3.3.1几何问题与行程问题（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.3.1 几何问题与行程问题（一元一次方程的实际应用）背景图：左侧展示 “长方形扩建” 场景（标注 “原长 x 米，宽 5 米，扩建后长增 3 米，宽不变，周长变为 42 米”，搭配方程 “2 [(x+3)+5]=42”）；右侧呈现 “追及问题” 场景（甲、乙两人从同地出发，甲速度 4m/s，乙速度 6m/s，乙晚出发 2 秒，标注 “6 (t-2)=4t”），直观体现两类问题的等量关系与方程模型，下方搭配 “用方程解决实际问题的核心场景” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录一元一次方程应用的核心思路（审→设→列→解→验→答）几何问题（周长、面积、体积相关）核心公式回顾与等量关系构建典型例题解析（图形边长、半径、高度求解）行程问题（相遇、追及、匀速行驶）核心公式与场景等量关系典型例题解析（相遇时间、追及路程、速度计算）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：一元一次方程应用的核心思路（审→设→列→解→验→答）完整流程（六步规范法）用一元一次方程解决实际问题，需遵循 “从实际场景抽象数学模型” 的思路，具体步骤如下：审：审题，提取关键信息通读题目，明确已知条件（如几何问题中的边长、周长，行程问题中的速度、时间）、未知量（求什么），圈出关键词（如 “增加”“减少”“相遇”“追上”“是…… 的几倍”），分析量与量之间的关系；设：设未知数，带单位通常 “求什么设什么”（直接设元），若直接设元导致方程复杂，可设中间量为未知数（间接设元），设时需标注单位（如 “设长方形的长为 x 厘米”“设行驶时间为 t 小时”）；列：找等量关系，列方程根据题目中的公式（如几何公式、行程公式）或隐含的相等关系（如 “扩建后周长 = 原周长 + 增加的长度”“相遇时两车路程和 = 总距离”），用含未知数的代数式表示等量关系，列出方程；解：解方程，求未知数的值按照一元一次方程的求解步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1），求出未知数的值，注意解的单位与设元时一致；验：检验解的合理性检验解是否满足方程（代入原方程验证），更重要的是检验是否符合实际意义（如几何问题中边长、面积不能为负，行程问题中时间、速度不能为负）；答：规范作答，用文字表述结果根据检验结果，用完整的文字回答题目问题，确保答案清晰、符合题意。示例简化演示（以 “长方形宽 5 厘米，周长 30 厘米，求长” 为例）审：已知宽 = 5cm，周长 = 30cm，求长；设：设长为 x 厘米；列：周长公式 2 (长 + 宽)= 周长，方程 2 (x+5)=30；解：x+5=15→x=10；验：x=10>0，周长 = 2 (10+5)=30cm，符合题意；答：长方形的长为 10 厘米。幻灯片 4：几何问题（周长、面积、体积相关）一、核心公式与等量关系构建图形核心公式（常用）常见等量关系场景长方形周长 C=2 (a+b)，面积 S=ab① 周长不变，长变宽不变；② 面积不变，长增宽减；③ 扩建 / 缩小后周长 / 面积变化正方形周长 C=4a，面积 S=a²① 边长变化后周长 / 面积变化；② 正方形与长方形周长 / 面积相等三角形面积 S=½ah，内角和 = 180°① 面积不变，底变高变；② 内角之间的倍数关系圆周长 C=2πr，面积 S=πr²① 半径变化后周长 / 面积变化；② 圆与其他图形周长 / 面积关系长方体体积 V=abh，表面积 S=2 (ab+ah+bh)① 体积不变，长宽高变化；② 表面积变化问题二、典型例题解析例 1：长方形周长与边长问题题目：一个长方形操场，宽是 20 米，长比宽的 2 倍少 5 米，现要给操场围上栏杆，求栏杆的总长度（即周长）。解答：审：已知宽 = 20m，长 = 2× 宽 - 5，求周长；设：先设长为 x 米（或直接用宽表示长，此处用直接设元）；列：根据 “长比宽的 2 倍少 5 米”，得 x=2×20 - 5（或先求长，再用周长公式，若需列方程，可设周长为 C，结合长与宽的关系列方程）；（规范列方程思路：设长为 x 米，等量关系 “长 = 2× 宽 - 5”，方程 x=2×20 - 5，解得 x=35；再用周长公式 C=2 (35+20)=110）；解：x=35，C=110；验：x=35>0，周长 = 2 (35+20)=110m，符合题意；答：栏杆的总长度为 110 米。