北京市西城区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份北京市西城区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合，或，所以.
故选：A.
2. 已知，且，下列不等式中一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】对于选项ABC，取，
显然满足，此时，，，所以选项A、B和C错误；
对于选项D，因为，所以，故选项D正确.
故选：D.
3. 已知命题：，；命题：，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是假命题
C. 是真命题，是假命题D. 是假命题，是真命题
【答案】C
【解析】由，得到，解得或，所以命题为真命题，
又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确.
故选：C.
4. 将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数的图象向左平移1个单位，得到，
再向下平移1个单位，得到，所以.
故选：A.
5. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与向量共线的单位向量为，
则，解得，所以或.
故选：B.
6. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，
当时，，
则，，，
因此在区间内有函数的零点，
当时，，，
当时，，，
所以数的零点在区间内.
故选：B
7. 甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：
记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】依题意，，
，则；
，
，
.
故选：B.
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由，得，而，则，所以.
故选：D.
9. 已知集合，．则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】先看充分性：因为，当时，为偶数；
当时，；当时，；
当时，；则可表示所有奇数；
综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数.
因为，则，所以“”是“”的充分条件；
再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，
即“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
10. 已知是定义域为R旳奇函数，满足，且当x∈0,1时．给出下列三个结论：
①；
②函数在区间内有且仅有3个零点；
③不等式的解集为，．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由题意，
所以，所以，①正确；
再结合，可得：，所以的周期为2，
由时，，
结合奇函数性质可知：当，，
所以在一个周期内，的解集为，
在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确；
通过，令，可得，则，
结合函数的周期为2，在内，
结合函数值的正负情况有，
所以函数在区间内有且仅有5个零点，②错误.
故选：C.
二、填空题.
11. 设方程的两根为和，则______．
【答案】5
【解析】方程的两根为和，则，
所以.
12. 已知函数，则______；的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】函数，则；
函数在上单调递增，在上单调递增，
而当时，，所以函数的单调递增区是.
13. 已知正方形的边长为，点满足，则______．
【答案】
【解析】由题意可得，，
因为，
所以，
所以，故.
14. 已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______．
【答案】1（答案不唯一，）
【解析】令函数，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
依题意，函数在有一个零点，因此，解得，
所以实数的取值范围是，的一个取值为1.
15. 给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数：
①；②；③；④.
其中具有“线性控制”性质的函数的序号是______．
【答案】①④
【解析】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质，
对于②，当时，因为，
当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质，
对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象，
由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，，
所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质，
对于④，令，在同一坐标系中作出和图象，如图所示，
由图2知，当时，的图象恒在下方，即，
所以具有“线性控制”性质.
三、解答题.
16. 已知实数，满足，．
（1）求和的取值范围；
（2）证明：．
解：（1）因为，，所以，
当，时，则，，此时，
当，时，则，此时，得到，
当，时，则，此时，得到，
当，时，，
又当或时，，
综上，.
（2）因为，
又，，则，，
所以，得到.
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求不等式的解集．
解：（1）函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
（2）不等式，
则，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
18. 根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）：
从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下：
男生：7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5 7.9 8.3 8.6 9.6
女生：7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.7 9.2 9.4 10.4
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率；
（2）从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率；
（3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
解：（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人，
高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人，
所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和.
（2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，
高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，
抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则，
由（1）知，，显然事件相互独立，
因此，
所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为.
（3）依题意，，，
，
因此，
所以与相互不独立.
19. 已知函数，其中．
（1）证明：；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）求在区间上的取值范围．
解：（1）因为，所以，
故.
（2）因为在上单调递减，则当，有.
所以设，
，
因为，所以，，
要使，则，
故的取值范围为.
（3）当时，由小问2得在上单调递减，
，，
故在区间上的取值范围为；
当时，利用小问2的结论知，在上单调递增，
，，
故在区间上的取值范围为.
综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为.
20. 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
（1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
（2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
解：（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
21. 给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定．
（1）当时，写出一组和；
（2）是否存在集合与正整数，使？说明理由；
（3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可知，若，则；
（若，则；
若，则；写出一组即可）.
（2）不存在集合，使．
下面用反证法证明.
证明：假设存在集合，使．
因为，
故集合中必有1或同时有．
①若时，不妨设，则．
因为与必为一个奇数一个偶数，而，
则，且，
这与中元素均为奇数矛盾．
②若且，则，这与矛盾．
综上所述，假设错误，故不存在集合，使．
（3）当时，
存在，使．原因如下：
当时，令，，则；
令，，则；
令，，则；
令，，则.