.
19. 已知函数．
（1）解关于x的不等式：；
（2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．
解：（1），即为，
即可得，
令可得或，
当，即时，或；
当，即时，；
当，即时，或，
综上，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
（2）因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设函数，则在区间上单调递减，
所以在区间上的最小值为，所以，
故实数的取值范围为.
20. 已知函数．
（1）当时，证明：为偶函数；
（2）当时，直接写出的单调性，并解不等式；
（3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称，
因为，所以是偶函数.
（2）当时，，，
因为都是R上的单调递增函数，
所以在上递增，
不等式，即，所以，
即不等式的解集为.
（3）当时，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为的最小值为4，所以，
即存在，使得的最小值为4.
21. 已知集合A包含有个元素，．
（1）若，写出；
（2）写出一个，使得；
（3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由．
解：（1）因，，
则都是中的元素，
故.
（2）取，此时，符合.
（3）当时，不存在集合A，使得，理由如下：
假设存在，且，
则，
故为中7个不同的元素，
则，
由解得：，
此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.