例 2：圆的半径与面积问题题目：一个圆形花园的面积是 12.56 平方米，现要在花园外围修一条宽 1 米的小路，求小路的面积（π 取 3.14）。解答：审：已知内圆（花园）面积 = 12.56m²，小路宽 = 1m，求圆环（小路）面积 = 外圆面积 - 内圆面积；设：设内圆半径为 r 米；列：内圆面积公式 πr²=12.56，方程 3.14r²=12.56；解：r²=4→r=2（r=-2 舍去，不符合实际）；外圆半径 R=r+1=3 米，小路面积 =πR² - πr²=3.14×3² - 12.56=28.26 - 12.56=15.7；验：r=2>0，R=3>0，小路面积 = 15.7m²>0，符合题意；答：小路的面积为 15.7 平方米。例 3：三角形内角和问题题目：一个三角形的三个内角中，最大角是最小角的 3 倍，中间角比最小角大 20°，求三个角的度数（三角形内角和 = 180°）。解答：审：已知最大角 = 3× 最小角，中间角 = 最小角 + 20°，内角和 = 180°，求三个角；设：设最小角为 x°，则最大角为 3x°，中间角为 (x+20)°；列：内角和公式 x + (x+20) + 3x=180，方程 5x + 20=180；解：5x=160→x=32；最大角 = 3×32=96°，中间角 = 32+20=52°；验：32+52+96=180°，符合内角和定理，角度均为正数，符合题意；答：三个角的度数分别为 32°、52°、96°。幻灯片 5：行程问题（相遇、追及、匀速行驶）一、核心公式与场景等量关系基础公式：路程 s = 速度 v× 时间 t，变形公式 v=s÷t，t=s÷v；三大场景等量关系：场景类型核心等量关系关键特征匀速行驶① 同一路程，不同速度对应不同时间；② 同一时间，不同速度对应不同路程单人 / 单车，运动方向不变，速度恒定相遇问题① 相向而行：甲路程 + 乙路程 = 总距离；② 同向而行（同起点不同时）：先走路程 + 后走路程 = 总距离两人 / 两车，从两地出发，向对方运动，最终相遇追及问题① 同起点不同时：快者路程 = 慢者路程；② 不同起点同向：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离两人 / 两车，同向运动，快者追赶慢者，最终追上二、典型例题解析例 1：匀速行驶问题（路程与时间关系）题目：小明从家骑自行车去图书馆，若以每分钟 150 米的速度行驶，将迟到 5 分钟；若以每分钟 200 米的速度行驶，将提前 2 分钟到达，求小明家到图书馆的距离。解答：审：已知两种速度及对应时间差，求距离；直接设距离易列分式方程，间接设 “准时到达时间” 更简便；设：设小明准时到达图书馆需 t 分钟；列：两种速度下 “家到图书馆的距离不变”，等量关系 “150 (t+5)=200 (t-2)”（迟到 5 分钟→时间 t+5，提前 2 分钟→时间 t-2）；解：150t + 750 = 200t - 400→50t=1150→t=23；距离 = 150×(23+5)=150×28=4200 米；验：t=23>0，距离 = 4200 米，150×(23+5)=4200，200×(23-2)=4200，符合题意；答：小明家到图书馆的距离为 4200 米。例 2：相遇问题（相向而行）题目：A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米，两车出发后几小时相遇？相遇时甲车行驶了多少千米？解答：审：已知总距离 = 480km，v 甲 = 65km/h，v 乙 = 55km/h，求相遇时间及甲车路程；设：设两车出发后 t 小时相遇；列：相遇时 “甲路程 + 乙路程 = 总距离”，方程 65t + 55t=480；解：120t=480→t=4；甲车路程 = 65×4=260 千米；验：t=4>0，甲路程 = 260km，乙路程 = 55×4=220km，260+220=480km，符合题意；答：两车出发后 4 小时相遇，相遇时甲车行驶了 260 千米。