河北省衡水市枣强县2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省衡水市枣强县2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A．B．
C．D．
5．抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．对于二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．1
12．如图，在中，，，于点D．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知某抛物线与抛物线的开口大小，对称轴都相同，但开口方向相反，若该抛物线经过点，则该抛物线的表达式为 ．
14．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于 ．
15．如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ．
16．已知为实数，函数的图象与轴交于两点，且满足，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
18．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）方程的两个根为 ；
（2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ；
（3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ．
19．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作．交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求．
20．如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出点的坐标；如果不存在．请说明理由．
21．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
22．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？
23．如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）判断的形状，并证明你的结论；
（3）点是抛物线的顶点．点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵的半径为4，点A在内，
∴，
∴的长可能是3，
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行变换．
【详解】解：向左平移3个单位：将替换为，得，
向上平移3个单位：在整体表达式后加3，即，
因此，平移后的抛物线表达式为，
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了函数的性质，解题关键是掌握不同类型函数（二次函数、一次函数）在特定区间内的增减性规律．
根据一次函数和二次函数的性质，判断每个函数在 时的增减性，找出符合条件的函数
【详解】∵ A． 是二次函数，，开口向上，对称轴为 y 轴，
∴ 当 时，y 随 x 增大而增大，不符合；
∵ B． 是一次函数，，
∴ y 随 x 增大而增大，不符合；
∵ C． 是二次函数，，开口向下，对称轴为 y 轴，
∴ 当时，y 随 x 增大而减小，符合；
∵ D． 是一次函数，，
∴ y 随 x 增大而增大，不符合．
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案．
【详解】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根，
∴，
∴，
∴直线l与圆相交，
故选C．
7．【正确答案】A
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质依次进行排除选项即可．
【详解】解：A、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意；
B、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意；
C、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意；
D、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意；
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
∵正五边形内接于，
∴，
∵P为上一点，
∴，
故选B．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，解题关键是明确二次函数开口方向、对称轴与单调性的联系，通过对称轴位置建立不等式求解．
二次函数开口向下，当时y随x增大而减小，说明对称轴在左侧或重合，据此列不等式求解．
【详解】∵二次函数中，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∵当时y随x的增大而减小，
∴对称轴，
解得．
故选B．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．由图知，，，对称轴，得；时，；时，，当时，，进而求解即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，故C选项不符合题意，；
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵时，，当时，，
∴，故B不符合题意；
∵对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在和0之间
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在2和3之间
∴当时，，故D符合题意．
故选D．
11．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
12．【正确答案】A
【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是到的过程，二是到的过程，分别用含的式子表示出，再结合图象判断即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵于点D，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，，
则，
∴，
∵四边形的面积为y，
∴
，
∴当时，抛物线开口向下；
当点P沿路径运动时，
即时，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴．
∴当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选A．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、开口大小、对称轴）及解析式的确定，解题关键是根据已知条件设出抛物线的顶点式，再代入点的坐标求解．
根据题意，抛物线的二次项系数绝对值为1且开口方向相反，故；对称轴相同，故．设解析式为 ，代入点求．
【详解】由于开口大小相同且方向相反，故二次项系数为；对称轴相同，故一次项系数为0，
设抛物线解析式为 ．将点代入得 ，即 ，
解得 ，
故该抛物线的表达式为 ．
故答案为 ．
14．【正确答案】25° ．
【分析】由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
【详解】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，，
，，，
，
，
，
的周长为.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，先化为顶点式，根据二次函数的性质可得抛物线开口向上，顶点坐标为，结合题意可得，，进而解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，顶点坐标为
∵函数的图象与轴交于两点
∴
解得：，
∵，
∴
解得：
∴.
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键．
设顶点式，然后把原点坐标代入，求出即可．
【详解】解：设该二次函数的解析式为，
把原点坐标代入，得：，
整理，得：，
解得：，
该二次函数的解析式为．
18．【正确答案】（1）
（2）；
（3）
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据函数图象即可得出答案；
（2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为．
故；
（2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为，
∵，
∴当时，，
∴当时，自变量的取值范．
故；；
（3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是．
故．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质是解题的关键；
（1）连接，由题意易得点是的中点，则有，根据平行线的性质可得，进而问题可求解；
（2）过点作于点，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据含直角三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵的平分线交于点，
∴，
∴，即点是的中点，
∵是半径，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点作于点，如图所示：
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【正确答案】（1）
（2）存在，点的坐标为或或
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）利用待定系数法可进行求解；
（2）设，由题意易得，则有或，然后分别代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数得：
，
解得，
此二次函数的表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
设，则根据题意，
得，，
解得或，
当时，，即，解得，即；
当时，，解得，
则，．
综上，点的坐标为或或．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键．
（1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明；
（2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是半圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵在中，，.
∴，
，
即，
解得．
22．【正确答案】（1），
（2）
（3）销售单价定为90元时，商场可获得最大利润
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设与的函数关系式为，然后由图象可把点代入进行求解即可；
（2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解；
（3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意，
得，解得，
与的函数关系式为，
成本为60元，获利不超，
；
（2）解：由题意，得：
；
（3）解：由（2），得，
，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，有最大值900，
答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）的半径为12
【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接，可得，由，可得，由同角的余角相等可得．再由，则可得，即可证明结论；
（2）设则，在中，由勾股定理可得方程求解即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
设
则
∴
又∵，
∴
在中，由勾股定理可得：
，
解得：或（舍去）．
∴，
∴的半径为12．
24．【正确答案】（1）
（2）是直角三角形，见详解
（3）
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，线段和最短问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状；
（3）作点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，连接，根据轴对称的性质得出，当三点共线时，有最小值，利用待定系数法求出直线的表达式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，
解得；
（2）解：是直角三角形．
证明：由（1）得，，
当时，，
，
，
在中，令，即，
解得，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，连接，
由轴对称的性质，得，
的周长，
点和点都是定点，
的长为定值，
两点之间线段最短，
当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值．
由，得，
设直线的表达式为，将，代入解析式得，
则，
解得
直线的表达式为，
在中，当时，，
解得
．