（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题08 立体几何中的范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
【典型例题】
例1．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC沿AC展开至与平面共面，此时．
因为，且，由余弦定理可得，
解得，所以的最小值为．故选：A.
例2．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：
的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，因为，，所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，,故选：C.
例3．过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，其中，由题意可知，过圆锥顶点的截面三角形面积为，所以，，因为，故，故该圆锥的顶角的最大值是.故选：B.
例4．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（ ）
A．线段长度最大值为，无最小值
B．线段长度最小值为，无最大值
C．线段长度最大值为，最小值为
D．线段长度无最大值，无最小值
【答案】C
【解析】分别取的中点,
因为，平面，平面，
所以平面,同理可得平面.
因为平面,所以平面平面.
因为P是底面上一点．且∥平面，所以点的轨迹为线段.
因为正方体的棱长为2，所以,,
当与点或重合时，；当为线段的中点时，.
所以线段长度最大值为，最小值为.故选:C.
例5．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（ ）
A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为
B．当点P为棱的中点时，CN∥平面
C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为
D．当点时，满足平面的点P共有2个
【答案】C
【解析】由于线面角的最大值为，与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误；
取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接,
且故
平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误；
，到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故
,,故，故选项C正确.
当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故选项D错误
故选：C.
例6．若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的高为h则，解得：，设截面在圆锥底面的轨迹，则截面等腰三角形的高，所以截面面积
，当且仅当，即等号成立，故选：C
例7．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角在中解得.
进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为所以.因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.故选：A.
例8．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，分别取的中点，连接,因为为所在棱的中点，
所以,所以，又因为平面，平面，
所以平面；因为 所以四边形为平行四边形，
所以又平面，平面，所以平面；
又因为,且平面,平面,所以平面平面，
因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，,
当在中点时，时，最短，在时，最长，
,,
所以线段长度的取值范围是故选:C.
【过关测试】
一、单选题
1．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，则的最小值为．
在中，，，则．故选：D
2．如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】直线与平面没有交点，所以平面，取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，故 平面；同理可得平面，，平面，
故平面平面，
故在上运动，当时，最小，最小值为，
此时的面积最小，求得.故选：A
3．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，
则，所以，设正方体的棱长为，则，，
所以,当且仅当与重合时，取得等号，所以的最小值是.故选：.
4．如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（ ）
A．4，1B．，1.5C．4.5，D．，2
【答案】B
【解析】设点P到平面的距离为h，则，∴.点A到BC的距离为3，如图，取的中点D，AB的中点E，AC的中点F，的中点G，连接DE，EF，FG，GD，则点P在矩形DEFG的边上自由移动，点A到EF的距离为，，∴.
故选：B
5．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，
如图，设，则，且，于是，
所以，当且仅当即时取等号
故四边形的面积最大值为，故选：C.
6．已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以，即，因为直线与直线所成角的范围为，所以当直线与底面圆相切时，直线与母线所成角最大为，则该直线与母线所成的角的余弦值的最小值为；当直线过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线与母线所成角最小，则该直线与母线所成的角的余弦值的最大值为，
即该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为.
故选：A
二、多选题
7．在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，到底面的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
【答案】AD
【解析】对于A，当时，，，
设正三棱锥的高为，根据，得，A正确；
对于B，结合A的分析，当正三棱锥的体积取最大值时，则有，B错；
对于C，当时，过点A作平面分别交线段，于，不重合，
则周长的最小值为展开图的直线距离，C错；
对于，在中根据余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，故函数在上递增，
即当变大时，正三棱锥的表面积一定变大，故D正确．故选：AD．
8．棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形D．存在x，y使与截面平行
【答案】BD
【解析】对A，时，截面为矩形，故A错；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B正确；
对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，故D正确．
故选：BD
三、填空题
9．如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．
【答案】+2
【解析】由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC．在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF＝＝．∴DEF周长的最小值＝+2．故答案为：+2．
10．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________
【答案】3
【解析】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，
因为，当且仅当点为线段与平面的交点时等号成立；
所以的最小值为，由已知为直角三角形，且，为直角，
所以，所以的最小值为3.故答案为：3.
11．已知二面角的平面角是120°，在面内，于，，在面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值是______.
【答案】
【解析】将二面角平摊开来，即为如下图形，
当在一条直线上时有最小值，最小值为对角线
因为,所以,故答案为: .
12．如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】把平面沿着展开与在同一平面上，连接，则的最小值是，
因为，三棱柱是直三棱柱，
，，
，因为，所以，所以，
所以，由余弦定理得，
所以，故的最小值是.故答案为：
13．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________
【答案】
【解析】
如图，过作，垂足点为，连接,
根据面面，面面，可得底面，
即为直线与面所成角，设，设，又，则，
因为，，，，则，易知，且，
在中，，由余弦定理可得：，
又，，
所以，，
令，
则，，当时，取得最大值.
所以，直线与面所成角的正弦的最大值为．故答案为：．
14．有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm，则圆柱侧面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】若铁丝长度的最小值为40cm，则，所以，所以侧面积为，所以圆柱侧面积的最大值为．故答案为:
15．在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.
【答案】
【解析】在正方体中，取的中点M，N，连，如图，
因点E、F分别是棱BC，的中点，则，平面，平面，则有平面，显然为矩形，有，，即有为平行四边形，
则，而平面，平面，有平面，
，平面，因此，平面平面，因平面AEF，
则有平面，又点P在平面，平面平面，
从而得点P在线段MN上（不含端点），在中，，，
等腰底边MN上高，于是得，
所以线段长度的取值范围是.故答案为：
16．若直线l与平面所成角为，直线a在平面上，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为异面直线，则直线与所成角的最大值为，故直线与直线所成角的取值范围是.故答案为：.
17．已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
【答案】②③
【解析】如图所示：
平面，平面，
①当点E与或重合时，M为正或正，周长为，面积为，在平面上投影面积为；
②当点E与不重合时，设，则，∴，，
∴，同理可得：，，故M的周长为定值．
M的面积为，
当时，取得最大值．M在平面上投影的面积，
由①②知M在平面上投影的面积取值范围是，M的面积最大值为，M的周长为定值．
故答案为：②③
18．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.
【答案】
【解析】四边形为平行四边形，；
平面，平面，平面；
又平面，平面平面，，同理可得；
设，，，，；
又，，，，且；
四边形的周长为，；
四边形周长的取值范围是．故答案为：
19．在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是线段的中点，点M在正方形内（含边界），记过E，F，G的平面为，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
如图，取中点为，连结.
由已知，且，所以四边形是平行四边形，所以，且.又分别是线段的中点，所以，，所以，所以平面即为平面.易知，又，所以四边形是平行四边形，所以，又，，所以，同理由，可得.
因为平面，平面，，所以平面.
则由，平面，可知，平面，平面.
又点M在正方形内，平面平面，所以.
所以的长即为点到线段上点的距离，因为，所以当点为线段的中点时，最小，此时；当点与线段端点重合时，最大，此时.所以的取值范围是.故答案为：.
20．已知球是正三棱锥的外接球，，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.
【答案】
【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，
则，，
在中，，解得，，，
在中，，，
过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．所得截面圆面积的取值范围是，
故答案为：．
21．已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】将直线平移交于点，设平移后的直线为，过点作及其外角的角平分线，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；
综上所述：.故答案为：.