（人教A版）高二数学上学期期中复习讲与练专题09 圆中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
【专题过关】
【考点目录】
考点1：斜率型
考点2：直线型
考点3：距离型
考点4：周长面积型
考点5：长度型
【典型例题】
考点1：斜率型
1．已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（ ）
A．2B．C．或D．2或
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，因为切线长的最小值为2，所以，
所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即，所以圆心到直线的距离为，所以，整理得，解得或.故选：C
2．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示：
可表示点与点连线斜率，当直线与圆相切时：设直线方程为，即圆心到直线距离，解得或，又，所以，
当直线经过点时，，综上故选：B.
3．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线过定点 ，
曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示
当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 .
当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得 结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点
故选：B
4．（多选题）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】CD
【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.
5．已知实数x，y满足方程，求：
(1)的最大值；
(2)的最小值．
【解析】(1)，圆心，半径。
表示与构成的斜率。
设直线，则到直线的距离为，，解得，
所以，即的最大值为。
(2)表示与距离的平方。如图所示：
则的最小值为
6．已知圆C的圆心坐标为(2，7)，直线 是圆C的一条切线，且点 (－2，3)为圆外的一点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点为圆上的任一点，求 的最大值和最小值；
(3)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值．
【解析】（1）因为圆C的圆心坐标为(2，7)，直线 是圆C的一条切线，所以圆C到直线的距离等于半径，即，所以圆C的标准方程；
（2）因为圆心坐标，，,所以，；
（3）设过点的直线方程为：，即，易知直线与圆相切时，有最值，由，解得，所以的最大值是，最小值是
7．（1）已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．
（2）已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值与最小值．
【解析】(1)圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)，半径r＝2.
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)连线线段长度d的平方加上2.
因为|AC|＝5，所以3≤d≤7，所以所求最小值为11，最大值为51.
(2)方程 (x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与点(0，1)连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx＋1.当直线y＝kx＋1与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时＝，解得k＝－2±，所以的最大值是－2＋，最小值为－2－.
考点2：直线型
8．）已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
【解析】（1）的中点为 ，又
的中垂线方程为，即，
由解得，圆心为，
∴圆的方程为
（2）令即，直线与圆有公共点，
∴圆心到直线的距离为，解得．
所以3x－4y的最大值为24，最小值为-26．
9．点在圆上，则的范围是_______．
【答案】
【解析】设，，即，
所以，
因为，所以.故答案为：
10．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到直线的最小距离为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆.
对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项 B错误；
对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确；
对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（ ）
A．"欧拉线"方程为
B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是1
D．若点在圆上，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】因为，故欧拉线即为的中垂线，而，，故的中点为，而，故为的中垂线方程为：，故A错误.
因为圆与欧拉线相切，故， 所以圆上的点到欧拉线的距离为 ，故B正确.
若点在圆上，设，则，故，故的最小值为1，故C正确.
因为点在圆上，故即，故，由C的判断可得，故，故D正确.故选：BCD.
12．（多选题）已知实数x，y满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为5
D．点到直线的距离的最大值为
【答案】BD
【解析】方程表示以为圆心，的圆，
对于A：表示点与的连线的斜率，设过点的直线的斜率为，则，即，所以，解得，故A错误；
对于B：令，即，则，解得，即，故的最小值为，即B正确；
对于C：表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离，因为，所以，即，所以，故C错误；
对于D：因为直线恒过点，又，所以点到直线的距离的最大值为，故D正确；
故选：BD
13．已知点在圆上．
(1)求的最大值；
(2)求的最大值；
(3)求的最小值．
【解析】(1)圆的圆心，半径，
令，即，表示斜率为-1，纵截距为a的直线，依题意，此直线与圆C有公共点，
于是得，即，解得，所以的最大值为.
(2)令，即，表示过原点斜率为k的直线，依题意，此直线与圆C有公共点，
则有，即，解得，所以的最大值是.
(3)因，则表示圆C上的点与定点的距离，而，显然有，当且仅当P是线段AC与圆C的交点时取“=”，所以的最小值是.
考点3：距离型
14．已知实数满足，求的最小值.
