（人教A版）高二数学上学期期中复习讲与练专题12 抛物线及其性质（2份，原卷版+解析版）

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知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【专题过关】
【考点目录】
考点一：抛物线的定义与方程
考点二：抛物线的轨迹方程
考点三：与抛物线有关的距离和最值问题
考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
考点五：焦半径问题
考点六：抛物线的性质
【典型考题】
考点一：抛物线的定义与方程
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，其上一点到焦点F的距离为6．求抛物线的方程及点A的坐标．
【解析】由题意，设抛物线方程为，则其准线方程为，
∴，得p＝4，故抛物线方程为；又∵点在抛物线上，
∴，∴，即点A的坐标为或．
2．（多选）下列方程的图形为抛物线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，方程化为表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，A是；
对于B，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，
而定点在定直线上，原方程表示的图形不是抛物线，B不是；
对于C，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，C是；
对于D，方程化为，方程表示的图形是抛物线，D是.故选：ACD
3．（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】将对应方程化为标准方程得，，所以抛物线的焦点在轴上，故排除D选项，对于A选项，由图可知，，，矛盾，故A错误；
对于B选项，由图可知，，，满足，故B正确；
对于C选项，由图可知，，，，满足，故C正确；故选：BC.
4．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.
5．下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．
①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为．
【答案】①③（答案不唯一）
【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选．
若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为．
若选①⑤，设焦点，，，，由，得，解得，故抛物线的方程为．由④可知，故还可选择①④．故答案可为①③或①⑤或①④．
故答案为：①③（答案不唯一）
6．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．
【答案】
【解析】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，，因为抛物线过点，所以，可得，
所以抛物线的焦点到准线的距离为．故答案为：
7．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，若抛物线的焦点在轴正半轴上，则可设抛物线方程为（），，，由焦半径公式可知，圆的半径为，
得，并且线段中点的纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，切点坐标为或，所以，即点的坐标为，代入抛物线方程（）得，解得或，即当点在轴正半轴上时，抛物线方程是或.
同理，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或，当点F在轴正半轴时，抛物线方程为或，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或．
故答案为：（答案不唯一）.
8．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵以为圆心，为半径的圆交于，两点，，结合抛物线的定义可得：是等边三角形，．的面积为：，．
又点到准线的距离为，则该抛物线的方程为．故选：B．
9．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】作，，垂足分别为，设与轴交于点，
由抛物线定义知：，，
设，则，，，则，
，又，，，
，，即，抛物线方程为：.
故选：C.
10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝4x或y2＝8x
【答案】D
【解析】∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），∴，可得.又点M到准线l的距离为3，∴，解得p＝2或p＝4.则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.故选：D.
11．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．故选:B．
考点二：抛物线的轨迹方程
12．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．故答案为：.
13．若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【解析】由题意，动点满足，即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，又由点不在直线上，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
14．已知动圆⊙经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为动圆⊙经过定点，且和直线相切，所以点到点的距离等于它到直线的距离，即的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以，解得，轨迹方程为．故选：B．
15．若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是______．
【答案】
【解析】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，
其方程为．故答案为：.
16．若点满足方程，则点P的轨迹是______．
【答案】抛物线
【解析】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
17．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，
所以该抛物线方程是，故答案为：
18．已知动点满足，则点的轨迹为（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
【答案】B
【解析】把化为，
因为可看做与的距离等于到直线的距离，
由于点不在直线上，满足抛物线的定义，则点的轨迹为抛物线，故选：B
19．平面上动点到定点的距离比到直线：的距离大，求动点满足的方程.
【解析】因为动点到定点的距离比到直线：的距离大，所以动点到定点的距离与到直线：的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
此时，故所求的点满足的方程是.
20．已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程．
【解析】由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，
即动点到的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，
则点的轨迹方程为.
21．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
【解析】由题意知：点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，
所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2，故点P的轨迹方程为y2＝－8x.
22．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，设，，，因为动点满足，
所以，即，，
所以，，因为，所以，
所以，即的轨迹方程为.
故答案为：；.
