+第一章勾股定理期中复习试题+++2024—2025学年北师大版数学八年级上册

这是一份+第一章勾股定理期中复习试题+++2024—2025学年北师大版数学八年级上册，共16页。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，那么斜边c的长为（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．如图，长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C向上垂直拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．5cm
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，1，2，则最大正方形E的面积是（ ）
A．16B．17C．18D．19

（2题） （4题） （6题） （7题）
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．3.0米B．2.9米C．2.8米D．2.7米
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（ ）
A．4.5πB．9πC．36D．18π
9．如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为5cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cmB．13cmC．12cmD．15cm
10．将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝6，则AB的长为（ ）
A．252B．12C．15D．152

（9题） （10题） （11题）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是 cm2．
12．如图所示，一棵大树在距地5m的B处折断，着地处A与树根C的距离比着地处A与折断处B的距离少1m，则原树高为 m．
13．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE=132，则AB的长是 ．

（13题） （14题） （15题）
14．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，P、Q分别为AB、BC边上的动点，则CP+PQ的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AC⊥CD．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝12，BD＝10，求△AEC的周长．
18．（9分）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线BD上P点处，转轴B到地面的距离BD＝3m．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝2m，将他从A处摆动后的坐板记为A′．
（1）当A′B⊥AB时，求A′到BD的距离；
（2）当静静秋千位于A′处时，她忽然发现一只小狗趴到了D点位置，小狗高度0.4m，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？
19．（9分）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
20．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
21．（9分）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km，那么：
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）最好选择什么方向？
22．（10分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，请探究下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，运动到点C时停止，设运动时间为t秒．
①当点P在线段AB上运动时，线段CP的长度何时最短？求出此时t的值．
②当t为何值时，△ACP为等腰三角形？（直接写出结果）
23．（11分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+(a-b)2，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，
∴斜边c=a2+b2=62+82=10，
选：C．
2．解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
橡皮筋被拉长了2cm．
选：B．
3．解：b2﹣c2＝a2
则b2＝a2+c2
△ABC是直角三角形；
a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
a2+b2＝c2，
△ABC是直角三角形；
∠C＝∠A﹣∠B，
则∠A＝∠B+∠C，
∠A＝90°，
△ABC是直角三角形；
∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，
则9x+12x+15x＝180°，
解得，x＝5°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形；
选：D．
4．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18．
选：C．
5．解：∵（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）＝0，∴（a﹣b）＝0或（a2+b2﹣c2）＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
选：D．
6．解：∵车宽1.6米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD=OC2-OD2=12-(810)2=0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
选：B．
7．解：如图：
过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，由勾股定理得：AD＝3，
∴DE＝3，
即点D到BC的距离是3，
选：B．
8．解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，
∴EF2＝64，DE2＝100，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF=DE2-EF2=100-64=6，
∴半圆C的半径为3，
∴半圆C的面积=12•π•32＝4.5π，
选：A．
9．解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为AB的长，
由勾股定理得，AB=52+(6×2)2=13(cm)，
选：B．
10．解：如图，设∠B为∠1，∠C为∠2，∠CDE为∠3，图2中∠1的余角为∠4，
∵△ABC是等腰三角形，BD＝6
∴∠1＝∠2，CD＝6，
∵∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴CO＝OD＝OB，
