第一章勾股定理单元练习 北师大版数学八年级上册期末复习

这是一份第一章勾股定理单元练习 北师大版数学八年级上册期末复习，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
3．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A．B．C．D．
4．如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点DB．点A、点C、点G
C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E
5．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（ ）
A．3B．4C．6D．9
6．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
7．以下列各组数能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6B．，，C．4，6，8D．9，40，41
8．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（ ）．
A．336B．164096C．464D．155904
9．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．3B．4C．6D．8
10．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
11．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
12．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ．
14．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米．
15．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连结、，已知，，，，那么的长为 ．
16．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
17．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 .
三、解答题
18．如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．

19．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
(1)求处与地面的距离．
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）；
(2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由．
21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小时20的速度沿方向移动，A到的距离，在距台风中心的圆形区域都将受到台风的影响．
(1)台风中心经过多长时间将到达D点？
(2)A城受这次台风的影响有多长时间？
22．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，，若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？
23．如图，在中，，，，是上一点，，求的长．
24．（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
《第一章勾股定理》参考答案
1．C
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，

∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴．
故选：C．
2．A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
【详解】解：∵，，
∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，
∴∠BDF=∠DBF
∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，
解得：EF=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】如图，连接．
依题意，
∵，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
B、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、，可以构成直角三角形，符合题意；
D、，不可以构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出的长，进而求出小正方形的边长，再根据面积公式求出其面积即可．
【详解】解：由图和勾股定理，得：，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是；
故选B．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接，
由题意知：大树高为，小树高为，
∴，，，
在中，
答：小鸟至少飞行米，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理的应用．
利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意；
B. ∵，
∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意；
C. ∵，
∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意；
D. ∵，
∴该选项三个数能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
根据勾股定理计算即可．
【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形，
∴图中字母M所代表的正方形面积是，
故选A．
9．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个．
【详解】解：如图所示：
其中，，AB=2，
∵，
∴为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作交于D，由勾股定理可求得长，根据等腰三角形三线合一可知，则题目可解．
【详解】解：作交于D，
，
∵，
．
故选：C．
11．B
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键．
将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，共有种情况：
①如图，
，，
由勾股定理，得：；
②如图，
，，
由勾股定理，得：；
③如图，
，，
由勾股定理，得：；
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是．
故选：B．
12．A
【分析】设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，结合题意可解得，
，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，
由题意可知是矩形，．
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理解三角形和垂径定理；掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为，
中间小正方形的边长，因此面积可以表示为，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为：
，
∴．
故答案为：．
14．17
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，
则（米，米，
在中，（米．
最短路径为17米．
故答案为：17．
15．5
【分析】本题考查勾股定理.设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解.
【详解】解：如图所示，过B作于F点，设，
由题意得，，，，，
∴，四边形为矩形
∴，
∴
在中，
在中，
在中，
在中，
∴
解得
∴.
故答案为：5.
16．
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：向正表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向左表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向上表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
∵，
∴最短路径的长是，
故答案为：．
17．/
【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长．
【详解】连接AD，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．
18．见详解
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题．
连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，故，即．
【详解】证明：连接，
是的中点，，
垂直平分，
，
∵，，．
，
，
是直角三角形，
∴．
即．
19．(1)米；
(2)米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，∵米，米，
∴（米），
∴（米，
答：处与地面的距离是米；
（2）解：在中，
∵米，（米），
∴米，
∴（米），
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
20．(1)，
(2)见解析；以，，三条线段能构成直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理可得是一个两直角边长都为2的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
以，，三条线段能构成直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴以，，三条线段能构成直角三角形．
21．(1)小时
(2)4小时
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．
（1）根据勾股定理求得的长，再计算时间即可得结论；
（2）根据题意求出的长即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得：在中，，
则，
台风中心以每小时20的速度沿方向移动，
（小时），
答：台风中心经过小时将到达D点；
（2）解：如图所示：当，则，
故，
则（小时）．
答：A城受这次台风的影响的时间为4小时．
22．15天
【分析】本题考查了勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
根据勾股定理可先求解隧道，再根据每天凿隧道，即可求解天数．
【详解】解：∵，，，
∴由勾股定理可知，，
∵每天凿隧道，
∴天，
故15天才能把隧道凿通．
23．的长为
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴的长为．
24．(1)①，；②，；③；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．
（1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．
（2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理．
【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为．
②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为．
③由面积相等可得，
展开得，
整理得．
（2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为，
∴，
∴，
两边同乘得，
整理得，验证了勾股定理．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
B
C
D
A
D
C
题号
11
12








答案
B
A