考点三：与抛物线有关的距离和最值问题
23．已知点，点Q在曲线上．
(1)若点Q在第一象限内，且，求点Q的坐标；
(2)求的最小值．
【解析】（1）设，则，
由已知条件得，将代入上式，并变形得，解得x＝0（舍去）或x＝2．当x＝2时，，只有x＝2，y＝2满足条件，所以；
（2），其中，所以，
所以当x＝1时，．
24．若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
【解析】由题意，可知抛物线的焦点，由抛物线的定义有,
所以最小值为，此时点为直线与抛物线的交点，
而直线的方程求得为：，
所以有，解得或（舍），
所以
25．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】
【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
26．设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线是．
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，
如图，当A，，共线时上述距离之和最小，
连接交抛物线于点，此时所求的最小值为．
（2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），
如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，
此时,当点与点重合时，的值最小，此时，
即的最小值为4．
27．（多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
【答案】AC
【解析】抛物线焦点为，准线为，作出图象，
对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．故选：AC.
28．已知P为抛物线上的动点，C的准线l与x轴的交点为A，当点P的横坐标为1时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为抛物线C的方程为，所以其准线方程为.
因为当点P的横坐标为1时，，所以，所以，
故拋物线C的方程为.设直线PA的倾斜角为，垂足为，，
由抛物线的性质可得，所以，
所以当直线PA与抛物线C相切时，最小.设直线PA的方程为，
联立方程组，得，由，得，，
所以，故.故选：B
29．已知抛物线的焦点为，为上的动点，直线与的另一交点为， 关于点的对称点为．当的值最小时，直线的方程为________．
【答案】
【解析】设为的中点，连接，
设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，．
则，，，
又点到直线的距离为，，
当，，三点共线且在，之间时，，此时，点的横坐标为．
过点，故设方程为，代入，得
，，则．当，，三点共线时，，解得，
直线的方程为，此时点在，之间，成立．
所以当的值最小时，直线的方程为
故答案为：
30．已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题意知，，∴抛物线：.设，由题意知，
则，当时，取得最小值8，
∴的最小值为.故答案为：.
31．抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
【答案】3＋
【解析】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．故答案为：3＋
32．抛物线，其上一点P到A(3，1)与到焦点距离之和为最小，则P点坐标为________
【答案】
【解析】因为点在抛物线内部，如图所示，
设抛物线的准线为，过抛物线上一点，作于，过作于.
，故当且仅当共线时，的值最小.
此时点坐标为，代入，得.故点的坐标为.
故答案为：
33．如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
【答案】
【解析】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立所以，解得所以抛物线C的标准方程为.
故答案为：
34．已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，设点坐标，则
，
由题意当时，，
令，则，，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，故的最小值为．
故答案为：
35．（多选题）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【答案】BCD
【解析】对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；
，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；
故选：BCD
36．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故选：C
37．已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知
当在抛物线上移动时，的值在变化，显然移动到时，三点共线，最小，此时，把代入，得，
所以当取最小值时，点的坐标为．故选：D.
38．若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.故选：D．
39．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，
，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．故选：B．
40．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，有，由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，由圆的几何性质可得，又由，可得的最小值为．故选：C.
41．已知抛物线的方程为，焦点为F，点A的坐标为，若点P在此抛物线上移动，记P到其准线的距离为d，则的最小值为______，此时P的坐标为______．
【答案】
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，作图如下：
根据抛物线的定义，，数形结合可知，当且仅当三点共线，且在之间时取得最小值；即的最小值为，又，故；此时直线的方程为：，联立抛物线方程，可得：，解得（舍）或，此时，
即此时点的坐标为.故答案为：；.
考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
42．已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）
【解析】(1)如图所示，由已知得点为线段中垂线上一点，即，
即动点到点的距离与点到直线的距离相等，
所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，
所以点的轨迹方程为，
(2)如图所示：设，点，，
联立直线与抛物线方程，得，，
，，，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
此时，即，所以当直线直线，时取得最小值为.
43．已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.
【解析】(1)由抛物线的方程可得其准线方程，依抛物线的性质得，解得.
∴抛物线的方程为.
(2)将代入，得.所以，直线的方程为，即.
设，则点到直线的距离，又，
由题意得，解得或.∴点的坐标是或.