【解析】表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小，数形结合知的最小值为，
故的最小值为5.
15．过点P(-3，1)作直线m(x-1)+n(y-1)=0的垂线，垂足为点M，若定点N(3，4)，那么的最小值为________．
【答案】3
【解析】直线m(x-1)+n(y-1)=0恒过定点，显然点M与P，Q都不重合时，，于是得点M在以线段PQ为直径的圆上，当点M与P，Q之一重合时，也满足条件，即点M的轨迹是以线段PQ为直径的圆，圆心，半径，圆C的方程为：，显然，点N在圆C外，于是得，所以的最小值为为3.
故答案为：3
16．若点在圆上，则的最小值__________．
【答案】
【解析】由，得，则圆的圆心为，半径为，
因为表示圆上的点到点的距离的平方，
所以的最小值为，故答案为：
17．已知满足，则的最小值为___________.
【答案】3−22
【解析】设圆的圆心为，半径为，表示圆上的点与原点的距离的平方，连接，可得，线段与圆的交点到原点的距离最小，所以的最小值为.故答案为：.
18．（多选题）已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD
19．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
20．已知实数、满足方程，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径长为，，所以，原点在圆外.的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，.故选：A.
21．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】A
【解析】由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即，点在直线上，表示直线的点到点的距离，∴最小值为．故选：A．
22．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，圆心，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：B.
23．已知为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】由圆，得，可得圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线的距离，而为直线上的动点，N为圆上的动点，则的最小值是．故选：D
24．设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，可得圆心到直线的距离为，所以，，所以.故选：C.
考点4：周长面积型
25．已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.
【解析】（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，
则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，
所以，解得，所以圆的方程为.
（2）由题意：四边形周长，其中，
即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，所以周长，
故四边形周长的最小值为.
26．已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________.
【答案】15
【解析】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3），∴|AB|＝5，
由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，所以圆的半径为3，圆心为，
圆心到直线的距离，
所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为，
所以的最大值为，最小值为，
所以△ABC面积的最大值和最小值之差为.故答案为：15
27．设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ .
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
连接，，，可得，，且，，
，
的最小值是圆心到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为．故答案为：．
28．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．
【答案】3
【解析】根据圆的方程，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离，此时最大面积．故答案为：．
29．过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】由圆的方程可得：，则圆心为：，半径
又为圆的切线，则
又
当四边形的面积的取最小值时，最小，又垂直于直线时，最小
四边形面积的最小值为：故选：B
30．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最小值为（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】A
【解析】，，∴，圆的圆心到直线的距离，∴到距离的最小值为，∴面积的最小值为，故选：A.
考点5：长度型
31．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.
【答案】5
【解析】如图，圆是圆关于直线 的对称圆，
所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知，
五点共线时， 有最小值，此时，
所以的最小值为5.故答案为：5.
32．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
【答案】
【解析】由题意知，A，B是切点，是圆心，且圆的半径为所以，
四边形PACB面积为：所以当取最小值时，取最小值
由点在直线上运动可知，当与直线垂直时取最小值
此时为圆心到直线的距离即
故四边形PACB最小面积为：故答案为：.
33．已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．
【答案】8
【解析】因为圆C：，故圆C是以为圆心，半径的圆，
则圆心到直线的距离 ，故直线和圆相离，点A坐标满足，A在圆外，设点关于直线的对称点为，
故，解得，故，则 ,
连接交圆C于Q，交直线于P,
由对称性可知:,当且仅当共线时，取等号，
故答案为：8
34．已知圆,圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为4.设为点关于轴对称的点，由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，
即.故选：D.
35．已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，
所以，所以的最小值为，故选：A．
36．已知表示圆的方程.
(1)求实数的取值范围；
(2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程.
(3)为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值.
【解析】(1)由题可知：，该方程表示圆，则，
即，解得.则实数的取值范围为；
(2)令， ，开口向下，对称轴为，
当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为，
设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长，
即，解得，则另一条切线斜率不存在。
即切线方程为，即；另一条切线方程为；
(3)设，则，
设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，
由（2）知，又，则点M在圆C外面，
所以，则.
则可知的最小值为.