例 3：追及问题（同向而行，不同起点）题目：甲、乙两人在同一条直线上跑步，甲在乙前方 100 米处，甲的速度是每秒 4 米，乙的速度是每秒 6 米，若两人同时出发，乙经过几秒能追上甲？解答：审：已知初始距离 = 100m，v 甲 = 4m/s，v 乙 = 6m/s，同向运动，求追及时间；设：设乙经过 t 秒追上甲；列：追上时 “乙路程 - 甲路程 = 初始距离”，方程 6t - 4t=100；解：2t=100→t=50；验：t=50>0，乙路程 = 6×50=300m，甲路程 = 4×50=200m，300-200=100m，符合题意；答：乙经过 50 秒能追上甲。幻灯片 6：易错点警示与注意事项易错点 1：几何问题中公式记忆错误或单位不统一错误示例 1：计算正方形面积时，错用公式 “S=4a”（正确应为 “S=a²”，“4a” 是周长公式）；错误示例 2：题目中长单位为 “米”，宽为 “厘米”，未统一单位直接计算（如长 2 米、宽 50 厘米，错代入 “2×50=100” 求面积，正确应统一为米：50 厘米 = 0.5 米，面积 = 2×0.5=1 平方米）；警示：牢记几何公式，解题前检查所有量的单位，统一单位后再列方程。易错点 2：行程问题中混淆 “相遇” 与 “追及” 的等量关系错误示例：相遇问题中，错列方程 “v 甲 t - v 乙 t = 总距离”（正确应为 “v 甲 t + v 乙 t = 总距离”，追及问题才用 “路程差”）；警示：根据运动方向判断等量关系 —— 相向而行（相遇）用 “路程和”，同向而行（追及）用 “路程差”，可画线段图辅助分析。易错点 3：设未知数时，间接设元后忘记求最终问题错误示例：例 1 中设 “准时到达时间 t 分钟”，解得 t=23 后，直接答 “t=23 分钟”，忘记求 “家到图书馆的距离”（最终问题）；警示：设元时若用间接设元（设中间量），解得中间量后，需根据中间量与最终问题的关系，计算出最终答案，不可漏答。易错点 4：忽略实际意义，保留不符合题意的解错误示例：几何问题中，解方程得边长 x=-5，未舍去，直接答 “边长为 - 5 厘米”（边长为负无实际意义）；警示：解方程后，必须检验解是否符合实际场景（长度、面积、时间、速度等均为非负数），不符合的解需舍去。易错点 5：列方程时，代数式表示错误（关键词理解偏差）错误示例：“甲速度比乙快 5km/h”，错设乙速度为 x km/h，甲速度为 “x-5” km/h（正确应为 “x+5”km/h）；警示：理解 “多”“少”“快”“慢”“是几倍” 等关键词时，明确量之间的大小关系，确保代数式表示准确。幻灯片 7：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：几何问题（1）一个正方形的周长是 36 厘米，求它的边长和面积；（2）一个三角形的底是 8 厘米，面积是 24 平方厘米，求三角形的高（用面积公式 S=½ah）；（3）一个长方形的长是 12 米，宽比长少 4 米，求长方形的周长和面积。提升练习 2：行程问题（1）一辆汽车从甲地到乙地，以每小时 80 千米的速度行驶，3 小时到达，返回时用了 4 小时，求2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会用一元一次方程解决关于几何图形与行程的实际问题.2.掌握列方程解应用题的一般步骤.3.能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型.◎重点:几何图形与行程问题中的方程思想.◎难点:建立方程模型，解决实际问题. 我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以101米/分钟的速度奋起直追，而乌龟仍然以1米/分钟的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？为了解决这个问题，本节课我们来学习一元一次方程的应用. 几何图形中的方程 1.试比较锻造前面后的立体图形，填写下表:10090000x90π×(100)2x81000002.补全下面的解答过程.解:设应截取的圆柱体钢长为x mm，根据题意，得　π×(100)2×x＝300×300×90　， 解方程，得x≈　258　.  答:应截取约　258　mm长的圆柱体钢.  π×(100)2×x＝300×300×90258258【归纳总结】列方程解应用题的步骤:1.