（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题04 解三角形图形类问题（中线问题、角平分线问题）（2份，原卷版+解析版）

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解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【典例例题】
例1．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【解析】（1），，即
由正弦定理可得
，即
（2），即设，则
，，解得
例2．如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【解析】（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得，即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，在△ABC中，，
所以，所以，所以．
（2）由（1）知，又因为，，所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则，
所以在△PBC中，，由正弦定理得，
即，即．由余弦定理得，
由题意知，故解得，所以．
例3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
【解析】（1）由，得，
即，由正弦定理，得，
整理，得，∴，
又，∴，∴，又，∴；
（2）连接BD，因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以．在中，由余弦定理可得
，
所以．
例4．在中，的角平分线与边相交于点，满足.
(1)求证：；
(2)若，求的大小.
【解析】（1）（1）证明：因为为的角平分线，故，
在中，由正弦定理可得：①，
在中，由正弦定理可得：②，
由①和②可得，又，故，
可得：，即；
（2）（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设.
在中，由余弦定理可得：，即③，
在中，由余弦定理可得：，即④，
由又，故，由③和④可解得：，，
从而可得，，，
在中，由余弦定理得：，
又，故.
例5．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.
（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
【解析】（1）因为，且角为钝角，所以.
在中，由余弦定理得，，
所以，即，解得或（舍），
所以小岛与小岛之间的距离为.
∵，，，四点共圆，∴角与角互补，
∴，，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴.解得（舍）或.
∴.
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.
（2）在中，由正弦定理，，即，解得
又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，
所以，又因为，，
所以.
例6．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【解析】（1）在中，，整理得，
即，所以或．
（2）因为，由（1）得，所以．
在中，由余弦定理得．所以．
由，得．在中，由正弦定理得，
即，所以．
例7．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，即，
而，即，故有，从而．
由，即，即，即，故，即，
又，所以，则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．在中，．
在中．因为，所以，
整理得．又因为，所以，即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．所以，
即，又因为，所以．③
由余弦定理得，所以④
联立③④，得．所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，
由余弦定理得．
例8．如图，在中，，的角平分线交于点．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【解析】（1）∵为的角平分线，∴，即，
∴，又∵，∴．
（2）由（1）知，而，且，
∴，∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，∴．
例9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，所以．
在中，由正弦定理可得，由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．
例10．如图所示，在梯形中，，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
【解析】（1）.
（2）由（1）知，，
∵，∴，，
，
由.
【过关测试】
一、单选题
1．如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【解析】设，在中，由正弦定理可得①，
由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，
①②两式相除，得，即，
整理得，化简得，故.故选:C
2．如图，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在三角形BCD中，由余弦定理得：，
因为，所以角C为锐角，所以，
在三角形ABC中，
故选：A
3．如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，因为，，，
所以由余弦定理，得，由正弦定理，得；
在和中，，，
又，所以的面积为.故选：C.
4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
【答案】D
【解析】因为，故可得，根据余弦定理可得，故，不妨取中点为，故，
故.即边上的中线长为.故选：.
5．△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcs∠ADB，
AC2=DA2+DC2－2DA·DCcs∠ADC，又cs∠ADB=－cs∠ADC
两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故选：D
6．如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．14D．
【答案】D
【解析】设，在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，
设，由正弦定理知，解得，所以，
所以，
所以.故选：D.
7．在中，已知，D是边上一点，如图，，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【解析】 ，根据余弦定理，
，，，根据正弦定理，
则．故选：B
8．如图，在三角形中，点在边上，， ， ,则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，根据条件知为等边三角形，则，，
由余弦定理，得，即，
由正弦定理，得，则，故选：D.
二、多选题
9．△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，故选：AB
10．在△中，角 所对的边分别为，，．若点在边上，且，是△的外心.则下列判断正确的是（ ）
A．B．△的外接圆半径为
C． D．=
【答案】BC
【解析】对A，在中，,，，又，
，故选项A错误；对B，又，所以，故，选项B正确.
对C，取的中点，如图所示：
在中，，
在中，，故选项C正确；
对D，由题意，点的位置不确定，故长度不确定，选项D错误.故选：BC.
