北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试卷（解析版）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以.
故选：C.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，函数定义域为，不具奇偶性，A不是；
对于B，，B不是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数定义域为，，
函数是偶函数，当时，在上单调递增，D是.
故选：D.
3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
而，所以的零点在区间内.
故选：A.
4. 某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，所以.
故选：B.
5. 已知，，则实数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，
因此实数的大小关系是.
故选：B.
6. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于C，由，得，，C正确；
对于B，由，，因此，B错误；
对于D，由，得，，D错误.
故选：C.
7. 已知函数.若恒成立，则的取值可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，不等式，
依题意恒成立，而当时，，
当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是.
故选：D.
8. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意（）.
故选：A.
9. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数在上是增函数，则且，都有，必要性成立；
取函数，区间，
显然且，都有，而函数在上不单调，充分性不成立，
所以“且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
10. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】D
【解析】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且，
当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
图象如图所示，由，得到或（舍），
又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，，
所以选项A，B和C错误，选项D正确，
故选：D.
二、填空题.
11. 计算：=________________.
【答案】
【解析】因为.
12. 已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是__________________.
【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可）
【解析】令，由得到，
当时，假设在区间0,3内有零点，则有①，
不妨取，显然满足①式，此时，
令，得到，
所以，满足，但在区间0,3内有零点，
故满足题意，
当时，假设在区间0,3内有零点，则有②，
不妨取，显然满足②式，此时，
令，得到，
所以，满足，但在区间0,3内有零点，故满足题意.
13. 已知的图象经过点，则__________；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题知，得到，
所以，又方程有两个不等实数根，
则，又，得到，得到，
由，得到或，所以.
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_______________.
【答案】
【解析】观察图象知，奇函数在上单调递增，则在上单调递增，且，
不等式，当时，不等式成立；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
15. 函数，其中表示不超过a的最大整数．给出下列四个结论：
①的定义域为；
②方程没有实数根；
③函数的值域为；
④存在实数，使得当且时，都有．
其中所有正确结论的序号是__________________．
【答案】②③④
【解析】对于①，当时，，函数无意义，①错误；
对于②，由，得，而，因此方程没有实数根，②正确；
对于③，函数，令，
则，，，
而，随的增大而增大，
则，，
因此，函数的值域为，③正确；
对于④，取，，，由，得，
令，则，由，
得，而，当，取，
此时，，，
，都有，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④.
三、解答题.
16. 已知关于不等式的解集，集合．
（1）求实数的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
解：（1）由，得到，即，
又因为关于不等式的解集，
所以，解得，所以实数的值为.
（2）选择条件①，因为，，
又，由图知，解得.
选择条件②，因为，，
又，即，由图知，解得.
17. 某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立.
（1）小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；
（2）小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；
（3）小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览：
（ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流；
（ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流.
请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览 景区，下午游览 景区.（从“甲、乙、丙”中选择两个填写）
解：（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，
所以小明遇到完全限流的概率为.
（2）由数表知，乙景区不限流的概率为，
丙景区不限流的概率为，
所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率.
（3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率；
若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率；
若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；
若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率；
若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；
若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率，
而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大.
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）当时，用函数单调性定义证明在区间上增函数；
（3）若，，恒成立，且函数在上单调递增，求的最小值.
解：（1）函数，由，得，所以.
（2）当时，，任取，
，
由，得，则，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）不等式，
依题意，，恒成立，
而，恒有，则，又，因此，
任取，
，
由，得，
而，则，即，
又，于是，
则，即，
因此函数在上单调递增，
所以的最小值是1.
19. 已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质：
①；
②，；
③，.
（1）判断下列集合是否满足性质？
；.（只需写出结论）
（2）若集合满足性质，且存在，使得，求证：，，都有；
（3）若集合满足性质，且，，，求所有的符合题意的集合.
解：（1）对集合，当，，但，
令，解得，则集合不具有性质，
对于集合，显然，满足条件①，
对于条件②，不妨设，
则，其中，满足条件②，
对于条件③，设，则，其中，则集合具有性质，
综上集合不具有性质，集合具有性质．
（2）因为，
所以．
所以对，有．
若；若；
若．
综上，要证结论成立．
（3）或．理由如下：
对，有，所以，
所以，
若，则；
若，则．令，则．
若，则，
由（2）中结论知对，都有，所以．
若，则，所以．
若，则，所以．
若．
若，
所以．
综上，或．