审:分析题意，找　等量　关系； 2.设:根据题意　设未知数　； 3.列:列　方程　 ； 4.解:解这个　方程　； 5.验:检验；6.答.等量设未知数方程方程 行程问题 路程、平均速度、时间之间的等量关系为　平均速度×时间　＝　路程　.  平均速度×时间路程 1.有一位工人师傅将底面直径为10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是(　B　)B2.甲、乙二人从相距21 km的两地同时出发，相向而行，120 min后相遇.甲每小时比乙多走300 m，设乙的速度为x km/h，下面所列方程正确的是(　B　)B3.一条猎犬发现前方100米处有一头野猪以10米/秒的速度向正前方逃窜，猎犬立即以15米/秒的速度追赶(猎犬追赶路线与野猪逃跑路线在一条直线上)，猎犬多少秒后可以追上野猪？若设猎犬x秒后可追上野猪，根据题意，可列方程为(　C　)C 几何图形问题1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　)A方法归纳交流　几何问题的常见等量关系是两种图形的体积或者面积相等. 相遇问题2.A、B两地间的公路长为375 km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从A，B两地同时出发沿公路相向而行，轿车的平均速度为90 km/h，公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？解方程，得x＝2.5.答:两车出发后2.5小时相遇.解:设两车出发后x h相遇，根据题意，得90x＋60x＝375，[变式演练]在上面的问题中，若公共汽车比轿车早出发1小时，那么公共汽车开出多长时间后与轿车相遇？解:设公共汽车开出x小时后与轿车相遇，根据题意，得60x＋90(x－1)＝375.  方法归纳交流　怎样分析路程问题中的数量关系？线段示意图.画线段示意图. 追及问题3.学校科技小组的同学乘公共汽车去较远的省城参观科技展览.小明因为特殊原因要晚出发半小时，但他在同一地点乘坐了速度更快的高速客车追赶大家.公共汽车和高速客车的速度分别是60 km/h和80 km/h，高速客车在出发后多少小时可追上公共汽车？追上的地点距出发点有多远？解方程，得x＝1.5，80x＝80×1.5＝120.答:略.解:设高速客车出发后x h追上公共汽车，根据题意，得80x＝60(x＋0.5)，[变式演练]在上面的问题中，设高速客车在距出发点y km处追上公共汽车，仍对上面的问题列方程求解.  答:略.方法归纳交流　相遇问题和追及问题中的等量关系有什么不同？相遇问题中的等量关系:两车行驶的路程之和等于总路程；追及问题中的等量关系:两车行驶的路程相等.知识点1　列一元一次方程解决实际问题1. 植树节这天，七年级170名学生参加义务植树活动，如果一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵.若正好每个树坑种一棵树，那么该年级的男生、女生各有多少名？(1)审题.审清题意，找出已知量和未知量.(2)设未知数.设该年级的男生有 x 名，那么女生有 ⁠ 名.(3)列方程.根据相等关系，列方程为 ⁠.(4)解方程.解得 x ＝ ，则女生有 名.(5)检验.将解得的未知数的值放入实际问题中进行验证.(6)答.答：该年级的男生有 名，女生有 名.(170－ x )　3 x ＝7(170－ x )　119　51　119　51　 返回2. [2023·成都]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长 x 尺，则可列方程为(　A　)A 返回3. 轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用3小时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，求 A 港和 B 港相距多少千米.设 A 港和 B 港相距 x 千米.根据题意，可列出的方程是(　A　)【点拨】设 A 港和 B 港相距 x 千米，  【答案】A 返回 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！