∴OB=12CD，
∵AO＝AD′，AD′＝AD，
∴AB=AO+OB=AD+12CD，
设AB为x，
根据勾股定理得AD=x2-62=x2-36，
∴x=x2-36+12×6，
解得：x=152，
∴AB=152，
选D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是12×AB×BC=12×6×8=24（cm2），
答案为：24．
12．解：由题意得，BC＝5，AB﹣AC＝1，BC⊥AC，
∴AC＝AB﹣1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
∴AB2＝BC2+（AB﹣1）2，
∴AB2＝52+（AB﹣1）2，
解得AB＝13，
∴AB+BC＝13+5＝18（m），
即原树高为 18m，
答案为：18．
13．解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
答案为：12．
14．解：根据翻折的性质可知：∠FBD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴BF＝DF，
设BF＝DF＝x，
∴AF＝9﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
（9﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴S△FDB=12×5×3=152．
答案为：152．
15．解：作C关于AB的对称点C′，过C′作C′Q⊥BC于Q，交AB于P，连接C′B，
则C′Q的长就是CP+PQ的最小值，
此时CD＝C′D，∠CDB＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC=AB2-AC2=4，
∵S△ABC=12BC×AC=12AB×CD=12AB×12C'C，
∴CC'=245，CD=125，
∴BD=BC2-CD2=165，
∵S△C'BC=12C'C×BD=12BC×C'Q，
∴C'Q=9625．
答案为：9625．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）证明：∵CD＝2，AD＝3，且AC⊥CD，
∴AC=AD2-CD2=32-22=5，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）解：∵S△ABC=12AB•BC，S△ACD=12AC•CD，四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，
∴四边形ABCD的面积=12×1×2+12×5×2＝1+5．
17．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2＝AC2+EA2，
∴△ACE是直角三角形，
∴∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝10，
∴BC＝2BD＝20，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=BC2-AC2=202-122=16，
∴BE+AE＝16，
∵CE+AE+AC＝BE+AE+AC＝16+12＝28，
∴△AEC的周长为28．
18．（1）解：自A′作A′F⊥BD，垂足为点F（如图），
由题意可知BD⊥DE，AC⊥BD，AE⊥DE，
∴四边形ACDE是矩形，
∴CD＝AE＝2m，
∵BD＝3m．
∴BC＝BD﹣CD＝1m，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∵A′B⊥AB，AC⊥BD，
∴∠A′BF＝∠BAC＝90°﹣∠ABC，∠A′FB＝∠BCA＝90°，
在△A′BF与△BAC中，
∠A'BF=∠BAC∠A'FB=∠BCAA'B=BA，
∴△A′BF≌△BAC（AAS），
∴A′F＝BC＝1m，
即A′到BD的距离为1m．
（2）∵BP=AB=5m，BD＝3m．
∴PD=BD-BP=(3-5)m，
∵(3-0.4)2＞(5)2，则3-0.4＞5，
∴3-5＞0.4，
∴秋千不会碰到小狗．
19．解：（1）∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米，
∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°．
∴BD=AB2-AD2=152-122=9（米）．
（2）∵S△ABD=12AD•BD=12AB•DE，
∴AD•BD＝AB•DE，
∴12×9＝15DE，
∴DE=365（米）．
20．解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
答案为：17；37．
21．解：（1）在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=1502-902=120.120÷20＝6时；
（2）根据题意，得游人最好选择沿AD所在的方向撤离．撤离的时间＝30÷6＝5．
又台风到点D的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD所在的方向．
22．解：（1）如图，作AD⊥BC，交BC于点D．
∵△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，
∴BD＝CD=12BC=12×6＝3（cm），
∴AD=AB2-BD2=52-32=4（cm），
∴S△ABC=12BC•AD=12×6×4＝12（cm2）．
（2）①如图，当PC⊥AB时，线段CP最短．
∵S△ABC=12AB•CP=52CP＝12，
∴CP=245，
∴AP=AC2-CP2=52-(245)2=75（cm），
∴2t＝AP=75，
∴t=710．
②当点P在AB边上（不与点B重合）时：
作CD⊥AB，交AB于点D．
∵S△ABC=12AB•CD=12×5•CD＝12，
∴CD=245，
∴AD=AC2-CD2=52-(245)2=75（cm），
当AC＝CP时，2t＝AP＝2AD＝2×75=145，
∴t=75；
当AP＝CP时，2t=(245)2+(2t-75)2，
解得t=12528；
∵AB＝5，
∴0＜t≤52，
∴t=12528舍去；
当AC＝AP时，点P与点B重合：
∵2t＝AB＝5，
∴t=52．
当P点在BC上时，CP＝11﹣2t，
当CP＝AC时，11﹣2t＝5，
解得t＝3；
当AP＝CP时，11﹣2t=42+(2t-8)2，
解得t=4112；
综上，当t=75或52或3或4112时，△ACP为等腰三角形．
23．解：（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2，
∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），
答：新路CH比原路CA少约0.03千米；
（3）∵AH＝x，
∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x，
∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，
根据勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得：x＝6，
∴AH＝6，
∴CH=CA2-AH2=102-62=8．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8

勾股数组Ⅱ
35
/