44．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．
【答案】或
【解析】抛物线的焦点为，由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点，
因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形，
所以当在的右边时，点的坐标为，所以，化简得，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为，
当在的左边时，点的坐标为，
所以，化简得，解得或，
所以抛物线的方程为，综上，所求的抛物线方程为或
故答案为：或
45．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
【答案】
【解析】由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
46．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】D
【解析】根据题意，，可得，
所以双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，同理，
所以，解得.故选：D．
47．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，又抛物线的准线方程为，
则设渐近线与准线的交点为，，三角形的面积为，（）解得，故选：C
48．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【解析】由题可知，解得，所以的面积为，故选：C
49．已知点，点为曲线上的动点，过作轴的垂线，垂足为，满足．
(1)曲线的方程
(2)若为曲线上异于原点的两点，且满足，延长分别交曲线于点，求四边形面积的最小值．
【解析】(1)，点到直线的距离等于其到点的距离，
点轨迹是以为焦点的抛物线，曲线方程为：.
(2)
由题意知：直线斜率都存在，不妨设直线，，，
由得：，则，；
设直线，同理可得：，
四边形面积，
又（当且仅当，即时取等号），
，即四边形面积的最小值为.
50．设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的直线、，分别交曲线于、和、两个点，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）由抛物线的定义知点的轨迹为以为焦点的抛物线，，即，∴.
（2）设，由.
设，，
，
∵与互相垂直，∴以换得，
，
当时取等号，∴四边形面积的最小值为72.
51．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【解析】(1)证明：设,,则．
又因为，所以.则切线DA的斜率为，
故，整理得.设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.
由，可得，于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
52．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C
53．过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接、，
圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点，
设点，则，则，当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合，
由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，
则，所以，，
所以，，
此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称，则轴，
在中，，，，则，
所以，，因此，直线的方程为.故选：C.
54．已知抛物线y2= 2px（p > 0）的焦点为F，准线为l， M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，显然，在直角三角形中，，故选：C
55．如图，已知抛物线，边长为1的等边三角形，为坐标原点，轴，则以为顶点且过，的抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为等边三角形边长为1，且轴，不妨设，因为点A在抛物线上，
所以，解得，所以抛物线方程为，故选：D
考点五：焦半径问题
56．已知抛物线的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A、B、C为抛物线上相异三点．
(1)求p的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1）由抛物线焦点F到其准线的距离为得
（2）设点、、，
由（1）知．因为，在x轴方向上有，即，
所以．
57．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
【答案】2
【解析】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程．
因为是C上一点，，，所以，解得．故答案为：2.
58．若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．
【答案】
【解析】由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，
设的坐标，且，又，
，整理得，解得或（舍去），
所以由抛物线的定义可得．故答案为：
59．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．故选：A．
60．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】方法一：由题意可知，解得，即，又焦点，所以．方法二：由题意可知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，
则，解得，即，则由抛物线的定义可得，．故A，B，C错误.
故选：D.
61．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由，则焦点，且准线方程为直线，即，
设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，
消去可得：，化简得：，
因为，且直线过点，所以，即点位于以线段为直径的圆上，
易知以线段为直径的圆的方程为，
将代入上式，可得，解得，（舍去），
则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，
根据抛物线的定义，可得，，则，故选：B.
62．已知抛物线C∶x2=ay（a>0）上一点P（2a，4a）到焦点F的距离为17，则直线PF的方程为___________.
【答案】
【解析】抛物线C∶x2=ay（a>0）上一点P（2a，4a）到焦点F的距离为17，可得，解得，抛物线方程为：，则，，，，则直线PF的方程为：，
故答案为：．
63．若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，
设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，
于是得，而函数在上单调递减，即，
因此，即有，
所以的取值范围是.
故答案为：
64．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．
【答案】13
【解析】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
65．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.
【答案】2
【解析】如图所示，连接，，设准线与轴交于点，
由题意得，.
∵，分别为，的中点，
∴.
∵垂直于点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，则四边形为矩形，
∴，
∴.
