甘肃省定西市通渭县平襄教育集团联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷（答案+解析）

这是一份甘肃省定西市通渭县平襄教育集团联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷（答案+解析），共26页。试卷主要包含了答卷前将密封线内的项目填写清楚等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 中国七巧板B. 费马螺线
C. 科克曲线D. 谢尔宾斯基三角形
2. 半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（ ）
A. 点M在圆上B. 点M在圆外C. 点M在圆内D. 无法确定
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
6. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D. O到距离相等
8. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（ ）．
A. 4.1米B. 4.0米C. 3.9米D. 3.8米
二、填空题：每题3分，共18分．
11. 用反证法证明命题“已知，，则．”的第一步应先假设___________．
12. 已知点，在二次函数的图象上，若，则___________(填“”“”或“”)
13. 若方程的一个根为，则___________．
14. 如图，点均在上，若，则度数为___________．
15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________．
16. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留)
三、解答题：本大题6个小题，共32分．
17. 解方程：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标．
19. 如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积．
20. 有一根长的绳，怎样用它围成一个面积为的矩形？
21. 如图， 内接于，，过点O作，交于点E，连接，且．求证：是的切线．
22. 有一移动灌溉装置(图①)喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米．将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一水平草坪，以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线形水柱的函数解析式；
（2）求草坪上能够灌溉的点与灌溉位置的水平距离(结果保留根号)．
四、解答题：本大题5个小题，共40分
23. 如图，点是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24. 张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题：
（1）每千克张掖红梨的利润为___________元(用含x的代数式表示)；
（2）若每天要盈利320元，则该张掖红梨的售价应为多少元？
25. 如图，是直径，弦于点E，点P在上，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的直径．
26. 如图①，E，G分别是边长为6的菱形边上的点，且，以为邻边作菱形，将菱形绕点A逆时针旋转一定角度得到图②，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
27. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．

（1）求该二次函数的解折式；
（2）当点在上方时，连接，，求的最大值；
（3）点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. 中国七巧板B. 费马螺线
C. 科克曲线D. 谢尔宾斯基三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（ ）
A. 点M在圆上B. 点M在圆外C. 点M在圆内D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握知识点是解题的关键．
根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断．
【详解】解：的半径为，点M到圆心O的距离，
∴，
∴点M在圆外．
故选B．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
直接运用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选C．
4. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键．
一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故选A．
6. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数的性质，其增减性由对称轴决定．由题意可知，对称轴为直线，因此利用对称轴公式建立方程求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
又∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7. 如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D. O到的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴O到的距离相等，
由题意，不一定成立，
结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意；
故选：A．
8. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得，，
∴．
故选：B．
9. 如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据该公司4月份及6月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设月份每个月生产成本的下降率约为x，
根据题意，得，
故选：C．
10. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（ ）．
A. 4.1米B. 4.0米C. 3.9米D. 3.8米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键．
根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可．
【详解】解：如图，卡车应在最中间通行，
∵车宽为2.4米，
∴米，
由题意可知，半圆形的半径米，
在直角中，，
∴米，
∵下半部分为矩形，
∴米，
∴米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
二、填空题：每题3分，共18分．
11. 用反证法证明命题“已知，，则．”第一步应先假设___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．
反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可．
【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此第一步应先假设．
故答案为．
12. 已知点，在二次函数的图象上，若，则___________(填“”“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数的性质，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数单调递增．
【详解】解：由二次函数可知，其二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为y轴．
∴当时，y随x的增大而增大，
当时，．
故答案为：．
13. 若方程的一个根为，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用一元二次方程的解求参数，掌握知识点是解题的关键．
将已知根代入方程，通过解方程求解m的值．
【详解】解：将代入方程，得
，
即，
解得．
故答案为：．
14. 如图，点均在上，若，则的度数为___________．
【答案】##34度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键．
由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线，
与轴一个交点坐标，
由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是，
∴的解集为或，
故答案为：或．
16. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时，___________(结果保留)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形弧长，垂径定理，勾股定理，弧长公式，掌握相关定理公式是问题求解的关键．
根据已知条件求得和的长，代入得到弧长的近似值，利用弧长公式求得弧长的值，即可完成求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是弦的中点，在上，，
∴延长可得在上，，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题6个小题，共32分．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
或
∴，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标．
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】此题考查了坐标系中的中心对称图形的作法．
作出关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可．
【详解】解：如图，即为所求，点的坐标为．
19. 如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
如图，过O作的垂线，
则，，
，
．
20. 有一根长的绳，怎样用它围成一个面积为的矩形？
【答案】分别以4m和6m为相邻两边长围成矩形
【解析】
【分析】设这个矩形的一边长为xm，则相邻边长为（）m，根据矩形的面积列出方程即可解决问题．
【详解】解：设这个矩形的一边长为xm，则相邻边长为（）m，
根据题意，得x（）＝24，
整理，得，
解得，，
当x＝4时，＝10－4＝6，
当x＝6时，＝10－6＝4，
答：分别以4m和6m相邻两边长围成矩形即可．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
21. 如图， 内接于，，过点O作，交于点E，连接，且．求证：是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、三角形外角的性质．
连接，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，即，根据得到，即，可知是的切线．
【详解】证明：连接，
，
，
是的切线．
22. 有一移动灌溉装置(图①)喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离10米处达到最高，且高度为6米．将灌溉装置放置于水平地面，用其灌溉一水平草坪，以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线形水柱的函数解析式；
（2）求草坪上能够灌溉的点与灌溉位置的水平距离(结果保留根号)．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求解；
（2）令，则有，求出此时的值，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点，
设该抛物线水柱的函数解析式为，
将代入得：，
解得，
∴抛物线形水柱的函数解析式为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得（舍去），，
∴草坪上能够灌溉的点与灌溉位置的水平距离米．
四、解答题：本大题5个小题，共40分
23. 如图，点是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的三角形的面积相等，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
由圆周角定理可得，由可得，进而可得，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴点到的距离等于点到的距离，
∴，
∵，
．
24. 张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题：
（1）每千克张掖红梨利润为___________元(用含x的代数式表示)；
（2）若每天要盈利320元，则该张掖红梨的售价应为多少元？
【答案】（1）
（2）售价应为12元或16元
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）根据售价减去进价即可求出答案；
（2）根据每天要盈利320元即可列出方程，解方程即可求出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，每千克张掖红梨的利润为元，
故答案为：
【小问2详解】
由题意可得，
解得，
∴（元）或（元）
答：售价应为12元或16元．
25. 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的直径．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即的直径为6．
26. 如图①，E，G分别是边长为6的菱形边上的点，且，以为邻边作菱形，将菱形绕点A逆时针旋转一定角度得到图②，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识．
（1）证明即可得到结论；
（2）过E作于点H，求出，再利用勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形与四边形是共顶点的菱形，
，
，
；
【小问2详解】
过E作于点H，如图：
由（1）知，
，
．
27. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．

（1）求该二次函数的解折式；
（2）当点在上方时，连接，，求的最大值；
（3）点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点M的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点P作轴于点C，交于点D，设点P的横坐标为，则，根据，结合二次函数的性质，即可得出答案；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，点P的坐标为，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式列出方程组，解方程组，得出点M的坐标即可．
【小问1详解】
解：，
，
将代入得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
如解图，过点P作轴于点C，交于点D，

设点P的横坐标为，
则，
，
，
∴当时，取得最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：存在；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点M的坐标为，点P的坐标为，
由已知可知：，
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
综上：点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．