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．的中线的长为
C．的三个内角满足D．的外接圆半径为
【答案】ACD
【解析】由正弦定理得：，设，则，，
，解得：，
的周长为，A正确；
由余弦定理得：，又，，B错误；
，，，，则，C正确；
由正弦定理得：（为外接圆半径），，D正确.故选：ACD.
三、填空题
12．若是圆的内接正三角形，且圆的半径是10，则的边长为___________.
【答案】
【解析】如图连接，并延长交于，连接，则，
在中，，所以，
所以，所以的边长为，
故答案为：
13．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得米，，（设定四点在同一平面上），则两点的距离为___________米.
【答案】
【解析】由题意可知在中，,
则 ,故 ,
在中，,故,
故由 ,得，
在中， ，
故（米）.故答案为：
14．在四边形中，已知，，，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：（舍）或；
，，，又，，，
在中，，.故答案为：.
15．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b，c，若csA＝，B＝2A．b＝3，若点M在边BC上，且AM平分∠BAC，则△ABM的面积为____________．
【答案】
【解析】∵csA＝，B＝2A．b＝3，∴，，
由得，∵，∴，∴，
∴，∴．
由正弦定理得．又平分，∴，又，
∴，∴．
故答案为：
16．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出米，，，，，则AB的长为___________米.
【答案】
【解析】在中，已知，
在中，，
由正弦定理，得在中，，
利用余弦定理知.故答案为：
四、解答题
17．如图，在平面四边形中，若，，，，．
(1)求B；
(2)求证：．
【解析】（1）在中，因为，
所以，即，
所以，又，所以，因为，所以；
（2）在中，，则，
所以，则，
在中，，，，
则，
因为且，所以.
18．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
【解析】（1）连接，则是的中位线，故，且，
在中，，又，故是等边三角形，所以，
因为∽，所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
解得，则，因为，所以，
在中，由勾股定理得，
因为∽，所以，解得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以的余弦值为.
19．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，所以，；
若选②，由余弦定理可得，若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．
20．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【解析】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，其中，
∴，则,,∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
21．如图，在梯形中，已知，，，，，求：
(1)的长；
(2)的面积．
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得：，即故：．
（2）∴
在中，由余弦定理得：
即，解得：或舍．
故：的面积为7.
22．在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
【解析】（1）在中，由余弦定理得：，
所以，解得或，经检验均符合要求；
（2）在中，过D作的平行线交于E，因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，
在中，，又，所以.
由余弦定理得：，所以，
所以或（舍去），故.
23．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.
(1)若，求的长；
(2)若，求的周长.
【解析】（1）在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，所以.
（2）因为，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
24．如图所示，在四边形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD为的平分线，试求BD．
【解析】（1）由正弦定理得，∴＝∴.
（2）由，可得，又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即∴.
25．如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．
【解析】（1）在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
又，故，
由于，所以，因此，
（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,
由于为三角形内角,所以，由(1)知,故
因此,
进而得
26．如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）在中，
，
因此，当且仅当时取等号．故周长的最大值是．
（2）设，则，．
在中，，在中，．
两式相除得，，，
因为，
，
，故．
27．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
【解析】（1）由余弦定理得：＝7∴
（2）由正弦定理：得.
（3）如图所示：
过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，
∴，，在Rt中，=.
∴
∴∴
28．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）∵，∴，
则．
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
29．如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
【解析】（1），，则，
，解得，，，，
在中，由正弦定理可知得.
（2）由得，所以，
因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，得，所以，
.
30．在平面四边形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
【解析】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，.
（2）设，则，在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
.
31．如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．
(1)的余弦值．
(2)求四边形的面积.
【解析】（1）在中，由余弦定理可知：,即
故 , ,是等腰三角形，故
在中，由余弦定理可知：
即,
在中，由正弦定理可知：
因为为锐角，所以
（2）由（1）知： 是的重心，所以 ,故
所以四边形的面积为
32．在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
【解析】（1），解得，
由余弦定理得，因此，.
（2）在中，，在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.