故答案为：
66．（2022·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．
【答案】5
【解析】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，
因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，
所以,
故答案为：5
67．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
68．（多选题）（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．当最大时，D．当最小时，
【答案】AC
【解析】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，
对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；
对于B，设，则，，
当时，，当时，
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；
对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，
所以当最大时，，C正确；
对于D，因的最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.
故选：AC
69．（2022·湖南·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【答案】
【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
70．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，的准线与轴相交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若，，则的标准方程为______．
【答案】
【解析】如图所示：
，，
∴，∴，
即，
∴，∴，
不妨令点在第一象限，则直线的方程为，
联立，得，即，
所以，解得，所以的标准方程为．
故答案为：
71．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知O是坐标原点，P是抛物线上一点，焦点为F，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，解得，所以，
设，则
由抛物线的定义知，，又，
所以，解得，
因为点是抛物线上一点，
所以，解得，所以，
所以.
故选：A.
72．（2022·广东·高二期中）设F为抛物线的焦点，点为C上一点，过P作y轴垂线，垂足为A，若，则（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义，可知，即有，解得，所以，
故选：C．
73．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】设，，．
由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为．
因为，
所以点是的重心，故，
．
故选：A．
74．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二开学考试）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】D
【解析】如图：相关交点如图所示，
由抛物线，得 ，
则，
与抛物线联立得，
即，
解得
， 又
则为等边三角形
，
，
由抛物线的对称性可得，
故选：D.
75．（2022·广东·北京师范大学广州实验学校高二期中）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，其中，则，，
取，则，
可得，因为，可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
76．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．
【答案】 ； 9.
【解析】由抛物线，可知，则，
所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
由抛物线的定义可得，
再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以.
故答案为：；9.
考点六：抛物线的性质
77．（2022·内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学高二期中（理））如图所示，正方形和正方形，原点为的中点，抛物线经过，两点，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设正方形和正方形的边长分别为，
由题可得，，，，
则，解得，
直线的斜率，
故选：B．
78．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点；
故选：C
79．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
A．B．2C．3D．1
【答案】D
【解析】由抛物线得焦点，
点到直线的距离.
故选：D.
80．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
81．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
82．（2022·上海市宝山中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
83．（2022·江西·九江一中高二期中（理））已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为 ：双曲线的右焦点坐标为，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
所以，解得，
故选：A
84．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；
当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，
故选：A.
85．（2022·全国·高二期中）若抛物线（）的准线与圆相切，则实数a的值为______．
【答案】2或－14
【解析】抛物线（）的准线为，
圆的圆心为，半径为4，
则有，解之得或
故答案为：2或－14
86．（2022·河北保定·高二期中）抛物线上的点到其准线的距离为2，则______．
【答案】4
【解析】抛物线准线的方程为，因为点到准线的距离为2，
于是得，解得，
所以.
故答案为：4
87．（2022·全国·高二课时练习）设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，设，因为，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹为，
再根据直线与轴垂直且直线与曲线交于，两点，
从而可知.
故选：D
88．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．
【答案】
【解析】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，
所以，
所以，进而有或（舍去）
所以点M的坐标为，
所以直线MF的斜率为.
故答案为：.
89．（2022·全国·高二课时练习）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标．
【解析】设过与准线垂直的直线为，
因为点在直线上，
所以，得，
所以直线方程为，
设直线与准线交点，
由，得，即，
因为顶点为的中点，
所以顶点坐标为，
故答案为：
90．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，△PEF是边长为8的正三角形．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线m与C交于A、B两点，若，求直线m的方程．
【解析】(1)由于，所以轴，
由于三角形是边长为的等边三角形，
所以，
所以，
所以抛物线C的方程为．
(2)设直线，代入并化简得；
设，，则，．
因为，所以，设，则，，，解得．
所以直线方程为，
即或．
91．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二期中（文））已知抛物线，其焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求.
【解析】(1)因为抛物线，其焦点到准线的距离为，
所以，
所以抛物线的方程为
(2)抛物线的焦点，直线过焦点，
设，
由，得，
所以，
所以
92．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知抛物线的焦点在y轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，求m的值及抛物线的标准方程、准线方程．
【解析】由抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，
因为点是抛物线上的一点，且到焦点的距离是5，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为，
又由点是抛物线上的一点，可得，解得.图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径